Mathematical model for path finding

Mathematical model for path finding
P. polycephalum is a large, single-celled amoeboid organism that
can form a dynamic tubular network linking the discovered food
sources during foraging. And the physiological mechanism behind
the tube formation and selection contributes to the Physarum’s ability
of path finding, which is: tubes thicken in a given direction
when the flux through it persists in that direction for a certain
time. With this mechanism, a mathematical model for path
finding has been constructed to simulate the adaptive dynamics
of tubular network. A brief introduction for the model is given
below.
Assume the shape of Physarum is represented by a graph, in
which a plasmodial tube refers to an edge of the graph and a junction
between tubes refers to a node. Two special nodes acting as
food sources are labelled as N1 and N2 in the graph, while other
nodes are labelled as N3, N4, N5, . . .. And the edge between node
i and j is labelled as Mij. The variable Qij denotes the flux through
With the mechanism between the flux and tube thickness
(described as the conductivity ofthe tube),the adaptation equation
for conductivity is constructed as follows:
d
dt
Dij = f(|Qij|) − ˛Dij (3)
It is obvious that positive feedback exists in the model, as f(Q) is
a increasing function with f(0) = 0.

3. Rapid Physarum Algorithm
With experiments of path finding process of the mathematical
model described in Section 2, it is observed that although the
shortest paths can be automatically selected as others disappear,
much time and calculation is required to derive the final solution.
However, in some SP applications, it is required that shortest
paths need to be quickly identified either because an immediate
response isneededor because the shortestpathsneedto be recalculated
repeatedly. For this reason, a number of heuristic approaches
have been advocated for decreasing the computation time. In this
section, with the integration of one heuristic rule extracted from
experiments, a Rapid Physarum Algorithm (RPA) is proposed to
improve the efficiency of the original mathematical model.

3.1. Extraction of the heuristic rule
With observation of path finding process of the model in fully
connected graphs, some phenomena have been found. After several
iterations, the flux through each tube shows regularity in variation,
which means that the flux through some tubes keeps increasing as
the tubes thicken, while other keeps decreasing as the tubes thinner
untiltheflux converge to 0 and the tubes disappear. However, when
the flux through the tube decreases to a very small value. Normally,
when the flux is lower than a small value , a lot of iterations are
still needed until the tube vanishes. ’s value varies from network
to network, which is determined by the properties of the network,
including its structure,the edge length, etc. According to our observation,
when is in the range [0, 0.1] in most of the networks, we
can change the flux associated with corresponding edges to 0. As
we can see in Fig. 1, almost 2/3 of the iterations are used for paths
to adjust its flux to decrease from a small value to zero.
If some heuristic rules can be integrated to reduce the iteration
process by cutting those tubes which will potentially vanish, the
efficiency of the path finding process can be improved with less
computation complexity. Therefore, after a detailed study into our
simulation of the model and results, an empirical heuristic rule is
adopted from those phenomena and integrated into the model.
Rule: If the variation of the flux through the tube maintains a stable
decreasing trend, then the tube will be cut.
This heuristic rule means that if a “stable decreasing trend” is
determined through variation process of the flux which may imply
the flux will continue decrease until it reaches 0, the tube will not
be part of shortest path and is deleted directly with its flux assigned
0. The “stable decreasing trend” criterion is met if Qvij, the times for
which the flux has continuously decreased/increased, satisfies the
following condition:
S(Qvij, Qij) = Qvij + C1 + R1(Qij) + R2(n) (4)
where positive value of Qvij means the flux has continuously
increased for Qvij time while negative value means continuously
decreasing times. And R1(Qij) denotes the influence of current flux
Qij on S. If Qij is very small, the tube is more likely to vanish and
small |Qvij| is needed to identify “stable decreasing trend”. In contrast,
if Qij is very large, more iterations are needed in case of wrong
decision on cutting tubes. What is more, considering that the scale
of the SP problem can also affect the decision criterion, R2(n) is

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับค้นหาเส้นทางP. polycephalum จะมีขนาดใหญ่ เซลล์ amoeboid สิ่งมีชีวิตที่สามารถรูปแบบเครือข่ายท่อแบบไดนามิกเชื่อมโยงอาหารพบแหล่งที่มาในการจับเหยื่อ และกลไกทางสรีรวิทยาเบื้องหลังหลอดกำเนิดและเลือกก่อให้เกิดความสามารถของ Physarumการค้นหาเส้นทาง ที่อยู่: หลอดข้นในทิศทางที่กำหนดเมื่อไหลผ่านมันยังคงอยู่ในทิศทางที่สำหรับบางอย่างครั้ง ด้วยกลไกนี้ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับเส้นทางหาได้ถูกสร้างเพื่อจำลองการเปลี่ยนแปลงปรับตัวเครือข่ายท่อ แนะนำสั้น ๆ สำหรับรูปแบบที่กำหนดด้านล่างนี้สมมติรูปร่างของ Physarum แสดง ด้วยกราฟ ในซึ่งหลอด plasmodial หมายถึงขอบของกราฟและแยกระหว่างหลอดถึงโหน สองโหนพิเศษทำหน้าที่เป็นแหล่งอาหารที่มีฉลากเป็น N1 และ N2 กราฟ ขณะที่อื่น ๆมีการระบุว่าโหนเป็น N3, N4, N5, ..... และขอบระหว่างโหนi และ j จะมีป้ายเป็น Mij ตัวแปร Qij หมายถึงให้ไหลผ่านด้วยกลไกระหว่างความหนาของฟลักซ์และหลอด(อธิบายเป็นการนำไฟฟ้าของหลอด), ดัดแปลงสมการสำหรับการนำไฟฟ้าที่มีโครงสร้างเป็นดังนี้:ddtDij = f (กรุนด์ฟอส Qij |) − ˛Dij (3)มันเห็นได้ชัดว่า ข้อเสนอแนะในเชิงบวกที่มีอยู่ในรูปแบบ เป็น f(Q)ฟังก์ชันเพิ่มกับ f(0) = 03 อัลกอริทึม Physarum อย่างรวดเร็วกับการทดลองของกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการหาเส้นทางแบบจำลองที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 2 มันเป็นข้อสังเกตที่แม้ว่าการshortest paths can be automatically selected as others disappear,much time and calculation is required to derive the final solution.However, in some SP applications, it is required that shortestpaths need to be quickly identified either because an immediateresponse isneededor because the shortestpathsneedto be recalculatedrepeatedly. For this reason, a number of heuristic approacheshave been advocated for decreasing the computation time. In thissection, with the integration of one heuristic rule extracted fromexperiments, a Rapid Physarum Algorithm (RPA) is proposed toimprove the efficiency of the original mathematical model.3.1. Extraction of the heuristic ruleWith observation of path finding process of the model in fullyconnected graphs, some phenomena have been found. After severaliterations, the flux through each tube shows regularity in variation,which means that the flux through some tubes keeps increasing asthe tubes thicken, while other keeps decreasing as the tubes thinneruntiltheflux converge to 0 and the tubes disappear. However, whenthe flux through the tube decreases to a very small value. Normally,when the flux is lower than a small value , a lot of iterations arestill needed until the tube vanishes. ’s value varies from networkto network, which is determined by the properties of the network,including its structure,the edge length, etc. According to our observation,when is in the range [0, 0.1] in most of the networks, wecan change the flux associated with corresponding edges to 0. Aswe can see in Fig. 1, almost 2/3 of the iterations are used for pathsto adjust its flux to decrease from a small value to zero.If some heuristic rules can be integrated to reduce the iterationprocess by cutting those tubes which will potentially vanish, theefficiency of the path finding process can be improved with lesscomputation complexity. Therefore, after a detailed study into oursimulation of the model and results, an empirical heuristic rule isadopted from those phenomena and integrated into the model.Rule: If the variation of the flux through the tube maintains a stabledecreasing trend, then the tube will be cut.This heuristic rule means that if a “stable decreasing trend” isdetermined through variation process of the flux which may implythe flux will continue decrease until it reaches 0, the tube will notbe part of shortest path and is deleted directly with its flux assigned0. The “stable decreasing trend” criterion is met if Qvij, the times forwhich the flux has continuously decreased/increased, satisfies thefollowing condition:S(Qvij, Qij) = Qvij + C1 + R1(Qij) + R2(n) (4)where positive value of Qvij means the flux has continuouslyincreased for Qvij time while negative value means continuouslydecreasing times. And R1(Qij) denotes the influence of current fluxQij on S. If Qij is very small, the tube is more likely to vanish andsmall |Qvij| is needed to identify “stable decreasing trend”. In contrast,if Qij is very large, more iterations are needed in case of wrongdecision on cutting tubes. What is more, considering that the scaleof the SP problem can also affect the decision criterion, R2(n) is

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับเส้นทางการหา
พี polycephalum มีขนาดใหญ่มีชีวิต amoeboid เซลล์เดียวที่
สามารถสร้างเครือข่ายเชื่อมโยงท่อแบบไดนามิกอาหารค้นพบ
แหล่งที่มาในระหว่างการตรวจค้น และกลไกทางสรีรวิทยาที่อยู่เบื้องหลัง
การก่อตัวหลอดและการเลือกก่อให้เกิดการ Physarum ความสามารถ
ของการค้นพบเส้นทางซึ่งเป็น: หลอดข้นในทิศทางที่กำหนด
เมื่อฟลักซ์ผ่านมันยังคงอยู่ในทิศทางที่ว่าสำหรับบาง
เวลา ด้วยกลไกนี้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับเส้นทาง
การค้นพบที่ได้รับการสร้างขึ้นเพื่อจำลองพลวัตการปรับตัว
ของเครือข่ายท่อ แนะนำสั้น ๆ สำหรับรูปแบบที่จะได้รับ
ด้านล่าง.
สมมติรูปร่างของ Physarum ที่เป็นตัวแทนจากกราฟใน
ซึ่งเป็นหลอด plasmodial หมายถึงขอบของกราฟและชุมทางหนึ่ง
ระหว่างหลอดหมายถึงโหนด สองโหนดพิเศษทำหน้าที่เป็น
แหล่งอาหารที่มีการระบุว่าเป็น N1 และ N2 ในกราฟในขณะที่คนอื่น ๆ
โหนดมีความโดดเด่นเป็น N3, N4, N5, . .. และ EDGE ระหว่างโหนด
i และ j ถูกระบุว่าเป็น Mij ตัวแปร Qij หมายถึงการไหลผ่าน
ด้วยกลไกระหว่างฟลักซ์และยางหนา
(อธิบายว่าการนำ ofthe หลอด) สมการปรับตัว
สำหรับการนำถูกสร้างดังนี้
D
DT
Dij = f (| Qij |) - ˛Dij (3 )
เป็นที่ชัดเจนว่าข้อเสนอแนะในเชิงบวกที่มีอยู่ในรูปแบบที่เป็น F (Q) เป็น
ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นกับ f (0) = 0

3 อย่างรวดเร็ว Physarum อัลกอริทึม
ที่มีการทดสอบของเส้นทางการหากระบวนการทางคณิตศาสตร์
รูปแบบที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 2 ก็เป็นที่สังเกตว่าแม้ว่า
เส้นทางที่สั้นที่สุดจะสามารถเลือกได้โดยอัตโนมัติในขณะที่คนอื่น ๆ หายไป
เวลามากและการคำนวณจะต้องได้รับมาทางออกสุดท้าย.
อย่างไรก็ตามในบาง การใช้งาน SP และจะต้องให้สั้นที่สุด
เส้นทางที่จะต้องมีการระบุได้อย่างรวดเร็วเช่นกันเพราะทันที
isneededor ตอบสนองเพราะ shortestpathsneedto ถูกคำนวณใหม่
ซ้ำแล้วซ้ำอีก ด้วยเหตุนี้จำนวนของวิธีการแก้ปัญหา
ที่ได้รับการสนับสนุนการลดเวลาในการคำนวณ ในการนี้
ส่วนที่มีการรวมของการปกครองแก้ปัญหาหนึ่งที่สกัดได้จาก
การทดลองอย่างรวดเร็ว Physarum อัลกอริทึม (RPA) จะเสนอให้
ปรับปรุงประสิทธิภาพของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดิม.

3.1 การสกัดกฎการแก้ปัญหา
ด้วยการสังเกตของเส้นทางการหากระบวนการของแบบจำลองในอย่างเต็มที่
กราฟเชื่อมต่อปรากฏการณ์บางอย่างที่ได้รับพบว่า หลังจากหลาย
ซ้ำไหลผ่านแต่ละหลอดแสดงให้เห็นถึงความสม่ำเสมอในการเปลี่ยนแปลง
ซึ่งหมายความว่าฟลักซ์ผ่านท่อบางช่วยให้เพิ่มขึ้นเป็น
หลอดข้นในขณะที่คนอื่น ๆ ช่วยให้ลดลงเป็นหลอดผอมลง
untiltheflux มาบรรจบกันเป็น 0 และท่อหายไป แต่เมื่อ
ฟลักซ์ผ่านท่อลดลงเป็นค่าที่มีขนาดเล็กมาก โดยปกติ
เมื่อฟลักซ์ที่ต่ำกว่ามูลค่าที่เล็กมากของการทำซ้ำจะ
ยังคงต้องการจนกว่าหลอดหายตัวไป 'S คุ้มค่าแตกต่างจากเครือข่าย
ไปยังเครือข่ายซึ่งจะถูกกำหนดโดยคุณสมบัติของเครือข่าย
รวมถึงโครงสร้างของความยาวขอบ ฯลฯ ตามที่สังเกตของเรา
เมื่ออยู่ในช่วง [0, 0.1] ในส่วนของเครือข่าย เรา
สามารถเปลี่ยนฟลักซ์ที่เกี่ยวข้องกับขอบที่สอดคล้องกับ 0. ขณะที่
เราสามารถมองเห็นในรูป 1 เกือบ 2/3 ของการทำซ้ำที่ใช้สำหรับเส้นทาง
ที่จะปรับการไหลของของเหลวที่จะลดลงจากค่าขนาดเล็กให้เป็นศูนย์.
หากกฎการแก้ปัญหาสามารถบูรณาการเพื่อลดการย้ำ
กระบวนการโดยการตัดท่อเหล่านั้นซึ่งอาจจะหายไปที่
ประสิทธิภาพของ กระบวนการหาเส้นทางที่สามารถปรับปรุงให้ดีมีน้อย
ความซับซ้อนในการคำนวณ ดังนั้นหลังจากที่มีการศึกษารายละเอียดในของเรา
จำลองของรูปแบบและผลกฎการแก้ปัญหาเชิงประจักษ์เป็น
ลูกบุญธรรมจากปรากฏการณ์เหล่านั้นและบูรณาการในรูปแบบ.
กฎ: หากรูปแบบของการไหลผ่านท่อรักษาเสถียรภาพ
แนวโน้มลดลงแล้วหลอด จะถูกตัด.
กฎการแก้ปัญหาซึ่งหมายความว่าถ้าเป็น "แนวโน้มลดลงคงที่" ถูก
กำหนดโดยผ่านกระบวนการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ซึ่งอาจบ่งบอกถึง
ฟลักซ์จะยังคงลดลงจนกว่าจะถึง 0, หลอดจะไม่
เป็นส่วนหนึ่งของเส้นทางที่สั้นที่สุดและจะถูกลบออกโดยตรง กับฟลักซ์ที่กำหนด
0 "การมีเสถียรภาพแนวโน้มลดลง" เกณฑ์จะพบถ้า Qvij ครั้งสำหรับ
ที่ไหลได้ลดลงอย่างต่อเนื่อง / เพิ่มขึ้นสอดคล้องกับ
เงื่อนไขดังต่อไปนี้:
S (Qvij, Qij) = Qvij + C1 + R1 (Qij) + R2 (N) ( 4)
ที่มีค่าในเชิงบวกของ Qvij หมายความไหลได้อย่างต่อเนื่อง
ที่เพิ่มขึ้นสำหรับเวลา Qvij ในขณะที่ค่าลบหมายถึงอย่างต่อเนื่อง
ครั้งลดลง และ R1 (Qij) หมายถึงอิทธิพลของกระแสไหล
Qij ในเอสถ้า Qij มีขนาดเล็กมากหลอดมีแนวโน้มที่จะหายไปและ
ขนาดเล็ก | Qvij | เป็นสิ่งจำเป็นที่จะระบุ "แนวโน้มลดลงคงที่" ในทางตรงกันข้าม
ถ้า Qij มีขนาดใหญ่มากซ้ำมากขึ้นมีความจำเป็นในกรณีของการที่ไม่ถูกต้อง
ตัดสินใจเกี่ยวกับการตัดท่อ อะไรคือสิ่งที่พิจารณาว่าขนาด
ของปัญหา SP ยังสามารถส่งผลกระทบต่อเกณฑ์การตัดสินใจ R2 (N) คือ