Marion Walter’s Theorem Via Mass Po

Marion Walter’s Theorem Via Mass Points
Posted on July 15, 2014 by girlsangle

I recently had the good fortune of learning Marion Walter’s theorem from Marion Walter herself:


Marion Walter’s Theorem: In a triangle, draw line segments from each vertex to the trisection points on the opposite side. The six drawn line segments will form the edges of a central hexagon. The ratio of the area of the hexagon to that of the whole triangle is 1/10.

An efficient way to prove Marion Walter’s theorem is to use mass points.

In this post, I’ll give details because the proof is a model example of the mass points technique. If you’re having difficulty learning the technique, I hope this post will help it all come together for you. As always, try to use mass points to prove the theorem yourself, and, only after you have tried, read on. If you’ve never heard of mass points before, google it or check out Volume 7, Number 3 of the Girls’ Angle Bulletin.

Spoiler Alert! Proof Below!


It all begins with Archimedes’ Law of the Lever, which we will apply over and over.


Two point masses connected by a massless rod will balance at their center of mass. Archimedes tells us that the distances of each mass from the center of mass satisfy the equation .

The center of mass will lie along the line segment connecting the two masses and sit nearer the heavier one. If the masses are equal, then the center of mass will be exactly halfway between. If one mass is twice the other, then the center of mass will be 2/3 of the way from the lighter to the heavier. (In general, the center of mass is the weighted average of the positions of each object weighted by the mass of that object.)

For a proof of this “piecemeal” way to compute the center of mass and for more information about the center of mass and other applications, see, for instance, Section 19.1 of the Feynman Lectures on Physics, Volume 1, or checkout Volume 7, Number 3 of the Girls’ Angle Bulletin, particularly page 20.

In addition to the Law of the Lever, a beautiful property of the center of mass that we will use repeatedly is that the center of mass can be computed piecemeal. That is, we can split the objects into different sets, compute the center of mass of the objects in each set separately and pretend that each set is replaced by a single point mass equal to the total mass of the objects in that set and located at that set’s center of mass. Then we can compute the center of mass of these pretend point masses to learn the location of the center of mass of the original collection of objects.

For point masses, this “piecemeal” fact enables us to find the center of mass of any number of point masses with repeated application of Archimedes’ Law of the Lever. All we have to do is compute 2 masses at a time, as illustrated in the following figures.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทมารี Walter ผ่านจุดมวลโพสต์ โดย girlsangle เมื่อ 15 กรกฎาคม 2014 เมื่อเร็ว ๆ นี้ผมโชคดีที่เรียนทฤษฎีบทมารี Walter จาก Walter ทันสมัยตัวเอง:ทฤษฎีบทของ Walter มารี: สามเหลี่ยม วาดในส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดแต่ละจุด trisection ฝั่งตรงข้าม ภาพเส้นที่วาดหกจะเป็นขอบของหกเหลี่ยมกลาง อัตราส่วนของพื้นที่ของหกเหลี่ยมสามเหลี่ยมทั้งที่เป็น 1/10วิธีที่มีประสิทธิภาพเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทมารี Walter จะใช้คะแนนรวมในบทความนี้ ฉันจะให้รายละเอียดเนื่องจากหลักฐานเป็นตัวอย่างรูปแบบเทคนิคโดยรวมคะแนน ถ้าคุณมีปัญหาในการเรียนรู้เทคนิคการ ฉันหวังว่า นี้จะช่วยให้มันทั้งหมดมาร่วมกันสำหรับคุณ เสมอ พยายามที่จะใช้จุดจำนวนมากเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทตัวเอง และ เฉพาะหลังจากที่คุณได้พยายาม อ่าน ถ้าคุณเคยไม่เคยได้ยินจุดมวลก่อน google มัน หรือเช็คปริมาณ 7 หมายเลข 3 ของข่าวมุมของผู้หญิงสปอยเลอร์เตือน หลักฐานด้านล่างทั้งหมดเริ่มต้น ด้วยกฎหมายเอสของคาน ซึ่งเราจะใช้ซ้ำ ๆสองฝูงของจุดที่เชื่อมต่อ โดยร็อด massless จะสมดุลที่ของศูนย์กลางมวล เอสบอกว่า ระยะทางของแต่ละมวลจากศูนย์กลางมวลตอบสนองสมการศูนย์กลางมวลจะอยู่ตามบรรทัดเซ็กเมนต์ที่เชื่อมต่อสองฝูง และนั่งชนิดหนึ่งหนัก ถ้าฝูงเท่า แล้วศูนย์กลางมวลจะได้ว่าอยู่ตรงกลางระหว่าง ถ้ามวลหนึ่งสองหนึ่ง แล้วศูนย์กลางมวลจะเป็น 2/3 ของไปจากไฟแช็กที่จะหนัก (ทั่วไป ศูนย์กลางมวลเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตำแหน่งของวัตถุแต่ละชิ้นที่ถ่วงน้ำหนักตามมวลของวัตถุนั้น)หลักฐานนี้ "piecemeal" วิธีการคำนวณมวลของศูนย์ และข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับศูนย์กลางมวลและอื่น ๆ โปรแกรมประยุกต์ ดู เช่น 19.1 ส่วนของบรรยายไฟน์แมนในฟิสิกส์ ปริมาณ 1 หรือเช็คเอาท์ปริมาตร 7 หมายเลข 3 ของหญิงมุมข่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งหน้า 20นอกจากกฎหมายของคันโยก คุณสมบัติความสวยงามของมวลของศูนย์ที่เราจะใช้ซ้ำ ๆ เป็นที่สามารถคำนวณมวลของศูนย์ piecemeal นั่นคือ เราสามารถแบ่งวัตถุชุด คำนวณศูนย์กลางมวลของวัตถุในแต่ละชุดแยกจากกัน แล้วทำเป็นว่า แต่ละชุดถูกแทนที่ ด้วยจุดเดียวมวลเท่ากับมวลรวมของวัตถุในที่ตั้ง และบริเวณที่ตั้งของศูนย์กลางมวล แล้วเราสามารถคำนวณมวลของศูนย์ของเหล่า pretend ชี้มวลชนเพื่อการเรียนรู้ที่ตั้งของศูนย์กลางมวลของคอลเลกชันเดิมของวัตถุสำหรับมวลชนจุด ข้อเท็จจริงนี้ "ดำเนิน" ช่วยให้เราสามารถค้นหาศูนย์ของมวลของมวลชนจุด ด้วยการประยุกต์ซ้ำกฎหมายของเอสคันโยก ทั้งหมดเราต้องทำคือคำนวณมวลชน 2 ครั้ง ดังที่แสดงในภาพต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แมเรียนวอลเตอร์ทฤษฎีบทผ่านจุดมวล
โพสต์เมื่อ 15 กรกฎาคม 2014 โดย girlsangle ฉันเพิ่งมีความโชคดีของการเรียนรู้ทฤษฎีแมเรียนวอลเตอร์จากแมเรียนวอลเตอร์ตัวเอง: ทฤษฎีบทแมเรียนวอลเตอร์: ในรูปสามเหลี่ยมวาดส่วนของเส้นตรงจากจุดสุดยอดแต่ละจุดสามแยกบน ฝั่งตรงข้าม หกส่วนของเส้นที่วาดจะเป็นขอบของรูปหกเหลี่ยมกลาง อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมที่ของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็น 1/10. วิธีที่มีประสิทธิภาพที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทแมเรียนวอลเตอร์คือการใช้จุดที่มวล. ในบทความนี้ผมจะให้รายละเอียดเพราะหลักฐานเป็นตัวอย่างรูปแบบของ มวลเทคนิคจุด หากคุณกำลังมีปัญหาในการเรียนรู้เทคนิคที่ฉันหวังว่าบทความนี้จะช่วยให้มันทั้งหมดมารวมกันสำหรับคุณ และเช่นเคยพยายามที่จะใช้จุดมวลที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทตัวเองและหลังจากที่คุณได้พยายามอ่านต่อ ถ้าคุณไม่เคยได้ยินของจุดมวลก่อน google มันหรือเช็คเอาเล่มที่ 7 จำนวน 3 แห่ง Girls 'มุม Bulletin. แจ้งเตือนสปอยเลอร์! หลักฐานด้านล่าง! มันทั้งหมดเริ่มต้นด้วย Archimedes 'กฎหมายของก้านซึ่งเราจะนำมาใช้ซ้ำแล้วซ้ำ. สองฝูงจุดเชื่อมต่อกันด้วยก้านเยอะจะสมดุลของพวกเขาที่ศูนย์ของมวล Archimedes บอกเราว่าระยะทางของแต่ละมวลจากศูนย์กลางของมวลพอใจสม. จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ตามส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างสองฝูงและนั่งใกล้หนักหนึ่ง หากมวลชนมีค่าเท่ากันแล้วจุดศูนย์กลางมวลจะตรงกึ่งกลางระหว่าง หากหนึ่งเป็นสองเท่าของมวลอื่น ๆ แล้วจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น 2/3 ของวิธีการจากเบาไปหนัก (โดยทั่วไปจุดศูนย์กลางมวลเป็นถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของตำแหน่งของแต่ละวัตถุถ่วงน้ำหนักด้วยมวลของวัตถุที่.) สำหรับข้อพิสูจน์เรื่องนี้ "ทีละน้อย" วิธีการคำนวณจุดศูนย์กลางมวลและสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับศูนย์ของ มวลและการใช้งานอื่นดูได้ตัวอย่างเช่นมาตรา 19.1 ของไฟน์แมนบรรยายเกี่ยวกับฟิสิกส์เล่ม 1 หรือเช็คเอาต์เล่มที่ 7 จำนวน 3 แห่ง Girls 'มุมข่าวโดยเฉพาะอย่างยิ่งหน้า 20 นอกจากนี้กฎหมายของก้าน, สถานที่ให้บริการที่สวยงามของศูนย์กลางของมวลที่เราจะใช้ซ้ำแล้วซ้ำอีกก็คือจุดศูนย์กลางมวลสามารถคำนวณได้ทีละน้อย นั่นก็คือเราสามารถแยกวัตถุเป็นชุดที่แตกต่างกันคำนวณจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุในแต่ละชุดแยกต่างหากและแกล้งทำเป็นว่าแต่ละชุดจะถูกแทนที่ด้วยจุดเดียวมวลเท่ากับมวลรวมของวัตถุที่อยู่ในชุดที่ตั้งอยู่ที่ ศูนย์ชุดที่มวล แล้วเราสามารถคำนวณจุดศูนย์กลางมวลเหล่านี้หลอกมวลชนจุดที่จะเรียนรู้ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของคอลเลกชันของวัตถุต้นฉบับ. สำหรับฝูงจุดนี้ "ทีละน้อย" ความจริงที่ช่วยให้เราสามารถหาจุดศูนย์กลางมวลของจำนวนใด ๆ ของ ฝูงจุดที่มีการประยุกต์ใช้ซ้ำของ Archimedes 'กฎหมายของก้าน ทั้งหมดที่เราต้องทำคือการคำนวณ 2 ฝูงในช่วงเวลาดังแสดงในรูปต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ของ มาเรียน วอลเตอร์ ทฤษฎีบทผ่านจุดมวล
โพสต์เมื่อ 15 กรกฎาคม 2010 โดย girlsangle

ฉันเพิ่งมีความโชคดีของการเรียนรู้ของแมเรี่ยน วอลเตอร์ วอลเตอร์ทฤษฎีบทจากแมเรี่ยนเอง :


มาเรียนวอลเตอร์ทฤษฎีบทในรูปสามเหลี่ยมที่วาดส่วนของเส้นตรงจากจุดยอดแต่ละจุดให้ trisection ฝั่งตรงข้าม 6 วาดส่วนของเส้นตรงจะรูปแบบขอบของรูปหกเหลี่ยม เซ็นทรัลอัตราส่วนของพื้นที่ของหกเหลี่ยมที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็น 1 / 10 .

วิธีที่มีประสิทธิภาพเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแมเรี่ยน วอลเตอร์ เพื่อใช้เป็นจุดมวล .

ในบทความนี้ ผมจะให้รายละเอียด เพราะหลักฐานที่เป็นรูปแบบตัวอย่างของจุดมวล ) ถ้าคุณกำลังมีปัญหาในการเรียนรู้เทคนิค ผมหวังว่าบทความนี้จะช่วยให้มันทั้งหมดมารวมกันเพื่อให้คุณ เป็นเสมอลองใช้จุดมวลเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยตัวเอง และเพียงหลังจากที่คุณได้พยายาม อ่านต่อ ถ้าคุณไม่เคยได้ยินของจุดมวลก่อน Google หรือตรวจสอบปริมาณ 7 , หมายเลข 3 ของสาวๆ ' มุมข่าว

สปอยเลอร์แจ้งเตือน ! หลักฐานด้านล่าง !


มันทั้งหมดเริ่มต้นกับอาร์คิมิดีส ' กฎหมายของคาน ซึ่งเราจะใช้มากกว่า

.สองมวลจุดเชื่อมต่อโดยร็อด massless จะสมดุลที่ศูนย์ของมวล ได้บอกเราว่าระยะทางของแต่ละมวลจุดศูนย์กลางมวลตอบสนองสมการ

จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ตามแนวเส้นส่วนการเชื่อมต่อสองมวล และนั่งใกล้หนัก 1 ถ้ามวลเท่ากัน จากนั้นจุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ตรงกึ่งกลางระหว่าง .ถ้ามวลเป็นสองอื่น ๆจากนั้นจุดศูนย์กลางมวลจะเป็น 2 / 3 ของวิธีการจากเบาไปหนัก ( โดยทั่วไปศูนย์มวลเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนักของตำแหน่งของแต่ละวัตถุหนักโดยมวลของวัตถุ นั่น )

สำหรับหลักฐานนี้ " ทีละน้อย " วิธีการคำนวณจุดศูนย์กลางมวลและสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับศูนย์สื่อมวลชนและโปรแกรมอื่น ๆ ดูตัวอย่าง ส่วน 19.1 ของไฟน์แมนบรรยายในฟิสิกส์ เล่ม 1 หรือเล่ม 7 ช่องหมายเลข 3 ของสาวๆ ' มุมข่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งหน้า 20 .

นอกจากนี้กฎหมายของคันโยก , คุณสมบัติที่สวยงามของจุดศูนย์กลางมวลที่เราจะใช้บ่อยๆคือ ศูนย์กลางของมวล สามารถ คำนวณทีละน้อย . คือว่า เราสามารถแยกวัตถุออกเป็นชุดต่าง ๆ