What Is Mathematical Knowledge?Inte

What Is Mathematical Knowledge?
Interpreting the world remains a large objective, and one important unanswered question concerns the
nature of mathematical knowledge. Why is it true that 3 + 4 = 7? In chapters 2 and 4, I briefly
mentioned how mathematical knowledge has spurred numerous philosophers and mathematicians to
reject naturalism. For Plato and many successors, there must be an a priori basis for truths of
arithmetic, geometry (such as the Pythagorean theorem), and many other branches of mathematics.
They think that it is necessarily true (in all possible worlds) that 3 + 4 = 7, in a way that natural
science cannot explain.
Puzzles about how people manage to grasp mathematical truths have long been a source of the view
that ideas are supernatural. A full-blown plausible naturalistic alternative requires learning much
more about the nature of mathematical concepts as they develop in human brains. Already there is
some understanding of concepts of number in animals and infants, but the neural underpinnings of
mathematical knowledge are just beginning to be investigated.
As a first pass, we can say that mathematical concepts from three to right triangle to infinite
number are all patterns of brain activation of the sort discussed in chapter 4. This does not assume
that such concepts are derived directly from experience, because we have seen that new concepts can
be formed by conceptual combination that go far beyond perception. Moreover, some basic concepts
like object may be innate. Activation of concepts like number and addition may begin with specific
examples when children observe collections of objects and are taught to count and add, but
conceptual combination can quickly generate abstract combinations such as number divisible only by
itself and 1. The kinds of neural mechanisms I mentioned in discussing creativity should suffice
equally well for producing representations of mathematical abstractions.
But there is a crucial difference between theoretical entities such as sound wave and mathematical
entities such as infinite number. Even though we cannot observe sound waves, we are justified in
believing that they exist by inference to the best explanation. We cannot hear or see sound waves, but
we can observe their causal effects whenever we hear sounds. In contrast, purely mathematical
entities like numbers do not have any direct causal effects, so how can we be justified in thinking they
exist?
I was once tempted to say that numbers exist because numbers are concepts, and concepts are
patterns of neural activation that exist in real brains. The problem with this view is that there would
seem to be far more numbers than patterns of brain activation. Assuming that neurons can fire or not
fire about 100 times per second, and that there are 100 billion neurons, then we can calculate that
there are at least (2
100
)
100,000,000,000 possible patterns of activation in the human brain. This is an
extraordinarily large number, far greater than the number of kinds of things there are in the universe,
which is usually estimated to contain only about 10
80 elementary particles. But the number of integers
(1, 2,…) is infinite, because we can always produce a greater integer just by adding 1. (A similar
proof shows that there are an infinite number of reality TV shows, because an even worse one is
always coming along.)
Intensifying the problem, the nineteenth-century mathematician Georg Cantor showed that there are
more real numbers (e.g., pi, 3.14159…) than there are integers, and indeed that there are an infinite
number of sets of infinite numbers of different sizes, an infinity of infinities. Clearly the brain cannot
hold an infinite number of patterns. So numbers cannot all be brain concepts, any more than they can
be theoretical entities inferred by inference to the best explanation.
I think the most plausible way out of this impasse is to conclude that numbers and other
mathematical objects are just fictions: they don't exist in the real world, any more than Harry Potter,
Hamlet, and angels do. Then purely mathematical claims are fictional too, although they can be
plausible or implausible within the context of the fictional worlds they describe. Fictionally, Harry
Potter is a boy wizard rather than a dog, and angels have wings rather than jet engines. Similarly,
within the context of the axioms of number theory, numbers can be infinitely large or small; and within
the context of set theory, there is an infinity of infinite sets. But numbers, sets, and wizards do not
exist in the real world.
The major problem with understanding mathematical objects as fictions resides in comprehending
how mathematics can be so useful in describing and explaining the world. It seems that there are
straightforward arithmetical truths such as 2 + 2 = 4, and many branches of mathematics, such as
algebra and calculus, that are invaluable in scientific fields ranging from physics to theoretical
neuroscience. How can mathematical models of brain functioning tell us anything about thinking if
math is fictional?
The most plausible answer is that many mathematical claims can be understood as being about the
real world rather than about some abstract domain of objects. I think that the following claim is true:
Putting 2 objects together with 2 other objects makes a total of 4 objects. This is a claim about
objects, not about numbers, so it can be true of the real world. Similarly, algebra and calculus are
neither true nor false, but they are used to express evaluable claims about physical systems, claims
that can be judged to be true or false on the basis of experimental evidence and inference to the best
explanation. Mathematical statements are not true a priori, nor are they generalizations about the
world; but we can combine mathematical concepts with concepts about things and processes to make
claims about the world. Abstract mathematical statements such as those in set theory and number
theory are fictional assertions rather than necessary truths.
Yet these fictions do sometimes turn out to be very useful for describing the real world. Imaginary
numbers and group theory, for example, were ideas developed in pure mathematics that turned out to
be important for theories in physics. I think that pure mathematics sometimes turns out to be
scientifically useful for the same reason that good fiction can tell us much about human psychology
and social relations. Harry Potter and wizards do not exist, but J. K. Rowling's characters are based
on her familiarity with and understanding of human social relations. My favorite authors (such as
Shakespeare, Tolstoy, and Carol Shields) produce intensely interesting fictional characters and
events because they know so much about human nature derived from their own experience. Similarly,
the abstractions that mathematicians produce are often not pure creations; rather, mathematicians
develop them by imaginatively combining concepts that originated in reflections on aspects of the real
world. The writer Julian Barnes said that the novel tells beautiful, shapely lies which enclose hard,
exact truths. Mathematics tells beautiful, exact lies that sometimes approximate to messy truths.
To make this view of mathematics plausible, we need to know much more about the nature of
mathematical concepts. A wealth of experimental evidence is accumulating concerning the nature of
numerical thinking in human adults and infants, as well as in other animals. In accord with the view of
concepts defended in chapter 4, mathematical concepts are patterns of neural activation that encode
many different kinds of representation—visual and spatial as well as verbal and formal. But the
development of mathematics will not be well understood until we have a better account, to be
provided by theoretical neuroscience, of the mechanisms by which neural populations in multiple
brain areas can generate new, more abstract mathematical concepts.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความรู้ทางคณิตศาสตร์คืออะไรการตีความโลกยังคง วัตถุประสงค์ขนาดใหญ่ และหนึ่งที่สำคัญยังไม่ได้ตอบคำถามข้อสงสัยธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ เหตุเป็นจริงที่ 3 + 4 = 7 ในบทที่ 2 และ 4 ผมสั้นความรู้ทางคณิตศาสตร์วิธีดังกล่าวได้กระตุ้นนักปรัชญาจำนวนมากและ mathematicians เพื่อปฏิเสธ naturalism เพลโตและผู้สืบทอดมาก ต้องการตัว priori พื้นฐานของเลขคณิต เรขาคณิต (เช่นทฤษฎีบทพีทาโกรัส), และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์พวกเขาคิดว่า มันเป็นจำเป็นต้องจริง (ในโลกที่เป็นไปได้) ที่ 3 + 4 = 7 เป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติวิทยาศาสตร์ไม่สามารถอธิบายปริศนาเกี่ยวกับวิธีจัดการคนให้เข้าใจสัจธรรมทางคณิตศาสตร์จึงมีแหล่งที่มาของมุมมองความคิดเห็นเหนือธรรมชาติ ทางรับมือ naturalistic full-blown ต้องเรียนมากข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับลักษณะของแนวคิดทางคณิตศาสตร์จะพัฒนาในสมองมนุษย์ มีอยู่แล้วบางเข้าใจแนวคิดของจำนวนสัตว์ และทารก แต่ underpinnings ประสาทของความรู้ทางคณิตศาสตร์เพียงจะเริ่มถูกตรวจสอบเป็นด่านแรก ที่เราสามารถบอกว่า คณิตศาสตร์แนวคิดที่ 3 สามเหลี่ยมมุมฉากกับอนันต์จำนวนรูปทั้งหมดของสมองเรียกใช้กล่าวถึงในบทที่ 4 การเรียงลำดับได้ นี้คิดว่า แนวคิดดังกล่าวมาโดยตรงจากประสบการณ์ เนื่องจากเราได้เห็นแนวคิดใหม่สามารถได้ก่อตั้งขึ้นโดยแนวคิดที่ไปไกลเกินกว่าการรับรู้ นอกจากนี้ แนวคิดพื้นฐานบางอย่างเช่นวัตถุได้โดยธรรมชาติ แนวคิดเช่นนี้และหมายเลขเปิดใช้งานอาจเริ่มต้น ด้วยเฉพาะตัวอย่างเมื่อเด็กสังเกตคอลเลกชันของวัตถุ และได้เรียนรู้เรื่อง การนับ เพิ่ม แต่ชุดแนวคิดสามารถสร้างชุดนามธรรมเช่นจำนวนเฉพาะโดยรวดเร็วตัวมันเองและ 1 ชนิดของกลไกประสาทที่ฉันกล่าวถึงในข้อความคิดสร้างสรรค์ควรพอเพียงอย่างเท่าเทียมกัน ดีในการผลิตของ abstractions ทางคณิตศาสตร์แต่มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างทฤษฎีเอนทิตี เช่นคลื่นเสียง และคณิตศาสตร์เอนทิตีเช่นจำกัดจำนวน ถึงแม้ว่าเราไม่สามารถสังเกตคลื่นเสียง เราอยู่ชิดขอบในเชื่อว่า พวกเขามีอยู่ โดยข้อการอธิบายที่ดีที่สุด เราไม่ได้ยิน หรือเห็นคลื่นเสียง แต่เราสามารถสังเกตผลสาเหตุของพวกเขาเมื่อใดก็ ตามที่เราได้ยินเสียง ในทางตรงข้าม ทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวเอนทิตีเช่นหมายเลขไม่มีผลใด ๆ สาเหตุโดยตรง อย่างไรสามารถเราได้รับการพิสูจน์ในความคิดพวกเขาอยู่หรือไม่ผมเคยล่อลวงให้บอกว่า ตัวเลขมีอยู่เนื่องจากตัวเลขแนวคิด และแนวคิดรูปแบบของการเปิดใช้งานประสาทที่มีอยู่ในสมองจริง ปัญหา ด้วยมุมมองนี้เป็นการที่จะมีดูเหมือนจะ เป็นหมายเลขที่ไกลมากขึ้นกว่ารูปแบบของการเปิดใช้งานสมอง สมมติว่า neurons สามารถดับเพลิง หรือไม่ไฟประมาณ 100 ครั้งต่อวินาที และที่มี 100 ล้าน neurons แล้วเราสามารถคำนวณที่มีน้อย (2100)100,000,000,000 รูปแบบสามารถเปิดใช้ในสมองมนุษย์ นี่คือการกันเป็นจำนวนมาก ไกลกว่าจำนวนชนิดของสิ่งที่มีอยู่ในจักรวาลซึ่งมักจะเป็นประมาณมีเพียงประมาณ 1080 ประถมศึกษาอนุภาค แต่หมายเลขจำนวนเต็ม(1, 2,...) เป็นอนันต์ เพราะเราจะสามารถผลิตเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าเพียงแค่เพิ่ม 1 (คล้ายกันหลักฐานแสดงว่า มีการจำกัดจำนวนของจริงทีวี เนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของยิ่งแย่ลงเสมอมาตลอด)ทวีความรุนแรงปัญหา ที่ปั้นจั่นศตวรรษนักคณิตศาสตร์พบว่าจอร์จคันทอร์ที่มีเพิ่มเติมตัวเลขจำนวนจริง (เช่น ปี่ 3.14159...) มากกว่าจำนวนเต็ม และแน่นอนที่มีอยู่เป็นอนันต์จำนวนชุดจำนวนอนันต์ของขนาดแตกต่างกัน การว่ายสระ ไม่สมองอย่างชัดเจนระงับการจำกัดจำนวนของรูปแบบ ดังนั้น หมายเลขไม่ทั้งหมดเป็นแนวคิดของสมอง มีมากกว่าพวกเขาสามารถสรุปทฤษฎีตี โดยข้อการอธิบายที่ดีที่สุดผมคิดว่า ทางเป็นไปได้มากที่สุดจนนี้จะสรุปว่า ตัวเลขและอื่น ๆวัตถุทางคณิตศาสตร์มีเพียง fictions: พวกเขาไม่มีอยู่ในโลกจริง อีกกว่าแฮร์รี่พอตเตอร์แฮมเลต เทวดาทำ แล้ว เรียกร้องทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวจะสมมติมากเกินไป แม้ว่าพวกเขาสามารถเป็นไปได้ หรือไม่น่าเชื่อภายในบริบทของโลกสมมติที่จะอธิบาย Fictionally แฮร์รี่พอตเตอร์เป็นตัวช่วยสร้างเด็กแทนที่เป็นสุนัข และเทวดามีปีกมากกว่าเครื่องยนต์ ในทำนองเดียวกันภายในบริบทของสัจพจน์ของทฤษฎีจำนวน หมายเลขสามารถเพียบขนาดใหญ่ หรือขนาด เล็ก และภายในบริบทของทฤษฎีเซต มีการว่ายชุดอนันต์ แต่ตัวเลข ชุด และตัวช่วยสร้างไม่มีอยู่ในโลกจริงปัญหาใหญ่กับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็น fictions อยู่ใน comprehendingวิธีคณิตศาสตร์ได้เพื่อประโยชน์ในการอธิบาย และอธิบายโลก ดูเหมือนว่า มีจริง arithmetical ตรงไปตรงมาเช่น 2 + 2 = 4 คณิตศาสตร์ หลายสาขาเช่นพีชคณิตและแคลคูลัส ที่เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในทางวิทยาศาสตร์ไปจนถึงฟิสิกส์ทฤษฎีประสาทวิทยาศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสมองที่ทำงานทราบเราอะไรเกี่ยวกับคิดถ้าได้อย่างคณิตศาสตร์คือสมมติคำตอบเป็นไปได้มากที่สุดคือ ว่า สามารถเข้าใจเรียกร้องทางคณิตศาสตร์จำนวนมากเป็นเกี่ยวกับการจริงโลก มากกว่าเกี่ยวกับบางบทคัดย่อโดเมนของวัตถุ ผมคิดว่า ข้อเรียกร้องต่อไปนี้เป็นจริง:วางวัตถุ 2 กับวัตถุอื่น ๆ 2 ทำให้ผลรวมของวัตถุ 4 นี่คือข้อเรียกร้องเกี่ยวกับวัตถุ ไม่เกี่ยวกับหมายเลข เพื่อให้ความจริงของโลกจริง ในทำนองเดียวกัน ที่อยู่ของพีชคณิตและแคลคูลัสไม่เป็นจริง หรือเท็จ แต่พวกเขาจะใช้เพื่อแสดงเรียกร้อง evaluable เกี่ยวกับระบบทางกายภาพ การเรียกร้องที่สามารถตัดสินจะจริง หรือเท็จโดยใช้หลักฐานการทดลองและข้อดีสุดอธิบาย คณิตศาสตร์งบไม่จริงเป็น priori หรือกำลังจะ generalizationsโลก แต่เราสามารถรวมแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ด้วยแนวคิดเกี่ยวกับกิจกรรมและกระบวนการเพื่อให้เรียกร้องเกี่ยวกับโลก คำสั่งทางคณิตศาสตร์นามธรรมเช่นในทฤษฎีเซตและจำนวนทฤษฎีมี assertions สมมติมากกว่าจำเป็นจริงยัง fictions เหล่านี้บางครั้งเปิดออกจะมีประโยชน์มากในโลกจริง จำนวนจินตภาพหมายเลขและทฤษฎีกลุ่ม เช่น มีความคิดที่พัฒนาในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่หันออกไปมีความสำคัญสำหรับทฤษฎีในวิชาฟิสิกส์ คิดว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์บางครั้งจะออกมาวิทยาศาสตร์มีประโยชน์เหตุผลเดียวกันว่านิยายที่ดีสามารถบอกมากเกี่ยวกับจิตวิทยามนุษย์และความสัมพันธ์ทางสังคม แฮร์รี่พอตเตอร์และตัวช่วยสร้างไม่มีอยู่ แต่ตัวเจคุณ Rowling อยู่เธอคุ้นเคยและเข้าใจความสัมพันธ์ของสังคมมนุษย์ ผู้เขียนที่ชื่นชอบของฉัน (เช่นเชกสเปียร์ Tolstoy และแครอลโล่) ความน่าสนใจเป็นตัวอักษรสมมติผลิต และเหตุการณ์ เพราะพวกเขารู้มากเกี่ยวกับธรรมชาติของมนุษย์ที่มาจากตนเองสัมผัส ในทำนองเดียวกันabstractions mathematicians ที่มีมักจะไม่สร้างสรรค์บริสุทธิ์ ค่อนข้าง mathematiciansพัฒนาได้ โดยการรวมแนวคิดที่มาในสะท้อนแง่มุมของจริงคขนาดโลก Julian Barnes ผู้เขียนกล่าวว่า นวนิยายที่บอกสวย หุ่นดีอยู่ที่ใส่หนักจริงแน่นอน คณิตศาสตร์บอกอยู่สวยงาม แน่นอนที่จริงบางครั้งโดยประมาณจะยุ่งทำให้มุมมองของคณิตศาสตร์เป็นไปได้ เราต้องการรู้มากเกี่ยวกับลักษณะของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ หลังทดลองหลักฐานมากมายเกี่ยวกับธรรมชาติของคิดเลข ในทารกและผู้ใหญ่มนุษย์ และสัตว์อื่น ๆ ในสอดคล้องกับมุมมองของปกป้องในบทที่ 4 แนวคิด แนวคิดทางคณิตศาสตร์มีรูปแบบของการเปิดใช้งานประสาทที่เข้ารหัสชนิดแสดง — ภาพ และพื้นที่รวมทั้งคำพูดและเป็นทางการ แต่การพัฒนาคณิตศาสตร์จะไม่ดีเข้าใจจนกว่าเรามีบัญชีที่ดี ให้โดยทฤษฎีประสาทวิทยาศาสตร์ กลไกโดยประชากรที่ประสาทในหลายพื้นที่สมองสามารถสร้างใหม่ แนวคิดทางคณิตศาสตร์นามธรรมมากขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คืออะไรความรู้ทางคณิตศาสตร์? ตีความโลกยังคงเป็นวัตถุประสงค์ที่มีขนาดใหญ่และเป็นหนึ่งในคำถามที่สำคัญที่ยังไม่ได้เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ทำไมมันจึงเป็นความจริงที่ว่า 3 + 4 = 7? ในบทที่ 2 และ 4 ผมสั้นคนกล่าวว่าถึงความรู้ทางคณิตศาสตร์ได้กระตุ้นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์จำนวนมากที่จะปฏิเสธนิยม สำหรับเพลโตและสืบทอดจำนวนมากจะต้องมีพื้นฐานเบื้องต้นสำหรับจริงของคณิตศาสตร์เรขาคณิต (เช่นทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และสาขาอื่น ๆ อีกมากมายของคณิตศาสตร์. พวกเขาคิดว่ามันเป็นความจริงจำเป็นต้อง (ในโลกที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ที่ 3 + 4 = 7 ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติวิทยาศาสตร์ไม่สามารถอธิบายได้. ปริศนาเกี่ยวกับวิธีการจัดการคนที่จะเข้าใจความจริงทางคณิตศาสตร์ที่มีมานานแล้วแหล่งที่มาของมุมมองที่ความคิดที่เหนือธรรมชาติ ทางเลือกที่ธรรมชาติเต็มเป่าเป็นไปได้ต้องมีการเรียนรู้มากยิ่งขึ้นเกี่ยวกับธรรมชาติของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่พวกเขาพัฒนาในสมองของมนุษย์ แล้วมีความเข้าใจในแนวคิดของจำนวนในสัตว์และทารกบางแต่หนุนหลังประสาทของความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นเพียงการเริ่มต้นที่จะรับการตรวจสอบ. ในฐานะที่เป็นครั้งแรกผ่านที่เราสามารถพูดได้ว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์จากสามถึงสามเหลี่ยมสิทธิที่จะไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนรูปแบบทั้งหมดการเปิดใช้งานสมองของการจัดเรียงที่กล่าวถึงในบทที่ 4 นี้จะไม่คิดว่าแนวคิดดังกล่าวจะได้รับโดยตรงจากประสบการณ์เพราะเราได้เห็นว่าแนวความคิดใหม่ที่สามารถจะเกิดขึ้นจากการรวมกันทางความคิดที่ไปไกลเกินการรับรู้ นอกจากนี้ยังมีแนวคิดพื้นฐานบางอย่างเช่นวัตถุที่อาจจะก่อให้เกิด เปิดใช้งานของแนวคิดเช่นจำนวนและนอกจากนี้อาจเริ่มต้นด้วยที่เฉพาะเจาะจงตัวอย่างเมื่อสังเกตเด็กคอลเลกชันของวัตถุและได้รับการสอนการนับและเพิ่มแต่รวมกันความคิดได้อย่างรวดเร็วสามารถสร้างรวมกันเป็นนามธรรมเช่นจำนวนหารเท่านั้นโดยตัวของมันเองและ1 ชนิดของกลไกของระบบประสาทฉัน ที่กล่าวถึงในการอภิปรายความคิดสร้างสรรค์ควรพอเพียงอย่างเท่าเทียมกันทั้งในการผลิตตัวแทนของแนวคิดทางคณิตศาสตร์. แต่มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างหน่วยงานทางทฤษฎีเช่นคลื่นเสียงและคณิตศาสตร์หน่วยงานเช่นจำนวนอนันต์ แม้ว่าเราจะไม่สามารถสังเกตเห็นคลื่นเสียงที่เราจะมีความชอบธรรมในความเชื่อว่าพวกเขามีอยู่โดยอนุมานที่จะอธิบายที่ดีที่สุด เราไม่สามารถได้ยินหรือเห็นคลื่นเสียง แต่เราสามารถสังเกตผลกระทบเชิงสาเหตุของพวกเขาเมื่อใดก็ตามที่เราได้ยินเสียง ในทางตรงกันข้ามทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจดหน่วยงานเช่นหมายเลขไม่ได้มีผลกระทบเชิงสาเหตุโดยตรงดังนั้นวิธีการที่เราสามารถเป็นธรรมในการคิดที่พวกเขาอยู่? ฉันถูกล่อลวงครั้งเดียวที่จะบอกว่าตัวเลขอยู่เพราะตัวเลขที่มีแนวความคิดและแนวความคิดที่มีรูปแบบของการกระตุ้นระบบประสาทที่มีอยู่ในสมองจริง ปัญหาที่เกิดขึ้นกับมุมมองนี้ก็คือว่ามีจะดูเหมือนจะเป็นตัวเลขที่มากกว่ารูปแบบของการกระตุ้นสมอง สมมติว่าเซลล์ประสาทสามารถยิงหรือไม่ยิงประมาณ 100 ครั้งต่อวินาทีและที่มีเซลล์ประสาท 100000000000 แล้วเราสามารถคำนวณว่ามีอย่างน้อย(2 100) 100000000000 รูปแบบที่เป็นไปได้ของการกระตุ้นในสมองของมนุษย์ นี้เป็นจำนวนมากเป็นพิเศษไกลเกินกว่าจำนวนชนิดของสิ่งที่มีอยู่ในจักรวาลซึ่งมักจะคาดว่าจะมีเพียงประมาณ10 80 อนุภาคมูลฐาน แต่จำนวนของจำนวนเต็ม(1, 2, ... ) ไม่มีที่สิ้นสุดเพราะเรามักจะสามารถผลิตเป็นจำนวนเต็มมากขึ้นโดยการเพิ่มเพียง 1 (คล้ายหลักฐานแสดงให้เห็นว่ามีจำนวนอนันต์ของความเป็นจริงรายการโทรทัศน์เพราะหนึ่งยังเลวร้ายก็คือมักจะมาพร้อม.) เร่งปัญหาคณิตศาสตร์ศตวรรษที่สิบเก้าเฟรดต้นเสียงแสดงให้เห็นว่ามีตัวเลขจริงมากขึ้น (เช่นปี่, 3.14159 ... ) กว่าที่มีจำนวนเต็มและแน่นอนว่ามีไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนชุดของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุดของขนาดแตกต่างกัน, อินฟินิตี้ของอนันต์ เห็นได้ชัดว่าสมองไม่สามารถถือเป็นจำนวนอนันต์ของรูปแบบ ดังนั้นตัวเลขไม่สามารถทั้งหมดจะเป็นแนวความคิดในสมองมากกว่าที่พวกเขาสามารถ. เป็นหน่วยงานทางทฤษฎีสรุปโดยอนุมานที่จะอธิบายที่ดีที่สุดผมคิดว่าวิธีที่เป็นไปได้มากที่สุดของอับจนนี้คือการสรุปว่าตัวเลขและอื่นๆวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นเพียง fictions: พวกเขาสวม ' ทีมีอยู่ในโลกแห่งความจริงใด ๆ มากกว่าแฮร์รี่พอตเตอร์, หมู่บ้านและเทวดาทำ จากนั้นการเรียกร้องทางคณิตศาสตร์อย่างหมดจดมีตัวละครมากเกินไปแม้ว่าพวกเขาจะสามารถเป็นไปได้หรือไม่น่าเชื่อในบริบทของโลกสมมุติที่พวกเขาอธิบาย fictionally แฮร์รี่พอตเตอร์เป็นเด็กตัวช่วยสร้างมากกว่าสุนัขและเทวดามีปีกมากกว่าเครื่องยนต์เจ็ท ในทำนองเดียวกันในบริบทของหลักการของทฤษฎีจำนวนตัวเลขสามารถเพียบขนาดใหญ่หรือขนาดเล็ก และอยู่ในบริบทของการตั้งทฤษฎีที่มีอินฟินิตี้ชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ตัวเลขชุดและพ่อมดไม่ได้มีอยู่ในโลกแห่งความจริง. ปัญหาที่สำคัญที่มีการทำความเข้าใจวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็น fictions อยู่ในการทำความเข้าใจวิธีการทางคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์มากในการอธิบายและอธิบายโลก มันดูเหมือนว่าจะมีความจริงที่ตรงไปตรงมาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เช่น 2 + 2 = 4 และอีกหลายสาขาของคณิตศาสตร์เช่นพีชคณิตและแคลคูลัสที่มีคุณค่าในด้านวิทยาศาสตร์ตั้งแต่ฟิสิกส์ทฤษฎีประสาท วิธีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการทำงานของสมองสามารถบอกอะไรเราเกี่ยวกับการคิดถ้าคณิตศาสตร์สวม? คำตอบที่เป็นไปได้มากที่สุดก็คือว่าการเรียกร้องทางคณิตศาสตร์หลายคนสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเรื่องเกี่ยวกับโลกแห่งความจริงมากกว่าที่จะเกี่ยวกับบางโดเมนนามธรรมของวัตถุ ผมคิดว่าการเรียกร้องดังต่อไปนี้เป็นจริง: วางวัตถุที่ 2 ร่วมกับ 2 วัตถุอื่น ๆ ทำให้รวมเป็น 4 วัตถุ นี้เป็นข้อเรียกร้องที่เกี่ยวกับวัตถุที่ไม่ได้เกี่ยวกับตัวเลขเพื่อที่จะสามารถที่แท้จริงของโลกแห่งความจริง ในทำนองเดียวกันพีชคณิตและแคลคูลัสเป็นไม่ใช่เรื่องจริงไม่ใช่เท็จแต่พวกเขาจะใช้ในการแสดงการเรียกร้องประเมินเกี่ยวกับระบบทางกายภาพการเรียกร้องที่สามารถได้รับการตัดสินที่จะเป็นจริงหรือเท็จบนพื้นฐานของหลักฐานการทดลองและการอนุมานที่ดีที่สุดคำอธิบาย งบคณิตศาสตร์ไม่เป็นความจริงเบื้องต้นไม่ว่าพวกเขา generalizations เกี่ยวกับโลก แต่เราสามารถรวมแนวคิดทางคณิตศาสตร์กับแนวความคิดเกี่ยวกับสิ่งที่และกระบวนการในการทำให้การเรียกร้องเกี่ยวกับโลก งบทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมเช่นผู้ที่อยู่ในการตั้งทฤษฎีและจำนวนทฤษฎีมีการยืนยันตัวละครมากกว่าความจริงที่จำเป็น. แต่ fictions เหล่านี้บางครั้งเปิดออกเพื่อจะมีประโยชน์มากสำหรับการอธิบายโลกแห่งความจริง จินตนาการตัวเลขและทฤษฎีกลุ่มตัวอย่างที่ได้รับการพัฒนาในความคิดของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่เปิดออกมามีความสำคัญสำหรับทฤษฎีฟิสิกส์ ผมคิดว่าคณิตศาสตร์บริสุทธิ์บางครั้งจะออกมาเป็นประโยชน์ทางวิทยาศาสตร์ด้วยเหตุผลเดียวกันว่านิยายที่ดีสามารถบอกเรามากเกี่ยวกับจิตวิทยาของมนุษย์และความสัมพันธ์ทางสังคม Harry Potter และตัวช่วยสร้างไม่อยู่ แต่ตัวละคร JK Rowling จะขึ้นอยู่กับความคุ้นเคยของเธอกับและความเข้าใจในความสัมพันธ์ทางสังคมของมนุษย์ ผู้เขียนโปรดของฉัน (เช่นเช็คสเปียร์อลสตอย, และแครอลโล่) ผลิตตัวละครที่น่าสนใจอย่างมากและเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเพราะพวกเขารู้มากเกี่ยวกับธรรมชาติของมนุษย์ที่ได้มาจากประสบการณ์ของตัวเอง ในทำนองเดียวกันนามธรรมที่ผลิตนักคณิตศาสตร์มักจะไม่สร้างสรรค์บริสุทธิ์ แต่นักคณิตศาสตร์พัฒนาพวกเขาจินตนาการโดยการรวมแนวความคิดที่เกิดขึ้นในการสะท้อนความเห็นในแง่มุมของความเป็นจริงในโลก นักเขียนจูเลียนบาร์นส์กล่าวว่านวนิยายเรื่องนี้บอกสวยงามอยู่ที่หุ่นดีใส่อย่างหนักความจริงแน่นอน คณิตศาสตร์บอกสวยงามแน่นอนว่าบางครั้งการอยู่ประมาณยุ่งจริง. เพื่อให้มุมมองของคณิตศาสตร์นี้เป็นไปได้ที่เราต้องรู้มากขึ้นเกี่ยวกับธรรมชาติของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ความมั่งคั่งของหลักฐานการทดลองสะสมเกี่ยวกับธรรมชาติของการคิดเชิงตัวเลขในผู้ใหญ่มนุษย์และทารกเช่นเดียวกับในสัตว์อื่น ๆ สอดคล้องกับมุมมองของแนวคิดการปกป้องในบทที่ 4 แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีรูปแบบของการกระตุ้นประสาทที่เข้ารหัสชนิดที่แตกต่างของการแสดงภาพและเชิงพื้นที่เช่นเดียวกับทางวาจาและเป็นทางการ แต่การพัฒนาคณิตศาสตร์จะไม่เข้าใจจนกว่าเราจะมีบัญชีที่ดีกว่าที่จะให้บริการโดยประสาททฤษฎีของกลไกโดยที่ประชากรประสาทในหลายพื้นที่ของสมองสามารถสร้างใหม่แนวคิดทางคณิตศาสตร์นามธรรมมากขึ้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อะไรคือความรู้ทางคณิตศาสตร์ ?
ตีความโลกยังคงมีขนาดใหญ่และคำถามคำตอบหนึ่งที่สำคัญเกี่ยวกับ
ธรรมชาติของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ทำไมมันจริงที่ 3 4 = 7 ในบทที่ 2 และ 4 ผมสั้น
กล่าวถึงความรู้คณิตศาสตร์ออกมากมาย นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์

ปฏิเสธธรรมชาตินิยม สำหรับพลาโตและผู้สืบทอดมากมาย ,ต้องมีพื้นฐานของความจริงระหว่าง
เลขคณิต เรขาคณิต เช่น ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ) และหลายสาขาอื่น ๆของคณิตศาสตร์ .
พวกเขาคิดว่า มันต้องเป็นจริง ( ในโลกเป็นไปได้ทั้งหมด ) ที่ 3 4 = 7 , ในทางที่วิทยาศาสตร์ไม่สามารถอธิบายธรรมชาติ
.
ปริศนาเกี่ยวกับวิธีการที่คน การจัดการที่จะเข้าใจความจริงทางคณิตศาสตร์มีมานานแล้วแหล่งที่มาของมุมมอง
ที่ความคิดเหนือธรรมชาติเต็มเป่าคล่องดทางเลือกต้องมีการเรียนรู้มาก
เพิ่มเติมเกี่ยวกับธรรมชาติของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่พวกเขาพัฒนาสมองมนุษย์ แล้วมีบางความเข้าใจแนวคิด
จำนวนสัตว์และทารก แต่ underpinnings ระบบประสาท
ความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นเพียงจุดเริ่มต้นที่จะตรวจสอบ .
เป็นผ่านแรกเราสามารถพูดได้ว่า แนวคิดทางคณิตศาสตร์ จากสามสามเหลี่ยมด้านขวาเพื่ออนันต์
เบอร์ได้ทุกรูปแบบของการกระตุ้นสมองของการจัดเรียงที่กล่าวถึงในบทที่ 4 นี้ไม่ถือว่า
ว่าแนวคิดดังกล่าวมีที่มาโดยตรงจากประสบการณ์ เพราะเราได้เห็นแนวคิดใหม่สามารถ
จะเกิดขึ้นจากแนวคิดรวมกันที่ไปไกลเกินกว่าการรับรู้ นอกจากนี้ แนวคิดพื้นฐาน
เหมือนวัตถุ อาจเป็นแหล่ง การใช้แนวคิดแบบตัวเลข และนอกจากนี้อาจจะเริ่มด้วยตัวอย่างเฉพาะ
เมื่อเด็กสังเกตคอลเลกชันของวัตถุ และจะสอนให้นับ และ เพิ่ม แต่สามารถสร้างชุดค่าผสมรวมกัน
แนวคิดนามธรรม เช่น เลขที่หารลงตัวได้ด้วย
ตัวเองและ 1 ชนิดของกลไกประสาทที่ผมกล่าวถึงในเรื่องความคิดสร้างสรรค์ควรพอเพียง
เท่าเทียมกันดีสำหรับการผลิตภาพตัวแทนของนามธรรมทางคณิตศาสตร์
แต่มีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างหน่วยงานเชิงทฤษฎี เช่น เสียงคลื่นและหน่วยงานทางคณิตศาสตร์
เช่นจำนวนอนันต์ . ถึงแม้ว่าเราไม่สามารถสังเกตเสียงคลื่น เราเป็นผู้ชอบธรรมใน
เชื่อว่าพวกเขามีอยู่โดยการอนุมานให้คำอธิบายที่ดีที่สุด พวกเราไม่ได้ยินเสียงหรือเห็นแต่
คลื่นเราสามารถสังเกตอิทธิพลเชิงสาเหตุของพวกเขาเมื่อใดก็ตามที่เราได้ยินเสียง ในทางตรงกันข้าม หน่วยงานอย่างหมดจดทางคณิตศาสตร์
ชอบตัวเลข ไม่มีผลใด ๆ สาเหตุโดยตรง ดังนั้นวิธีที่เราสามารถเป็นคนชอบธรรมในความคิดพวกเขา
อยู่ ?
ผมเคยอยากพูดตัวเลขอยู่เพราะตัวเลขเป็นแนวคิดและรูปแบบของการกระตุ้นระบบประสาท
แนวคิดที่มีอยู่ในสมองจริงปัญหากับมุมมองนี้ได้
ดูเหมือนจะมีตัวเลขมากกว่ารูปแบบของการกระตุ้นสมอง สมมติว่าเซลล์ประสาทสามารถไฟหรือไม่
ไฟประมาณ 100 ครั้งต่อวินาที และมี 100 พันล้านเซลล์ แล้วเราสามารถคำนวณว่ามีอย่างน้อย 2

100
)
100000000000 ที่สุดรูปแบบของการกระตุ้นในสมองของมนุษย์ นี่คือ
เป็นพิเศษขนาดใหญ่จำนวนไกลเกินกว่าจำนวนของชนิดของสิ่งที่มีในจักรวาล
ซึ่งมักจะมีเพียงประมาณ 10
80 ระดับอนุภาค แต่จำนวนของจำนวนเต็ม
( 1 , 2 , . . . ) เป็นอนันต์ เพราะเราสามารถผลิตเต็มที่มากขึ้นโดยการเพิ่ม 1 ( หลักฐานที่คล้ายกัน
แสดงว่ามีจำนวนอนันต์ของความเป็นจริงรายการโทรทัศน์ เพราะยิ่งกว่าหนึ่ง

ตามมาเสมอ )ทวีความรุนแรงของปัญหา เกออร์ก คันทอร์นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเก้า พบว่ามีตัวเลขจริง
เพิ่มเติม ( เช่นเมื่อ 3.14159 . . . . . . . ) กว่ามีจำนวนเต็ม และแน่นอนว่า มีนับไม่ถ้วน
ชุดอนันต์ตัวเลขขนาดต่าง ๆเป็นอนันต์ของอนันต์ . ชัดเจน สมองไม่สามารถ
ถือเป็นจำนวนของรูปแบบ ดังนั้น ตัวเลขจะเป็นแนวคิดที่สมองกว่าที่พวกเขาสามารถเป็นหน่วยงานที่ได้โดยการอนุมาน
ทฤษฎีเพื่ออธิบายที่ดีที่สุด .
ฉันคิดว่าน่าเชื่อถือที่สุดทางออกของปัญหานี้คือการสรุปตัวเลขและวัตถุอื่น ๆเป็นเพียงนวนิยาย
คณิตศาสตร์ : พวกเขาไม่มีตัวตนอยู่ในโลกจริง มากกว่าที่แฮร์รี่ พอตเตอร์
ประชาไท และเทวดาทำ แล้วอย่างหมดจดทางคณิตศาสตร์อ้างว่าสวมด้วย แม้ว่าพวกเขาสามารถ
เป็นไปได้หรือที่ไม่น่าเชื่อในบริบทของโลกสมมติพวกเขาอธิบาย fictionally แฮร์รี่ พอตเตอร์ เป็นเด็กผู้ชาย
พ่อมดมากกว่าสุนัข และเทวดามีปีกมากกว่าเครื่องยนต์เจ็ท . โดย
ภายในบริบทของสัจพจน์ของทฤษฎีตัวเลข ตัวเลขจะใหญ่หรือเล็ก เพียบ และภายใน
บริบทของทฤษฎีเซตมีเป็นอนันต์ของเซตอนันต์ แต่ตัวเลขชุดพ่อมดและไม่ได้

ในโลกจริง ปัญหาหลักกับความเข้าใจวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นวรรณกรรมอยู่ในความเข้าใจ
วิธีคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์มากในการอธิบายและอธิบายโลก ดูเหมือนว่ามี
ความจริงตรงไปตรงมา เช่น คณิตศาสตร์ 2 2 = 4 , และหลายสาขาของคณิตศาสตร์เช่น
พีชคณิตและแคลคูลัสที่ทรงคุณค่าในสาขาวิทยาศาสตร์ตั้งแต่ฟิสิกส์ทฤษฎี
ประสาทวิทยาศาสตร์ . ทำไมโมเดลทางคณิตศาสตร์ของการทำงานสมองบอกอะไรเราเกี่ยวกับการคิดถ้า
คณิตศาสตร์จะสวม ?
คำตอบที่น่าเชื่อถือที่สุดคือการเรียกร้องทางคณิตศาสตร์มากมายสามารถเข้าใจเป็นเรื่อง
โลกจริงมากกว่าเรื่องนามธรรม โดเมนของวัตถุ ผมคิดว่าข้อเรียกร้องต่อไปนี้เป็นจริง :
ใส่ 2 วัตถุด้วยกันกับ 2 วัตถุอื่น ๆทำให้จำนวน 4 รายการ นี่คือการเรียกร้องเกี่ยวกับ
วัตถุ ไม่ได้เกี่ยวกับตัวเลข มันสามารถเป็นจริงของโลกที่แท้จริง ในพีชคณิตและแคลคูลัสเป็น
ไม่จริงหรือเท็จ แต่พวกเขาจะใช้เพื่อแสดงการเรียกร้องเกี่ยวกับการเรียกร้อง
evaluable ระบบทางกายภาพที่สามารถตัดสินที่จะเป็นจริงหรือเท็จบนพื้นฐานของหลักฐานการทดลองและการอนุมานเพื่ออธิบายที่ดีที่สุด

ข้อความทางคณิตศาสตร์ไม่จริง priori , และทั่วไปพวกเขาเกี่ยวกับ
โลก แต่เราสามารถรวมแนวคิดทางคณิตศาสตร์กับแนวคิดเรื่องกระบวนการและให้
อ้างเรื่องโลก นามธรรมทางคณิตศาสตร์ งบเช่นในทฤษฎีเซตและหมายเลข
ทฤษฎียืนยันตัวละครมากกว่าความจริงที่จำเป็น .
แต่บันเทิงคดีเหล่านี้บางครั้งเปิดออกเพื่อจะมีประโยชน์มากในการอธิบายโลกที่แท้จริง ตัวเลขในจินตนาการ
และทฤษฎี กลุ่มตัวอย่าง มีความคิดที่พัฒนาในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่กลับกลาย
มาก ทฤษฎีฟิสิกส์ ฉันคิดว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ บางครั้งกลายเป็น
ประโยชน์ทางวิทยาศาสตร์สำหรับเหตุผลเดียวกันว่า นิยายที่ดีสามารถบอกมากเกี่ยวกับ
จิตวิทยามนุษย์และความสัมพันธ์ทางสังคม . แฮร์รี่ พอตเตอร์ และ พ่อมดไม่อยู่ แต่เจ. เค. โรว์ลิงตัวละครอยู่
เธอคุ้นเคยกับ ความเข้าใจ ความสัมพันธ์ทางสังคมของมนุษย์ ผู้ที่ชื่นชอบของฉัน ( เช่น
เชคเสปียร์ ตอลสตอย และแครอลโล่ ) ผลิตอย่างเข้มข้นและ
ตัวละครที่น่าสนใจเหตุการณ์ เพราะพวกเขารู้มากเกี่ยวกับธรรมชาติของมนุษย์ได้มาจากประสบการณ์ของตัวเอง โดย
นามธรรมที่นักคณิตศาสตร์ ผลิตมักจะไม่สร้างบริสุทธิ์ ; ค่อนข้าง , นักคณิตศาสตร์
พัฒนาโดย imaginatively รวมแนวคิดที่มาในสะท้อนในแง่มุมของโลกที่แท้จริง

จูเลียน บาร์นส์ กล่าวว่า นักเขียนนิยาย บอกสวยรูปงามซึ่งอยู่ล้อมรอบอย่างหนัก
ความจริงแน่นอน คณิตศาสตร์บอกสวยมาก แน่นอนอยู่ที่บางครั้งใกล้เคียงกับความจริงเลย .
ให้วิวคณิตศาสตร์สัมพันธ์ เราต้องรู้มากเกี่ยวกับธรรมชาติของ
แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ความมั่งคั่งของหลักฐานการทดลองคือการสะสมเกี่ยวกับธรรมชาติของ
คิดเชิงตัวเลขในผู้ใหญ่มนุษย์และทารก ตลอดจนในสัตว์อื่น ๆสอดคล้องกับมุมมองของ
แนวคิดปกป้องในบทที่ 4 แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นรูปแบบของการกระตุ้นระบบประสาทที่เข้ารหัส
หลายชนิดของการแสดงภาพและพื้นที่ รวมทั้งวาจาและอย่างเป็นทางการ แต่การพัฒนาของคณิตศาสตร์ จะเข้าใจได้ดี จนกระทั่งเรามีบัญชีดีกว่าที่จะ
โดยทฤษฎีประสาทวิทยาของกลไกซึ่งประสาทประชากรในพื้นที่หลาย
สมองสามารถสร้างใหม่ แนวคิดทางคณิตศาสตร์นามธรรมมากขึ้น