Date: 08/01/97 at 18:41:29From: Doc

Date: 08/01/97 at 18:41:29
From: Doctor Tom
Subject: Re: Basic Real Number Properties

Hello Tuesday,

To talk about these properties, you need to think not only about the
numbers themselves, but the operations you perform on them. Let's
just start with + (addition) and x (multiplication).

The operations + and x are associative. That means that if you
want to figure out what 3+4+5 is, you can start by adding 3 and 4
and then add 5 to that, or you can add 4 and 5 first, and then
add 3 to that. It's usually written like this:

(3+4)+5 = 3+(4+5)

The parentheses tell you what to do first. This is true of all
real numbers - there is nothing special about 3, 4, and 5, so you
often see it written:

(a+b)+c = a+(b+c)

where a, b, and c are any real numbers.

If you replace "+" by "x", exactly the same thing is true; you
can multiply in any order.

The other way to see why it is important to recognize that this is
a property is to look for operations that are NOT associative.

Is - (subtraction) associative? Let's check:

is (10 - 9) - 1 = 10 - (9 - 1) ?

No. On the left, we get 0 and on the right, we get 2.

Is division associative? Check some examples.

Think about the other properties in the same way. + and x
are commutative. That means a+b = b+a and a*b = b*a. Subtraction
and division are not commutative.

Closure means that if you add any two real numbers you'll get a real
number. Same if you multiply two numbers. Subtraction is closed, but
division is not. You cannot divide by zero.

The identity for addition is a number that can be added to any
other number and not change the other number. So zero is the
additive identity. Add zero to anything and it doesn't change.
Similarly, 1 is the multiplicative identity. Multiply anything
by 1 and it doesn't change.

The additive inverse of a number is something you can add to
the original number to get the additive identity. Additive
inverses always exist. The inverse of 4 is -4 since if you
add 4 and -4, you get 0, the additive identity.

All numbers but 0 have a multiplicative inverse. The inverse
of 7 is 1/7; the inverse of 92 is 1/92. But 0 has no inverse
because you can't multiply anything by zero and get 1 - you
always get zero.

Finally, the distributive law shows the interaction between
addition and multiplication. It states that:

ax(b+c) = axb + axc.

In other words, you can either add the b and c first, before
multiplying, or you can multiply a by each of b and c, and
add the results, and the final answer will be the same. The
distributive law holds for any three real numbers a, b, and c.

-Doctor Tom, The Math Forum

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วันที่: 08/01/97 18:41:29
ที่จาก: หมอทอมเรื่อง: Re: พื้นฐานจริงของจำนวนคุณสมบัติสวัสดีวันอังคารที่จะพูดคุยเกี่ยวกับคุณสมบัติเหล่านี้คุณจะต้องคิดว่าไม่เพียงแต่เกี่ยวกับตัวเลขตัวเอง แต่การดำเนินงานที่คุณทำ กับพวกเขา ขอเพียงแค่เริ่มต้นด้วย + (เพิ่มเติม) และ x (คูณ). การดำเนินงาน + x และมีการเชื่อมโยง นั่นหมายความว่าถ้าคุณต้องการที่จะคิดออกว่า 3 + 4 + 5 คือคุณสามารถเริ่มต้นโดยการเพิ่ม 3 และ 4 แล้วเพิ่ม 5 นั้นหรือคุณสามารถเพิ่ม 4 และ 5 เป็นครั้งแรกและจากนั้นเพิ่ม 3 ที่ มันมักจะเขียนเช่นนี้(3 + 4) = 5 + 3 (4 + 5) วงเล็บบอกคุณว่าจะทำก่อน นี่คือความจริงของทุกตัวเลขจริง - มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับ 3, 4, 5 และเพื่อให้คุณมักจะเห็นมันเขียน: (A + B) + c = A + (ข + ค) ที่ b, c และใด ๆ ตัวเลขจริง. ถ้าคุณเปลี่ยน "+" จาก "x" สิ่งเดียวกันเป็นความจริง คุณสามารถคูณในลำดับใด ๆ . วิธีอื่น ๆ เพื่อดูว่าทำไมมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะรับรู้ว่านี่คือสถานที่ให้บริการคือการมองหาการดำเนินงานที่ไม่ได้เชื่อมโยง. คือ - (ลบ) เชื่อมโยง? ขอตรวจสอบ: เป็น (10 - 9) - 1 = 10 - (9-1) ฉบับที่ ด้านซ้ายที่เราได้รับ 0 และด้านขวา 2. เราได้รับคือการเชื่อมโยงส่วน? ตรวจสอบตัวอย่างบางส่วน. คิดเกี่ยวกับคุณสมบัติอื่น ๆ ในลักษณะเดียวกัน + และ x มีการสับเปลี่ยน นั่นหมายความว่า A + B = b + และ a * b = b * a การลบและการหารไม่ได้สับเปลี่ยน. ปิดหมายความว่าถ้าคุณเพิ่มสองตัวเลขจริงคุณจะได้รับจริงจำนวน เหมือนกันถ้าคุณคูณสองหมายเลข ปิดลบ แต่ส่วนไม่ได้ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์. เอกลักษณ์นอกจากนี้เป็นตัวเลขที่สามารถเพิ่มใด ๆจำนวนอื่น ๆ และไม่ได้เปลี่ยนหมายเลขอื่น ๆ ดังนั้นศูนย์เป็นเอกลักษณ์การบวก เพิ่มศูนย์ถึงอะไรและจะไม่เปลี่ยน. ในทำนองเดียวกัน 1 คือบัตรประจำตัวคูณ คูณอะไรที่ 1 และจะไม่เปลี่ยน. สารเติมแต่งผกผันของจำนวนการให้เป็นสิ่งที่คุณสามารถเพิ่มจำนวนเดิมที่จะได้รับตัวตนของสารเติมแต่ง เสริมแปรผกผันกันอยู่เสมอ ผกผันของ 4 -4 เพราะถ้าคุณเพิ่ม4 -4 และคุณจะได้รับ 0 เอกลักษณ์การบวก. ตัวเลขทั้งหมด 0 แต่มีความผกผัน ผกผันของ 7 1/7; ผกผันของ 92 เป็น 1/92 แต่มี 0 ผกผันไม่มีเพราะคุณไม่สามารถคูณอะไรทางศูนย์และได้รับ1 - คุณมักจะได้รับเป็นศูนย์. ในที่สุดกฎหมายจำหน่ายแสดงให้เห็นถึงการทำงานร่วมกันระหว่างบวกและการคูณ มันระบุว่า:. ขวาน (ข + c) = axb + AXC ในคำอื่น ๆ คุณก็สามารถเพิ่มขและคก่อนคูณหรือคุณสามารถคูณโดยแต่ละB และ C และเพิ่มผลและคำตอบสุดท้ายจะเหมือนกัน กฎหมายจำหน่ายถือสำหรับการใด ๆ สามตัวเลขจริงมี b และ c. -Doctor ทอมฟอรั่มคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Sea view.Sea view.Sea view.Sea view.Sea view.Sea view.Sea view.