matical Forum, Vol. 6, 2011, no. 23

matical Forum, Vol. 6, 2011, no. 23, 1103 - 1111
On Near Left Almost Rings
Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
Department of Mathematics
Quaid-i-Azam University, Islamabad, Pakistan
[e-mail], [e-mail]
Abstract. In this paper we give the notion of near left almost ring (abbreviated
as nLA-ring) (R,+, ·), i.e. (R, +) is an LA-group, (R, ·) is an LAsemigroup
and one distributive property of ‘·’ over ‘+’ holds, where both the
binary operations “+” and “·” are non-associative. An nLA-ring is a generalization
of an LA-ring and footed parallel to the near ring.
Mathematics Subject Classification: 16A76, 20M25, 20N02
Keywords: Near ring, LA-ring, Near LA-ring
1. Introduction and Preliminaries
The concept of a left almost semigroup (abbreviated as an LA-semigroup)
was introduced by M. Kazim and M. Naseeruddin [1], which is in fact a generalization
of commutative semigroup. A groupoid (S, ∗) is called an LA-semigroup
if, (a ∗ b) ∗ c = (c ∗ b) ∗ a for all a, b, c ∈ S, holds. It is also known as an Abel-
Grassmann’s groupoid (abbreviated as an AG-groupoid), for instance see [6].
Later, the structure was explored in [2] and [4]. Further in [3], the concept
is extended to the left almost group LA-group (i.e., a non-empty set G with
a binary operation “∗” such that (G, ∗) is an LA-semigroup having left identity
e and each element of G has left inverse). LA-group is a non associative
structure but has a sort of resemblance with a commutative group.
By [8], a non-empty set R with two binary operations “+” and “·” is called a
left almost ring (LA-ring) if (R, +) is an LA-group, (R, ·) is an LA-semigroup
and distributive laws of “·” over “+” hold. This structure enhanced [7] as a
generalization of commutative semigroup rings.
By [5] a near-ring is a non-empty set N together with two binary operations
“+” and “·” such that (N, +) is a group (not necessarily abelian), (N, ·) is
a semigroup and one sided distributive (left or right) of “·” over “+” holds.
The theory of near-ring runs completely parallel in both cases (left near-ring
or right near-ring). In this study, we consider left near-ring. Most examples
of near-rings show, 0n = 0 and (−n)m = −nm do not hold in general. One
1104 Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
therefore defines for a near-ring N: (i). N0 = {n ∈ N : 0n = 0} is called a zerosymmetric
part of N. (ii). Nc = {n ∈ N : 0n = n} = {m ∈ N : ∀ n ∈ N : nm = m}
is called a constant part of N.
In this study, we introduce the notion of a near left almost ring (abbreviated
as an nLA-ring), which is in fact a generalization of a left almost ring. It
possesses properties which we usually encounter in ”near ring” and “LA-ring”.
We observe that properties which owned by an LA-ring are mostly true for an
nLA-ring. Also we see that in an nLA-ring the zero symmetric part and the
constant part do not exist while they do in near-ring. Although, this structure
is non-commutative and non-associative but due to its structural properties it
behaves like a commutative ring and a commutative near ring.
2. Near LA-Ring
In this section, we define a near left almost ring and give few examples. Also
we touch its elementary properties and discuss the shape of substructures.
2.1. Definition and examples.
Definition 1. A non empty set N with two binary operation “+” and “·” is
called a near left almost ring (or simply an nLA-ring) if and only if
(nLA1). (N, +) is an LA-group.
(nLA2). (N, ·) is an LA-semigroup.
(nLA3). Left distributive property of · over + holds.
i.e. a · (b + c) = a · b + a · c for all a, b, c ∈ N.
The near LA-ring (nLA-ring) is denoted in ordered triplet as (N,+, ·).
In view of (nLA3), one speaks more precisely of ”left near LA-ring”. Postulating
(nLA3a) (a + b) · c = a · c + b · c for all a, b, c ∈ N.
Instead of (nLA3), one gets ”right near LA-ring”. The theory runs completely
parallel in both cases.
In this paper we through out consider left near LA-ring.
Example 1. N = {a, b, c, d, e} is an nLA-ring with binary operations “∗”
and “” defined on it which are as follows;
∗ a b c d e
a a b c d e
b e a b c d
c d e a b c
d c d e a b
e b c d e a
 a b c d e
a a a a a a
b a b c d e
c a d b e c
d a c e b d
e a e d c b
Example 2. Let (N,+, ·) be an nLA-ring, then A = {f : f : N −→ N} is an
nLA-ring with binary operations defined as follows
(f + g) (n) = f (n) + g (n) and (f · g) (n) = f (n) · g (n) for all n ∈ N.
On near left almost rings 1105
Remark 1. An LA-ring is an nLA-ring but a near-ring does not implies
nLA-ring.
Proposition 1. Let (F,+, ·) be any field. Then (F, ∗,) is an nLA-ring by
defining the binary operations as; for a, b, c ∈ F, a ∗ b = b − a and
a  b =

0 if a = 0 or b = 0
b · a−1 other wise

.
Proof. Let F be a field, 0 and 1 are additive and multiplicative identities
respectively. By [3], (F, ∗) is an LA-group. By theorem [4, theorem 2.1],
(F {0} ,) is an LA-semigroup. Let a, b, c ∈ F, if any of a, b and c is zero,
then
(a  b)c = (c  b)a = 0, so (F,) is an LA-semigroup. Now for distributive
law, let for each a, b, c ∈ F, then a  (b ∗ c) = a  (c − b) = (c − b) · a−1 =
c ·a−1−b ·a−1 = ac−ab = ab∗ac. Consider (b ∗ c)a = (c − b)a =
a· (c − b)
−1. Since in general (c − b)
−1 = c−1−b−1, so (b ∗ c)a = ba∗ac.
It means that right distributive law of  over ∗ does not hold. Hence (F, ∗,)
is an nLA-ring.
2.2. Elementary properties of an nLA-Ring. We give few basic properties
of an nLA-ring, some of which are different than that of a near-ring.
Theorem 1. If (N,+, ·) is an nLA-ring with additive left identity 0, then for
all a, b ∈ N we have.
(1) a0 = 0.
(2) 0a = 0.
(3) a (−b) = −ab.
(4) −(−a) = a.
(5) −(a + b) = −a − b.
Remark 2. It is important to note that in a near-ring (2) does not hold in
general. It means that in an nLA-ring both the zero-symmetric part and the
constant part do not exist.
Definition 2. An nLA-ring (N,+, ·) with left identity 1, such that 1 · b = b
for all b ∈ N, is called an nLA-ring with left identity.
A non trivial right near-ring with identity exists but in case of a right nLAring
with left identity, the following proposition speaks differently.
Proposition 2. A right nLA-ring N with left identity 1, is an LA-ring.
Proof. For a, b, c ∈ N
a · (b + c) = (1· a) · (b + c) = ((b + c) · a) · 1, by left invertive law
= (b · a + c · a) · 1, by right distributive
= (b · a) · 1 + (c · a) · 1, by right distributive
= (1· a) · b + (1 · a) · c, by left invertive law
= a · b + a · c .
1106 Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
It means that a right near LA-ring with left identity implies LA-ring.
Remark 3. A right nLA-ring N with left identity 1 does not exist.
Definition 3. An element a in an nLA-ring (N,+, ·) is called a left zero if
a · b = a similarly, a is a right zero if b · a = a, and if a is both left and right
zero, then a is called a zero element of an nLA-ring (N,+, ·).
Example 3. In example 1, a is a zero element.
Definition 4. An element d of an nLA-ring N is called distributive if for all
n,m ∈ N such that (n + m) d = nd + md. The set of all distributive elements
of an nLA-ring N is denoted by Nd = {d ∈ N : d is distributive}.
2.3. Substructures of an nLA-ring. We begin with the following definition.
Definition 5. A non empty subset S of an nLA-ring N is said to be an nLAsubring
if and only if S is itself an nLA-ring under the same binary operations
as in N.
Example 4. Let N = {a, b, c, d, e, f} be an nLA-ring under the binary operations
defined as follows,
∗ a b c d e f
a a b c d e f
b f a b c d e
c e f a b c d
d d e f a b c
e c d e f a b
f b c d e f a
and
 a b c d e f
a a a a a a a
b a b c d e f
c a c e a c e
d a d a d a d
e a e c a e c
f a f e d c b
Let S = {a, c, e} such that
∗ a c e
a a c e
c e a c
e c e a
and
 a c e
a a a a
c a e c
e a c e
Here S is an nLA-subring of an nLA-ring N.
Theorem 2. A non-empty subset S of an nLA-ring (N,+, ·) is an nLAsubring
if and only if a − b ∈ S and a · b ∈ S for all a, b ∈ S.
Proposition 3. Intersection of two nLA-subrings of an nLA-ring is an nLAsubring.
Corollary 1. Intersection of any number of nLA-subrings of an nLA-ring is
an nLA-subring.
Proposition 4. Let N be an nLA-ring with left identity 1, then
Nd = {d ∈ N : d is distributive} is an nLA-subring of an nLA-ring N.
On near left almost rings 1107
Definition 6. An nLA-subring I of an nLA-ring N is called a left ideal of N
if NI ⊆ I, and I is called a right ideal if for all n,m ∈ N and i ∈ I such that
(i + n)m − nm ∈ I, and is called two sided ideal or simply ideal if it is both
left and right ideal.
Example 5. In example 4, the nLA-subring S is an ideal of N.
Remark 4. In an nLA-ring (N,+, ·), {0} and N are ideals of N called improper
ideals of N.
Corollary 2. Intersection of any number of ideals of an nLA-ring is an ideal.
3. Factor Near LA-ring
Let I be an ideal of an nLA-ring N. Then “≡” is an equivalence relation
on N defined by a ≡ b (mod I ) if and only if a − b ∈ I. This equivalence
relation partitions N into equivalence classes. The set of all equivalence classes
is denoted by N/I, i.e. N/I = {[n] = I + n : n ∈ N}. Now we define binary
operations on N/I as follows:
(I + n) + (I + m) = I + (n + m) and (I + n) (I + m) = I + nm, where I + n, I + m ∈ N/I.
These binary operations are well-defined. Indeed; suppose that I +n = I +m
and I + x = I + y implies that n ∈ I + m and x ∈ I + y. That is n = i + m
and x = j + y for some i, j ∈ I. Now consider
n + x = (i + m) + (j + y) = (i + j) + (m + y) ∈ I + (m + y) =⇒ I + (n + x) = I + (m + y) .
Similarly
nx = (i + m) (j + y) = (i + m) j + (i + m) y
= (0+(i + m) j) + (i + m) y = ((i + m) y + (i + m) j) + 0
= ((i + m) y + (i + m) j) + (−my + my)
= ((0 +

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

matical ฟอรั่ม ฉบับ 6, 2011 หมายเลข 23, 1103-1111ด้านซ้ายใกล้เกือบแหวนTariq ชาห์ Fazal Rehman คุณ และมุ Raeesภาควิชาคณิตศาสตร์เควด-i-ครัวมหาวิทยาลัย อิสลามาบัด ปากีสถาน[e-mail], [e-mail]บทคัดย่อ ในเอกสารนี้ เราให้ของซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (ย่อว่าเป็นวงแหวน nLA) (R +, ·), เช่น (R, +) เป็น LA-กลุ่ม, (R, ·) ได้ LAsemigroupและสมบัติการแจกแจงหนึ่งของ 'เงิน' มากกว่า '+' ได้ ที่ทั้งไบนารีดำเนิน+"และ"·"ไม่สัมพันธ์กัน ลักษณะที่เป็นวงแหวน nLALA-แหวนและเท้าขนานกับวงแหวนใกล้คณิตศาสตร์เรื่องจำแนก: 16A76, 20M 25, 20N02คำสำคัญ: ใกล้วงแหวน LA-แหวน ใกล้วงแหวน LAบทนำและภาพแนวคิดของซ้ายเกือบ semigroup (ย่อเป็นที่ LA-semigroup)แนะนำ โดย M. Kazim และ Naseeruddin M. [1], ในความเป็นจริงซึ่งเป็นลักษณะการของ semigroup สลับกัน Groupoid (S หมาย∗) เรียกว่า LA semigroup มีถ้า, (เครื่องหมาย∗ b) c หมาย∗ =หมาย∗ (หมาย∗ c b) สำหรับเก็บทั้งหมดใน b, c ∈ S มันเป็นที่รู้จักกัน Abel-Groupoid ของ Grassmann (ย่อเป็น AG groupoid การ), เช่นดู [6]ในภายหลัง โครงสร้างถูกสำรวจใน [2] และ [4] ต่อไป [3], ในแนวคิดจะขยายไปยังด้านซ้ายเกือบกลุ่ม LA-กลุ่ม (เช่น แบบชุดว่างเปล่า G ด้วยการดำเนินการ "หมาย∗" เช่น (G หมาย∗) ว่าที่ LA semigroup มีเหลือตัวตนe และแต่ละองค์ประกอบของ G ได้ออกผกผัน) กลุ่ม LA เป็นการเชื่อมโยงไม่โครงสร้างแต่มีการเรียงลำดับของความคล้ายคลึงกับกลุ่ม commutativeโดย [8], R ชุดว่างเปล่า ด้วยการดำเนินการไบนารีสอง+" และ"·"เรียกว่าเป็นด้านซ้ายเกือบแหวน (แหวน LA) ถ้า (R, +) เป็น LA-กลุ่ม เป็น (R, ·) ที่ LA-semigroupและกฎหมายกฎการกระจายของ "·" ผ่าน "+ ค้าง โครงสร้างนี้เพิ่มขึ้น [7] เป็นการลักษณะของแหวนสลับ semigroupโดย [5] แหวนที่ใกล้เป็น N ชุดว่างเปล่าพร้อมกับการดำเนินการฐานสองสอง+" และ"·"เช่นที่ (N, +) เป็นกลุ่ม (จำเป็น), (N, ·) คือsemigroup การและหนึ่งด้านเล็ก (ด้านซ้ายหรือขวา) ของ "·" ผ่าน "และ" เก็บทฤษฎีใกล้วงแหวนพาดขนานกันอย่างสมบูรณ์ในทั้งสองกรณี (ซ้ายใกล้วงแหวนหรือขวาใกล้วงแหวน) ในการศึกษานี้ เราพิจารณาด้านซ้ายใกล้วงแหวน ตัวอย่างส่วนใหญ่การแสดงใกล้วงแหวน 0n = m 0 และ (−n) = −nm ถือทั่วไป อย่างใดอย่างหนึ่ง1104 Tariq ชาห์ Fazal Rehman คุณ และมุ Raeesดังนั้นจึง กำหนดสำหรับ n:ใกล้วงแหวน (i) . N0 = { n ∈ N: 0n = 0 } เรียกว่า zerosymmetric เป็นส่วนของ N. (ii) Nc = { N n ∈: 0n = n } = { m ∈ N: ∀ n ∈ N: nm = m }เรียกว่าส่วนหนึ่งคงที่ของ N.ในการศึกษานี้ เราแนะนำของซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (ย่อว่าเป็นวง nLA-แหวน), ซึ่งอยู่ในความเป็นจริงลักษณะของซ้ายเกือบแหวน มันมีเรามักจะพบใน "ใกล้วงแหวน" และ "LA-แหวน"เราสังเกตว่า คุณสมบัติซึ่งเป็นเจ้าของ โดย LA-แหวนเป็นส่วนใหญ่จริงสำหรับการnLA-แหวน นอกจากนี้ เราเห็นว่าใน nLA-แหวนส่วนแบบศูนย์และส่วนหนึ่งคงไม่มีอยู่ในขณะที่พวกเขาทำในใกล้วงแหวน ถึงแม้ว่า โครงสร้างนี้ไม่สลับ และไม่สัมพันธ์กันแต่เนื่องจากคุณสมบัติของโครงสร้างนั้นทำหน้าที่เหมือนแหวนสลับและสลับใกล้วงแหวน2. ใกล้ LA-แหวนในส่วนนี้ เรากำหนดซ้ายใกล้เกือบแหวน และให้ตัวอย่าง นอกจากนี้เราสัมผัสคุณสมบัติประถม และหารือเกี่ยวกับรูปร่างของ substructures2.1. นิยามและตัวอย่างข้อกำหนด 1 ไม่ใช่ว่างเปล่าชุด N ด้วยการดำเนินการสอง+"และ"·"เรียกว่าซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (หรือเพียงแค่การ nLA-วงแหวน) ถ้าเพียงแต่(nLA1) (N, +) เป็น LA-กลุ่ม(nLA2) (N, ·) มีที่ LA-semigroup(nLA3) สมบัติการแจกแจงด้านซ้ายของฟิลด์ กว่า + ได้·เช่น (b + c) =รับ b + รับ c สำหรับทั้งหมดใน b, c ∈ nใกล้ LA แหวน (แหวน nLA) จะเขียนแทนใน triplet สั่งเป็น (N + เงิน)มุมมอง (nLA3), หนึ่งพูดได้แม่นยำมากขึ้นของ "ซ้ายใกล้ LA-แหวน" Postulating(nLA3a) (มี + b) · c =รับ c + b · c สำหรับทั้งหมดใน b, c ∈ nแทน (nLA3), หนึ่งได้รับ "ใกล้ LA-แหวน" ทฤษฎีการทำงานอย่างสมบูรณ์ขนานในทั้งสองกรณีในเอกสารนี้เราผ่านออกพิจารณาด้านซ้ายใกล้กับ LA-แหวนตัวอย่างที่ 1 N = { a, b, c, d, e } เป็นวงแหวน nLA ที่ มีไบนารีการดำเนินการ "หมาย∗"และ "" กำหนดไว้ซึ่งมีดังนี้หมาย∗เป็น b c d eมี b c d eb e b c de d c b cd e d c be b c d e เป็นมี b c d eที่ที่ที่ที่ที่ที่b เป็น b c d ec เป็น d b e cd d b c ee e d c bตัวอย่างที่ 2 ให้ (N +, ·) เป็นวงแหวน nLA แล้วแบบ = { f: f: N −→ N } เป็นการnLA-แหวนกับไบนารีการดำเนินงานที่กำหนดเป็นดังนี้(f + g) (n) = f (n) + g (n) และ (f · g) (n) = f (n) · g (n) สำหรับทุก n ∈ nใกล้ซ้ายเกือบแหวน 1105หมายเหตุ 1 LA-แหวนเป็นวงแหวน nLA แต่แหวนที่ใกล้หมายถึงnLA-แหวนเรื่องที่ 1 ให้ (F +, ·) ได้ทุกสาขา (F หมาย∗,) เป็น วงแหวน nLA โดยกำหนดดำเนินการไบนารีเป็น สำหรับ a, b, c ∈ F, b หมาย∗ = b −การ และข =ถ้า 0 เป็น = 0 หรือ b = 0n a−1 อื่น ๆ ที่ชาญฉลาด.หลักฐาน ให้ F เป็นเขต 0 และ 1 เป็นสารเติมแต่ง และคูณตามลาดับ โดย [3], (F หมาย∗) เป็น LA-กลุ่ม โดยทฤษฎีบท [4 ทฤษฎีบท 2.1],(F {0},) อยู่ที่ LA-semigroup ให้ a, b, c ∈ F ถ้าใด ๆ ของ a, b และ c เป็นศูนย์แล้ว(ข) c = (c b) การ = 0 (F,) เป็น ที่ LA-semigroup ตอนนี้สำหรับเล็กกฎหมาย ให้สำหรับทุก a, b, c ∈ F แล้ว (b หมาย∗ c) = (b c −) = (b c −) · a−1 =·a−1 c ·a−1−b = c−a b = c. b∗a พิจารณา (c หมาย∗ b) = (b c −) แบบ =a· (b c −)− 1 เนื่องจากโดยทั่วไป (b c −)− 1 = c−1−b−1 ดังนั้น (b หมาย∗ c) = b a∗a cหมายความ ว่า กฎหมายจำหน่ายอยู่มากกว่าหมาย∗ถือ ดังนั้น (F หมาย∗,)มีวงแหวน nLA2.2 ประถมศึกษาคุณสมบัติของ nLA-แหวน ให้คุณสมบัติพื้นฐานไม่กี่วง nLA-แหวน บางที่มีที่แตกต่างจากแหวนที่ใกล้ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า (N +, ·) เป็นวงแหวน nLA ที่ มีตัวตนซ้ายเติม 0 แล้วสำหรับทุก a, b ∈ N เรามี(1) a0 = 0(2) 0a = 0(3) a (−b) = −ab(4) −(−a) =แบบนั้น(5) −(a + b) = −a − bหมายเหตุ 2 มันเป็นสิ่งสำคัญโปรดสังเกตว่า ในใกล้กับแหวนที่ (2) ไม่มีในทั่วไป หมายความ ว่า ในวงแหวน nLA ส่วนศูนย์สมมาตรและส่วนหนึ่งคงมีอยู่นิยามที่ 2 มี nLA-วงแหวน (N +, ·) กับข้อมูลประจำตัวซ้าย 1 ที่ 1 · b = bสำหรับ N ∈ b ทั้งหมด เรียกว่าวงแหวน nLA ที่ มีข้อมูลประจำตัวด้านซ้ายเล็กน้อยไม่ใช่ขวาใกล้แหวนที่ มีตัวตนอยู่แต่ใน กรณีของ nLAring ขวาด้วยเอกลักษณ์ซ้าย โจทย์ต่อไปนี้พูดแตกต่างกันเรื่องที่ 2 N ขวา nLA-แหวนกับข้อมูลประจำตัวซ้าย 1 เป็นวงแหวน LAหลักฐาน สำหรับ a, b, c ∈ Nรับ (b + c) = (1· ตัว) · (b + c) = ((b + c) · a) · 1 กฎหมาย invertive ซ้าย= (b · c · + เป็น) · 1 โดยเล็กด้านขวา= (b · a) · 1 + (c ·เป็น) · 1 โดยเล็กด้านขวา= (1· a) · b + (1 ·ตัว) · c กฎหมาย invertive ซ้าย= a · b + รับ c1106 Tariq ชาห์ Fazal Rehman คุณ และมุ Raeesหมายความ ว่า ขวาใกล้กับ LA-แหวน ด้วยตนซ้ายหมายถึง LA-แหวนหมายเหตุ 3 ไม่มี N ขวา nLA-แหวนกับข้อมูลประจำตัวด้านซ้าย 1นิยามที่ 3 องค์ประกอบที่ใน nLA-แหวน (N +, ·) เรียกว่าศูนย์ซ้ายถ้ารับ b =การในทำนองเดียวกัน การมีสิทธิเป็นศูนย์ถ้า b · มี = a และถ้ามีเป็นทั้งซ้าย และขวาศูนย์ การเรียกว่าเป็นองค์ประกอบเป็นศูนย์ของการ nLA-วงแหวน (N +, ·)ตัวอย่างที่ 3 ในตัวอย่างที่ 1 เป็นองค์ประกอบเป็นศูนย์นิยามที่ 4 D เป็นองค์ประกอบของตัว N nLA แหวนเรียกว่าแจกแจงถ้าสำหรับทั้งหมดm ∈ n, N เช่นที่ (n + m) d = nd + md ชุดขององค์ประกอบทั้งหมดที่จำหน่ายวงแหวน nLA N จะเขียนแทน ด้วย Nd = { d ∈ N: d มีจำหน่าย}2.3. substructures วงแหวน nLA เราเริ่มต้น ด้วยคำต่อไปนี้นิยาม 5 ชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่า S ของตัว N nLA แหวนกล่าวได้ว่า เป็น nLAsubringถ้าและเดียวถ้า S เป็นวงแหวน nLA ภายใต้การดำเนินงานของไบนารีเดียวกันใน N.ตัวอย่างที่ 4 ให้ N = { a, b, c, d, e, f } เป็นวงแหวน nLA ภายใต้การดำเนินงานของไบนารีกำหนดดังหมาย∗เป็น b c d e fมี b c d e ff b มี b c d ec e d c f ขd d e f ข ce c d e f ขf b c d e f เป็นและมี b c d e fที่ที่ที่ที่ที่ที่ที่b เป็น b c d e fc e c c ed d d de c e e cf f e d c bให้ S = {a, c, e } เช่นที่หมาย∗ c ec ee c c เป็นe c e เป็นและc eการมีการc e ce c eS มีการ subring nLA ของ N. การ nLA-แหวนทฤษฎีบทที่ 2 ย่อยไม่ว่าง S วง nLA-แหวน (N + เงิน) คือ nLAsubring การถ้า และ ถ้าเป็น∈ b − S และรับ b ∈ S สำหรับทุก∈หมุน b a, s ได้เรื่องที่ 3 NLAsubring การตัดของ nLA subrings สองวงแหวน nLA ได้Corollary 1 เป็นของหมายเลขใด ๆ ของ nLA subrings วงแหวน nLAการ nLA-subringเรื่องที่ 4 ให้ N เป็นวงแหวน nLA ที่ มีรหัสประจำตัวซ้าย 1 จากนั้นNd = { d ∈ N: d มีจำหน่าย} เป็นการ subring nLA ของ N. การ nLA-แหวนใกล้ซ้ายเกือบแหวน 1107นิยามที่ 6 การ nLA subring แห่งตัว N nLA-แหวนเรียกว่าเหมาะซ้ายของ Nถ้า NI ⊆ฉัน และฉันเรียกว่าเหมาะขวาถ้าสำหรับทุก n, m ∈ N และ∈ฉันนั้น(ผม + n) m − nm ∈ และถูกเรียกว่าสองดี หรือกดถ้าเป็นทั้งสองซ้าย และขวาเหมาะตัวอย่างที่ 5 ในตัวอย่างที่ 4, S nLA subring เหมาะของ N.หมายเหตุ 4 ใน nLA-แหวน (N +, ·), {0} และ N เป็นอุดมคติของ N เรียกว่าไม่เหมาะสมอุดมคติของ N.Corollary 2 ของหมายเลขใด ๆ ของอุดมคติของ nLA-แหวนเป็นเหมาะ3. ปัจจัยใกล้ LA-แหวนให้ฉันเป็นอุดมคติของการ N. nLA-แหวน แล้ว "≡" เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนกำหนด โดย≡ b N (สมัยผม) และ ถ้าเป็น− b ∈ฉัน เทียบเท่านี้พาร์ติความสัมพันธ์ N เป็นระดับเทียบเท่า ชุดของคลาสที่สมมูลทั้งหมดจะเขียนแทน ด้วย N / ฉัน เช่น N / ฉัน = { [n] =ฉัน + n: n ∈ N } ตอนนี้ เรากำหนดไบนารีการดำเนินการบน N / เป็นดังต่อไปนี้:(ผม + n) + (ผม + m) =ฉัน + (n + m) และ (ผม + n) (ผม + m) =ฉัน + nm ที่ฉัน + n ฉัน + m ∈ N / ฉันการดำเนินการไบนารีเหล่านี้ได้ชัดเจน แน่นอน สมมติว่า ผม + n =ฉัน + mและฉัน + x = y + ฉันถึงฉัน + m และ x ∈∈ n ที่ฉัน + y นั่นคือ n =ฉัน + mและ x = j + y สำหรับบาง i, j ∈ฉัน ตอนนี้ พิจารณาn + x = (ฉัน + m) + (j + y) = (ฉัน + j) + (m + y) ∈ฉัน + (m + y) =⇒ฉัน + (n + x) =ฉัน (m + y)ในทำนองเดียวกันnx = (ฉัน + m) (j + y) = (ฉัน + m) j + (ผม + m) y= (0 + (ผม + m) j) + (ผม + m) y = ((i + m) y + (ผม + m) j) + 0= ((i + m) y + (ผม + m) j) + (−my + ของฉัน)= ((0 +

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟอรั่มทางคณิตศาสตร์ฉบับ 6, 2011 ไม่มี 23 1103-1111
เมื่อวันที่ใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน
ทาเร็คชาห์ Fazal ur Rehman และมูฮัมหมัด Raees
ภาควิชาคณิตศาสตร์
Quaid-I-Azam มหาวิทยาลัยกรุงอิสลามาบัดปากีสถาน
[e-mail], [e-mail]
บทคัดย่อ ในบทความนี้เราจะให้ความคิดของใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน (ย่อ
เป็น NLA-ring) (r + ·) คือ (r +) เป็น LA-กลุ่ม (r ·) เป็น LAsemigroup
และเป็นหนึ่งในการจำหน่าย ทรัพย์สินของ '·' มากกว่า '+' ถือที่ทั้ง
ฐานปฏิบัติการ "+" และ "·" จะไม่เชื่อมโยง NLA แหวนเป็นลักษณะทั่วไป
ของ LA-แหวนและแบบขนานด้วยเท้าแหวนใกล้.
คณิตศาสตร์เรื่องการจัดประเภท: 16A76, 20M25, 20N02
คำสำคัญ: ใกล้แหวน, LA-ring ใกล้ La แหวน
1 บทนำและรอบคัดเลือกโซน
แนวคิดของซ้ายเกือบกึ่งกรุป (ย่อเป็น LA-กึ่งกลุ่ม)
ได้รับการแนะนำโดยเอ็ม Kazim เมตร [1] Naseeruddin ซึ่งในความเป็นจริงทั่วไป
ของ semigroup สับเปลี่ยน groupoid (S, *) จะเรียกว่า LA-semigroup
ถ้า (a * b) * c = (c b *) * สำหรับทุก A, B, C ∈ S, ถือ นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันเป็น Abel-
groupoid Grassmann ของ (ย่อเป็น AG-groupoid) เช่นดู [6].
ต่อมาโครงสร้างการสำรวจใน [2] และ [4] ต่อไปใน [3] แนวคิด
จะขยายไปทางซ้ายเกือบกลุ่ม LA-กลุ่ม (เช่นชุดที่ไม่ว่างเปล่า G กับ
การดำเนินการไบนารี "*" เช่นว่า (G *) เป็น LA-กึ่งกลุ่มหลังจากที่ออกจากตัวตน
E และองค์ประกอบของแต่ละ G ได้ทิ้งผกผัน) LA-กลุ่มเชื่อมโยงเป็นที่ไม่ใช่
โครงสร้าง แต่มีการเรียงลำดับความคล้ายคลึงกับกลุ่มสับเปลี่ยนได้.
โดย [8] ชุด R ไม่ว่างเปล่าที่มีสองฐานปฏิบัติการ "+" และ "·" เรียกว่า
ซ้ายเกือบแหวน (La- แหวน) ถ้า (r +) เป็น LA-กลุ่ม (r ·) เป็น LA-กึ่งกลุ่ม
และกฎหมายการจำหน่ายของ "·" มากกว่า "+" ถือ โครงสร้างนี้เพิ่มขึ้น [7] เป็น
ลักษณะทั่วไปของแหวนกึ่งกลุ่มสับเปลี่ยน.
โดย [5] ใกล้แหวนเป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่าไม่มีร่วมกับอีกสองฐานปฏิบัติการ
"+" และ "·" เช่นว่า (N +) เป็น กลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องคริสต์), (N, ·) เป็น
กึ่งกลุ่มและจำหน่ายด้านเดียว (ซ้ายหรือขวา) ของ "·" มากกว่า "+" ถือ.
ทฤษฎีของใกล้แหวนทำงานอย่างสมบูรณ์ขนานในทั้งสองกรณี (จาหน่ายซ้าย แหวน
หรือขวาใกล้วงแหวน) ในการศึกษานี้เราพิจารณาซ้ายใกล้กับแหวน ตัวอย่างส่วนใหญ่
ซึ่งอยู่ใกล้กับแหวนแสดง 0n = 0 และ (-n) m = -nm ไม่ถือทั่วไป หนึ่ง
1104 ทาเร็คชาห์ Fazal ur Rehman และมูฮัมหมัด Raees
จึงกำหนดให้อยู่ใกล้กับแหวน N: (i) N0 = {n ∈ N: 0n = 0} เรียกว่า zerosymmetric
ส่วนหนึ่งของสหประชาชาติ (ii) NC = {n ∈ N: 0n = n} = {m ∈ N: ∀ n ∈ N: นาโนเมตร = m}
เรียกว่าเป็นส่วนหนึ่งที่คงที่ของสหประชาชาติ
ในการศึกษาครั้งนี้เราแนะนำความคิดของใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน (ยาก
เป็นแหวน NLA) ซึ่งในความเป็นจริงทั่วไปของที่เหลือเกือบแหวน มัน
มีคุณสมบัติที่เรามักจะพบใน "แหวนที่อยู่ใกล้" และ "LA-แหวน".
เราสังเกตได้ว่าคุณสมบัติซึ่งเป็นเจ้าของโดย LA-แหวนเป็นจริงส่วนใหญ่สำหรับ
NLA แหวน นอกจากนี้เราจะเห็นว่าใน NLA แหวนส่วนสมมาตรศูนย์และ
เป็นส่วนหนึ่งคงไม่ได้มีอยู่ในขณะที่พวกเขาทำในที่อยู่ใกล้กับแหวน แม้ว่าโครงสร้างนี้
ไม่สามารถสับเปลี่ยนและไม่เชื่อมโยง แต่เนื่องจากคุณสมบัติโครงสร้างของมัน
ทำงานเหมือนสับเปลี่ยนแหวนและแหวนที่อยู่ใกล้สับเปลี่ยน.
2 อยู่ใกล้กับ La-Ring
ในส่วนนี้เรากำหนดซ้ายใกล้เกือบแหวนและให้ตัวอย่างบางส่วน นอกจากนี้
เราสัมผัสคุณสมบัติประถมศึกษาและหารือเกี่ยวกับรูปร่างของ substructures ได้.
2.1 ความหมายและตัวอย่าง.
นิยาม 1. ไม่ใช่ชุด N ว่างเปล่ากับการดำเนินการทวิภาคสอง "+" และ "·" จะ
เรียกว่าใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน (หรือเพียง NLA-ring) และถ้าหาก
(nLA1) (N, +) เป็นกลุ่ม LA-.
(nLA2) (N, ·) เป็น LA-กึ่งกรุป.
(nLA3) ที่เหลือจำหน่ายทรัพย์สินของ·กว่า + ถือ.
เช่น· (B + C) = a · B + A · C สำหรับทุก A, B, C ∈ N.
ใกล้ LA-แหวน (NLA แหวน) จะแสดงในแฝดสั่งซื้อ เป็น (N, + ·.)
ในมุมมองของ (nLA3) หนึ่งพูดอย่างแม่นยำมากขึ้นของ "ซ้ายใกล้ La แหวน" ยืนยัน
(nLA3a) (A + B) · C = a · C + B C ·สำหรับทุก A, B, C ∈เอ็น
แทนที่จะ (nLA3) หนึ่งได้รับ "สิทธิใกล้ La แหวน" ทฤษฎีที่ทำงานอย่างสมบูรณ์
แบบคู่ขนานในทั้งสองกรณี.
ในบทความนี้เราผ่านออกพิจารณาซ้ายใกล้ La แหวน.
ตัวอย่าง 1. N = {A, B, C, D, E} เป็น NLA แหวนกับฐานปฏิบัติการ "*"
และ "?"
กำหนดไว้ในนั้นซึ่งมีดังนี้* ABCDE
aabcde
beabcd
cdeabc
dcdeab
ebcdea
? ABCDE
aaaaaa
babcde
cadbec
dacebd
eaedcb
ตัวอย่าง 2 ให้ (N, + ·) เป็น NLA แหวนแล้ว = {F: F: N - → N} เป็น
NLA แหวนกับฐานปฏิบัติการกำหนดดังนี้
(f + g) (n) = f (n) + g (n) และ (f · g) (n) = f (n) ·กรัม (n) ทั้งหมด n ∈เอ็น
เมื่อวันที่ใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน 1105
หมายเหตุ 1. LA-แหวนเป็นแหวน NLA แต่ใกล้แหวนไม่ได้หมายถึง
NLA แหวน.
โจทย์ 1. Let (F + ·) เป็นสาขาใดสาขาหนึ่ง จากนั้น (F * ,?) เป็น NLA แหวนโดย
กำหนดเป็นฐานปฏิบัติการ; สำหรับ A, B, C ∈ f, a * ​​b = B - และ
หรือไม่? B =
?
0 ถ้า A = 0 หรือ B = 0
B · A-1 อื่น ๆ ที่ชาญฉลาด
?
.
หลักฐาน ให้ f เป็นสนาม, 0 และ 1 มีตัวตนและสารเติมแต่งคูณ
ตามลำดับ โดย [3] (F *) เป็น LA-กลุ่ม โดยทฤษฎีบท [4 ทฤษฎีบท 2.1]
(F {0}?) เป็น LA-กึ่งกลุ่ม ให้ A, B, C F ∈ถ้าใด ๆ ของ A, B และ C เป็นศูนย์
แล้ว
(หรือไม่ข)? c = (c? ข)? A = 0 ดังนั้น (F ,?) เป็น LA-กึ่งกลุ่ม . ตอนนี้สำหรับการจำหน่าย
กฎหมายให้สำหรับแต่ละ A, B, C ∈ F แล้ว? (b * c) = หรือไม่? (ค - ข) = (C - B) · A-1 =
?? C · A-1-B · A-1 = C-เป็นข = a b * ค พิจารณา (b * c) = (ค - ข)? A =
ใหม่· (ค - ข)
-1 เนื่องจากในทั่วไป (ค - ข)
??. -1 = C-1-B-1 ดังนั้น (b * c) = b A * ค
มันหมายความว่ากฎหมายการจำหน่ายขวาของ? มากกว่า * ไม่ถือ ดังนั้น (F * ,?)
เป็น NLA แหวน.
2.2 คุณสมบัติประถมของ NLA-Ring เราจะให้คุณสมบัติพื้นฐานไม่กี่
ของ NLA แหวนบางส่วนที่มีความแตกต่างกว่าที่ใกล้วงแหวน.
ทฤษฎีบท 1. ถ้า (N, + ·) เป็น NLA แหวนกับสารเติมแต่งซ้ายตัวตน 0 แล้วสำหรับ
ทุกคน ข∈ N เราได้.
(1) A0 = 0
(2) 0A = 0
(3) (-b) = -ab.
(4) - (- ก) = a.
(5) - (หนึ่ง + B) = -a - b.
หมายเหตุ 2. มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าในที่อยู่ใกล้กับแหวน (2) ไม่ได้ถือใน
ทั่วไป ก็หมายความว่าใน NLA แหวนทั้งส่วนที่เป็นศูนย์สมมาตรและ
ส่วนหนึ่งคงไม่อยู่.
นิยาม 2. NLA แหวน (N, + ·) ที่มีตัวตนซ้าย 1 เช่นว่า 1 · B = B
สำหรับทุก B ∈ N, เรียกว่า NLA แหวนที่มีตัวตนซ้าย.
ไม่ใช่ทางขวาเล็กน้อยใกล้วงแหวนกับตัวตนที่มีอยู่ แต่ในกรณีของการที่เหมาะสม nLAring
กับอัตลักษณ์ทางซ้าย, ข้อเสนอต่อไปพูดที่แตกต่างกัน.
โจทย์ 2. สิทธิ NLA แหวน N กับตัวตนซ้าย 1 เป็น LA-แหวน.
หลักฐาน สำหรับ A, B, C ∈ N
ใหม่· (B + C) = (1 ·ก) · (B + C) = ((B + C) ·ก) · 1 ตามกฎหมาย invertive ซ้าย
= (ข· A + C ·ก) · 1 โดยทางด้านขวาจำหน่าย
= (ข·ก) · 1 + (ค·ก) · 1 โดยทางด้านขวาจำหน่าย
= (1 ·ก) · B + (1 ·ก) · C โดย invertive ซ้าย กฎหมาย
= a · B + A ·ค.
1106 ทาเร็คชาห์ Fazal Rehman ur และมูฮัมหมัด Raees
มันหมายความว่าขวาใกล้ LA-แหวนตัวตนด้านซ้ายหมายถึง LA-แหวน.
หมายเหตุ 3. สิทธิ NLA แหวน N กับตัวตนซ้าย 1 ไม่ได้อยู่.
นิยาม 3. องค์ประกอบใน NLA แหวน (N, + ·) เรียกว่าซ้ายศูนย์ถ้า
ใหม่· B = a ทำนองเดียวกันเป็นสิทธิศูนย์ถ้า b · A = และถ้า เป็นทั้งซ้ายและขวา
ศูนย์แล้วจะเรียกว่าเป็นองค์ประกอบที่ศูนย์ของ NLA แหวน (N, + ·).
ตัวอย่าง 3. ในตัวอย่างที่ 1 เป็นศูนย์องค์ประกอบ.
นิยาม 4. องค์ประกอบ D ของ nLA- แหวน n เรียกว่าถ้าการจำหน่ายทั้งหมด
n, M ∈ n เช่นว่า (n + m) d = ND + MD ชุดขององค์ประกอบการจำหน่ายทั้งหมด
ของ NLA แหวน N จะเขียนแทนด้วย Nd = {D ∈ N: D คือการจำหน่าย}.
2.3 substructures ของ NLA แหวน เราเริ่มต้นด้วยคำนิยามต่อไป.
นิยาม 5. ไม่ใช่ไม่มีกลุ่มย่อย S ของ NLA แหวน N มีการกล่าวถึงเป็น nLAsubring
ถ้าหากว่า S เป็นตัวเอง NLA แหวนภายใต้การดำเนินงานของไบนารีเดียวกัน
ในขณะที่เอ็น
ตัวอย่างที่ 4 ให้ n = {A, B, C, D, E, F} เป็น NLA แหวนภายใต้ฐานปฏิบัติการ
ที่กำหนดไว้ดังต่อไปนี้
* ABCDEF
aabcdef
bfabcde
cefabcd
ddefabc
ecdefab
fbcdefa
และ
? ABCDEF
aaaaaaa
babcdef
caceace
dadadad
eaecaec
fafedcb
ให้ S = {A, C, E} เช่นว่า
* Ace
aace
CEAC
ecea
และ
? Ace
AAAA
CAEC
eace
นี่ S เป็น NLA-subring ของ NLA แหวนเอ็น
ทฤษฎีบท 2. ไม่ว่างเปล่าเซตของ NLA แหวน (N, + ·) เป็น nLAsubring
ถ้าหากว่า a - b ∈ S และ B ·∈ S สำหรับทุก A, B ∈เอส
โจทย์ 3. แยกสอง NLA-subrings ของ NLA แหวนเป็น nLAsubring.
ควันหลง 1. แยกจำนวน NLA-subrings ของ NLA แหวนใด ๆ ที่เป็น
. NLA-subring
โจทย์ 4. ให้ n เป็น NLA แหวนที่มีตัวตนซ้าย 1 แล้ว
Nd = {D ∈ N: D คือการจำหน่าย} เป็น NLA-subring ของ NLA แหวนเอ็น
เมื่อวันที่ใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวน 1107
นิยาม 6. NLA-subring ผมของ NLA แหวน n เรียกว่าเหมาะซ้ายของ n
ถ้า NI ⊆ฉันและฉันเรียกว่าเหมาะที่เหมาะสมถ้าทั้งหมด n, M ∈ n และฉัน∈ฉันเช่นว่า
(i + n) M - นาโนเมตร∈ I, และถูกเรียกว่าสองด้านเหมาะหรือเหมาะเพียงถ้ามันเป็นทั้ง
. ซ้ายและขวาที่เหมาะ
ตัวอย่างที่ 5 ในตัวอย่าง 4, S-NLA subring เป็นอุดมคติของเอ็น
หมายเหตุ 4. ใน NLA แหวน (N, + ·) {} 0 และ n เป็นอุดมคติของ N เรียกว่าไม่เหมาะสม
อุดมคติของเอ็น
ควันหลง 2. แยกจำนวนอุดมคติของ NLA แหวนใดเหมาะ.
3 ปัจจัยที่อยู่ใกล้กับ La แหวน
ให้ฉันเป็นอุดมคติของ NLA แหวนเอ็นแล้ว "≡" เป็นความสมดุล
บนไม่มีกำหนดโดย≡ B (สมัย I) และถ้าหาก a - b ∈ I. เท่าเทียมกันนี้
พาร์ทิชันความสัมพันธ์ ยังไม่มีความเท่าเทียมกันในชั้นเรียน ชุดของทุกชั้นสมมูล
จะเขียนแทนโดย n / ฉันคือ N / I = {[N] = I + n: n ∈ N} ตอนนี้เรากำหนดไบนารี
การดำเนินการบน N / I ดังนี้
(I + n) + (I + M) = I + (n + m) และ (i + n) (ฉัน + M) = I + นาโนเมตรที่ฉัน + n ผม + M ∈ n / i.
ฐานปฏิบัติการเหล่านี้จะดีที่กำหนด อันที่จริง; สมมติว่าผม + N = ฉัน + M
และฉัน + X = I + Y หมายความว่า n ∈ I + M และ x ∈ I + Y นั่นคือ n = ฉัน + M
และ X = J + Y สำหรับบาง I, J ∈ I. ตอนนี้พิจารณา
N + x = (i + M) + (J + y) = (i + J) + (m + y) ∈ I + (m + y) = ⇒ I + (n + x) = I + (m + y).
ในทำนองเดียวกัน
NX = (i + M) (J + y) = (i + M) J + (i + เมตร) Y
= (0+ (i + M) J) + (i + M) Y = ((I + M) Y + (i + M) J) + 0
= ((I + M) Y + (i + M) J) + (+ -My ของฉัน)
= ((0 +