If from a straight line there is su

If from a straight line there is subtracted a straight line which is incommensurable in square with the whole, and which with the whole makes the sum of the squares on them medial but twice the rectangle contained by them rational, then the remainder is irrational; let it be called that which produces with a rational area a medial whole.
From the straight line AB let there be subtracted the straight line BC which is incommensurable in square with AB and fulfills the given conditions.
I say that the remainder AC is the irrational straight line aforesaid.
II.7
X.16
Since the sum of the squares on AB and BC is medial, while twice the rectangle AB by BC is rational, therefore the sum of the squares on AB and BC is incommensurable with twice the rectangle AB by BC. Therefore the remainder, the square on AC, is also incommensurable with twice the rectangle AB by BC.
And twice the rectangle AB by BC is rational, therefore the square on AC is irrational. Therefore AC is irrational. Let it be called that which produces with a rational area a medial whole.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้าจากเส้นตรง ไม่หักออกเป็นเส้นตรงซึ่งเป็น incommensurable ในสี่เหลี่ยมมีทั้งหมด และซึ่ง มีทั้งหมดทำให้ผลรวมของสี่เหลี่ยมบนด้านใกล้กลางแต่สองเหลี่ยมอยู่ โดยพวกเขาเชือด แล้วส่วนเหลือเป็นจำนวนอตรรกยะ ปล่อยให้มันถูกเรียกว่าการสร้างพื้นที่เชือดทั้งด้านใกล้กลางจากเส้นตรง AB ให้ลบเส้นตรง BC ซึ่งเป็น incommensurable ในสแควร์กับ AB และตามเงื่อนไขที่กำหนดบอกว่า เหลือ AC เส้นตรงจำนวนอตรรกยะ aforesaidII.7 X.16ผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC เป็นด้านใกล้กลาง ในขณะที่สองสี่เหลี่ยม AB โดย BC เชือด ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC ได้ incommensurable กับสองเหลี่ยม AB โดย BC ดังนั้น ส่วนเหลือ สแควร์บน AC ยังเป็น incommensurable กับสองเหลี่ยม AB โดย BCและสองเหลี่ยม AB โดย BC จะเชือด ดังนั้น สี่เหลี่ยมบน AC เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น AC เป็นจำนวนอตรรกยะ ปล่อยให้มันถูกเรียกว่าการสร้างพื้นที่เชือดทั้งด้านใกล้กลาง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ถ้ามาจากเส้นตรงมีการหักออกเป็นเส้นตรงซึ่งเป็นตารางเปรียบเทียบกันไม่ได้ในที่มีทั้งหมดและซึ่งมีทั้งทำให้ผลรวมของสี่เหลี่ยมที่พวกเขาอยู่ตรงกลาง แต่สองครั้งสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีอยู่โดยพวกเขามีเหตุผลแล้วส่วนที่เหลือไม่ลงตัว; ปล่อยให้มันถูกเรียกว่าซึ่งเป็นผู้ผลิตที่มีพื้นที่ที่มีเหตุผลทั้งที่อยู่ตรงกลาง.
จากเส้นตรง AB ให้มีการหักเส้นตรง BC ซึ่งเป็นเปรียบเทียบกันไม่ได้ในตารางที่มี AB และตอบสนองเงื่อนไขที่กำหนด.
ผมบอกว่าที่เหลือ AC เป็นไม่มีเหตุผล ดังกล่าวข้างต้นเส้นตรง.
II.7
X.16
ตั้งแต่ผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC เป็นตรงกลางขณะที่สองครั้งสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB BC โดยเป็นเหตุผลดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC เป็นครั้งที่สองที่มีการเปรียบเทียบกันไม่ได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า AB โดยคริสตศักราช ดังนั้นส่วนที่เหลือในตาราง AC ยังเป็นครั้งที่สองที่มีการเปรียบเทียบกันไม่ได้สี่เหลี่ยม AB โดย BC.
และครั้งที่สองโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB BC เป็นเหตุผลดังนั้นตาราง AC เป็นไม่มีเหตุผล ดังนั้น AC ไม่ลงตัว ปล่อยให้มันถูกเรียกว่าซึ่งเป็นผู้ผลิตที่มีพื้นที่ที่มีเหตุผลทั้งที่อยู่ตรงกลาง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้าเส้นตรงมันหักออกเป็นเส้นตรง ซึ่งเป็นสิ่งที่เปรียบเทียบกันไม่ได้ในจัตุรัสที่มีทั้งหมด ซึ่งมีทั้งทำให้ผลรวมของสี่เหลี่ยมนั้นอยู่ตรงกลาง แต่สองสี่เหลี่ยมอยู่ โดยให้เหตุผล แล้วส่วนที่เหลือก็ไม่ลงตัว ให้มันถูกเรียกว่าที่ผลิตมีพื้นที่ทั้งหมดที่มา เหตุผล .
จากเส้นตรง AB ให้มีหักออกตรงบรรทัดปีก่อนคริสตกาล ซึ่งเป็นสิ่งที่เปรียบเทียบกันไม่ได้ในสี่เหลี่ยมกับ AB และบรรลุเงื่อนไขได้รับ .
ฉันบอกว่าส่วนที่เหลือ AC เป็นเส้นตรงดังกล่าวไม่มีเหตุผล .
2
7 x.16
เนื่องจากผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC จะอยู่ตรงกลาง ส่วนสองสี่เหลี่ยม AB โดย BC จะเชือดดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน AB และ BC ที่เปรียบเทียบกันไม่ได้กับสองสี่เหลี่ยม AB โดย BC ดังนั้นส่วนที่เหลือ , ตารางใน AC , ยังที่เปรียบเทียบกันไม่ได้กับสองสี่เหลี่ยม AB โดย BC .
และสองสี่เหลี่ยม AB โดย BC เป็นจำนวนตรรกยะดังนั้นตารางใน AC เป็นจํานวนอตรรกยะ ดังนั้น AC ที่ไร้เหตุผล ให้มันเป็นชื่อที่สร้าง มีพื้นที่ทั้งหมดอยู่ตรงกลางที่มีเหตุผล