![Ramanujan's constant is the transcendental number[4] e^{pi sqrt{163}}, การแปล - Ramanujan's constant is the transcendental number[4] e^{pi sqrt{163}}, ไทย วิธีการพูด](http://thimg.ilovetranslation.com/_data/ilovetranslation_com_th/pic/logo.gif?v=869a7f0268970bd1_1889){kind=logo}
- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Ramanujan's constant is the transce
Ramanujan's constant is the transcendental number[4] e^{pi sqrt{163}}, which is an almost integer, in that it is very close to an integer:
e^{pi sqrt{163}} = 262{,}537{,}412{,}640{,}768{,}743.99999999999925... [5] approx 640320^3+744.
This number was discovered in 1859 by the mathematician Charles Hermite.[6] In a 1975 April Fool article in Scientific American magazine,[7] "Mathematical Games" columnist Martin Gardner made the (hoax) claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan had predicted it—hence its name.
This coincidence is explained by complex multiplication and the q-expansion of the j-invariant.
Detail[edit]
Briefly, j((1+sqrt{-d})/2) is an integer for d a Heegner number, and e^{pi sqrt{d}} approx -j((1+sqrt{-d})/2) + 744 via the q-expansion.
If au is a quadratic irrational, then the j-invariant is an algebraic integer of degree |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au))|, the class number of mathbf{Q}( au) and the minimal (monic integral) polynomial it satisfies is called the Hilbert class polynomial. Thus if the imaginary quadratic extension mathbf{Q}( au) has class number 1 (so d is a Heegner number), the j-invariant is an integer.
The q-expansion of j, with its Fourier series expansion written as a Laurent series in terms of q=exp(2 pi i au), begins as:
j(q) = frac{1}{q} + 744 + 196884 q + cdots.
The coefficients c_n asymptotically grow as ln(c_n) sim 4pi sqrt{n} + O(ln(n)), and the low order coefficients grow more slowly than 200000^n, so for q ll 1/200000, j is very well approximated by its first two terms. Setting au = (1+sqrt{-163})/2 yields q=-exp(-pi sqrt{163}) or equivalently, frac{1}{q}=-exp(pi sqrt{163}). Now j((1+sqrt{-163})/2)=(-640320)^3, so,
(-640320)^3=-e^{pi sqrt{163}}+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e^{pi sqrt{163}}=640320^3+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight)
where the linear term of the error is,
-196884/e^{pi sqrt{163}} approx 196884/(640320^3+744)
approx -0.00000000000075
explaining why e^{pi sqrt{163}} is within approximately the above of being an integer.
Pi formulas[edit]
The Chudnovsky brothers found in 1987,
frac{1}{pi} = frac{12}{640320^{3/2}} sum_{k=0}^infty frac{(6k)! (163 cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}
and uses the fact that jig( frac{1+sqrt{-163}}{2}ig) = -640320^3. For similar formulas, see the Ramanujan–Sato series.
Other Heegner numbers[edit]
For the four largest Heegner numbers, the approximations one obtains[8] are as follows.
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 96^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 960^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 5280^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 640320^3+744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075
end{align}
where the reason for the squares is due to certain Eisenstein series. For Heegner numbers d < 19, one does not obtain an almost integer; even d = 19 is not noteworthy.[10] The integer j-invariants are highly factorisable, which follows from the 12^3(n^2-1)^3=(2^2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n+1))^3 form, and factor as,
egin{align}
j((1+sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 cdot 3)^3\
j((1+sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 cdot 3 cdot 5)^3\
j((1+sqrt{-67})/2) & =5280^3=(2^5 cdot 3 cdot 5 cdot 11)^3\
j((1+sqrt{-163})/2) &=640320^3=(2^6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)^3.
end{align}
These transcendental numbers, in addition to being closely approximated by integers, (which are simply algebraic numbers of degree 1), can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 3,[11]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx x^{24}-24; x^3-2x-2=0\
e^{pi sqrt{43}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2=0\
e^{pi sqrt{67}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2x-2=0\
e^{pi sqrt{163}} &approx x^{24}-24; x^3-6x^2+4x-2=0
end{align}
The roots of the cubics can be exactly given by quotients of the Dedekind eta function η(τ), a modular function involving a 24th root, and which explains the 24 in the approximation. In addition, they can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 4,[12]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 3^5 left(3-sqrt{2(-3+1sqrt{3cdot19})}
ight)^{-2}-12.00006dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx 3^5 left(9-sqrt{2(-39+7sqrt{3cdot43})}
ight)^{-2}-12.000000061dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx 3^5 left(21-sqrt{2(-219+31sqrt{3cdot67})}
ight)^{-2}-12.00000000036dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx 3^5 left(231-sqrt{2(-26679+2413sqrt{3cdot163})}
ight)^{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note the reappearance of the integers n = 3, 9, 21, 231 as well as the fact that,
egin{align}
&2^6 cdot 3(-3^2+3 cdot 19 cdot 1^2) = 96^2\
&2^6 cdot 3(-39^2+3 cdot 43 cdot 7^2) = 960^2\
&2^6 cdot 3(-219^2+3 cdot 67 cdot 31^2) = 5280^2\
&2^6 cdot 3(-26679^2+3 cdot 163 cdot 2413^2) = 640320^2
end{align}
which, with the appropriate fractional power, are precisely the j-invariants. As well as for algebraic numbers of degree 6,
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx (5x)^3-6.000010dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx (5x)^3-6.000000010dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx (5x)^3-6.000000000061dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx (5x)^3-6.000000000000000034dots
end{align}
where the xs are given respectively by the appropriate root of the sextic equations,
egin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-640320x^5-10x^3+1=0
end{align}
with the j-invariants appearing again. These sextics are not only algebraic, they are also solvable in radicals as they factor into two cubics over the extension mathbb{Q}sqrt{5} (with the first factoring further into two quadratics). These algebraic approximations can be exactly expressed in terms of Dedekind eta quotients. As an example, let au = (1+sqrt{-163})/2, then,
egin{align}
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/24} eta( au)}{eta(2 au)}
ight)^{24}-24.00000000000000105dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/12} eta( au)}{eta(3 au)}
ight)^{12}-12.00000000000000021dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/6} eta( au)}{eta(5 au)}
ight)^{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where the eta quotients are the algebraic numbers given above.
Consecutive primes[edit]
Given an odd prime p, if one computes k^2 pmod{p} for k=0,1,dots,(p-1)/2 (this is sufficient because (p-k)^2equiv k^2 pmod{p}), one gets consecutive composites, followed by consecutive primes, if and only if p is a Heegner number.[13]
For details, see "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.
e^{pi sqrt{163}} = 262{,}537{,}412{,}640{,}768{,}743.99999999999925... [5] approx 640320^3+744.
This number was discovered in 1859 by the mathematician Charles Hermite.[6] In a 1975 April Fool article in Scientific American magazine,[7] "Mathematical Games" columnist Martin Gardner made the (hoax) claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan had predicted it—hence its name.
This coincidence is explained by complex multiplication and the q-expansion of the j-invariant.
Detail[edit]
Briefly, j((1+sqrt{-d})/2) is an integer for d a Heegner number, and e^{pi sqrt{d}} approx -j((1+sqrt{-d})/2) + 744 via the q-expansion.
If au is a quadratic irrational, then the j-invariant is an algebraic integer of degree |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au))|, the class number of mathbf{Q}( au) and the minimal (monic integral) polynomial it satisfies is called the Hilbert class polynomial. Thus if the imaginary quadratic extension mathbf{Q}( au) has class number 1 (so d is a Heegner number), the j-invariant is an integer.
The q-expansion of j, with its Fourier series expansion written as a Laurent series in terms of q=exp(2 pi i au), begins as:
j(q) = frac{1}{q} + 744 + 196884 q + cdots.
The coefficients c_n asymptotically grow as ln(c_n) sim 4pi sqrt{n} + O(ln(n)), and the low order coefficients grow more slowly than 200000^n, so for q ll 1/200000, j is very well approximated by its first two terms. Setting au = (1+sqrt{-163})/2 yields q=-exp(-pi sqrt{163}) or equivalently, frac{1}{q}=-exp(pi sqrt{163}). Now j((1+sqrt{-163})/2)=(-640320)^3, so,
(-640320)^3=-e^{pi sqrt{163}}+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e^{pi sqrt{163}}=640320^3+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight)
where the linear term of the error is,
-196884/e^{pi sqrt{163}} approx 196884/(640320^3+744)
approx -0.00000000000075
explaining why e^{pi sqrt{163}} is within approximately the above of being an integer.
Pi formulas[edit]
The Chudnovsky brothers found in 1987,
frac{1}{pi} = frac{12}{640320^{3/2}} sum_{k=0}^infty frac{(6k)! (163 cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}
and uses the fact that jig( frac{1+sqrt{-163}}{2}ig) = -640320^3. For similar formulas, see the Ramanujan–Sato series.
Other Heegner numbers[edit]
For the four largest Heegner numbers, the approximations one obtains[8] are as follows.
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 96^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 960^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 5280^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 640320^3+744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075
end{align}
where the reason for the squares is due to certain Eisenstein series. For Heegner numbers d < 19, one does not obtain an almost integer; even d = 19 is not noteworthy.[10] The integer j-invariants are highly factorisable, which follows from the 12^3(n^2-1)^3=(2^2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n+1))^3 form, and factor as,
egin{align}
j((1+sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 cdot 3)^3\
j((1+sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 cdot 3 cdot 5)^3\
j((1+sqrt{-67})/2) & =5280^3=(2^5 cdot 3 cdot 5 cdot 11)^3\
j((1+sqrt{-163})/2) &=640320^3=(2^6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)^3.
end{align}
These transcendental numbers, in addition to being closely approximated by integers, (which are simply algebraic numbers of degree 1), can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 3,[11]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx x^{24}-24; x^3-2x-2=0\
e^{pi sqrt{43}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2=0\
e^{pi sqrt{67}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2x-2=0\
e^{pi sqrt{163}} &approx x^{24}-24; x^3-6x^2+4x-2=0
end{align}
The roots of the cubics can be exactly given by quotients of the Dedekind eta function η(τ), a modular function involving a 24th root, and which explains the 24 in the approximation. In addition, they can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 4,[12]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 3^5 left(3-sqrt{2(-3+1sqrt{3cdot19})}
ight)^{-2}-12.00006dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx 3^5 left(9-sqrt{2(-39+7sqrt{3cdot43})}
ight)^{-2}-12.000000061dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx 3^5 left(21-sqrt{2(-219+31sqrt{3cdot67})}
ight)^{-2}-12.00000000036dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx 3^5 left(231-sqrt{2(-26679+2413sqrt{3cdot163})}
ight)^{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note the reappearance of the integers n = 3, 9, 21, 231 as well as the fact that,
egin{align}
&2^6 cdot 3(-3^2+3 cdot 19 cdot 1^2) = 96^2\
&2^6 cdot 3(-39^2+3 cdot 43 cdot 7^2) = 960^2\
&2^6 cdot 3(-219^2+3 cdot 67 cdot 31^2) = 5280^2\
&2^6 cdot 3(-26679^2+3 cdot 163 cdot 2413^2) = 640320^2
end{align}
which, with the appropriate fractional power, are precisely the j-invariants. As well as for algebraic numbers of degree 6,
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx (5x)^3-6.000010dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx (5x)^3-6.000000010dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx (5x)^3-6.000000000061dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx (5x)^3-6.000000000000000034dots
end{align}
where the xs are given respectively by the appropriate root of the sextic equations,
egin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-640320x^5-10x^3+1=0
end{align}
with the j-invariants appearing again. These sextics are not only algebraic, they are also solvable in radicals as they factor into two cubics over the extension mathbb{Q}sqrt{5} (with the first factoring further into two quadratics). These algebraic approximations can be exactly expressed in terms of Dedekind eta quotients. As an example, let au = (1+sqrt{-163})/2, then,
egin{align}
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/24} eta( au)}{eta(2 au)}
ight)^{24}-24.00000000000000105dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/12} eta( au)}{eta(3 au)}
ight)^{12}-12.00000000000000021dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/6} eta( au)}{eta(5 au)}
ight)^{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where the eta quotients are the algebraic numbers given above.
Consecutive primes[edit]
Given an odd prime p, if one computes k^2 pmod{p} for k=0,1,dots,(p-1)/2 (this is sufficient because (p-k)^2equiv k^2 pmod{p}), one gets consecutive composites, followed by consecutive primes, if and only if p is a Heegner number.[13]
For details, see "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.
0/5000
ค่าคงของวาสะรามานุจันเป็นอีอดิศัย [4]
{pi sqrt{163 } }, ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเกือบ ที่เป็นมาก ปิดเป็นจำนวนเต็ม:
e
{pi sqrt{163 } } = 262 { } 537 { } 412 { } 640 { } 768 { } 743.99999999999925 ... [5] approx 640320
3 744.
หมายเลขนี้ถูกค้นพบในปี 1859 โดยนักคณิตศาสตร์ Hermite ชาร์ลส์[6] ในบทความคนโง่เมษายน 1975 ในวิทยาศาสตร์อเมริกันนิตยสาร[7] " columnist เกมคณิตศาสตร์" มาร์ตินการ์ดเนอร์ทำการ (หลอกลวง) อ้างว่า หมายเลขในความเป็นจริงจำนวนเต็ม และว่า อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์อินเดียศรีนิวาสะรามานุจันได้คาดการณ์ไว้มัน — ดังนั้นชื่อของ
บังเอิญนี้จะอธิบายความซับซ้อนคูณและขยาย q ของ j-บล็อก
รายละเอียด [แก้ไข]
สั้น ๆ เจ ((1 sqrt{-d})/2) เป็นจำนวนเต็มใน d หมายเลข Heegnerและ e
{pi sqrt{d } } approx ((1 sqrt{-d})/2) -เจ 744 ผ่านคิว-ขยาย
ถ้า au เป็นกำลังสองการโต้เถียง แล้วเจภาษา พีชคณิตจำนวนเต็มของ |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au) ปริญญา) |, หมายเลขชั้นของ mathbf{Q}( au) และน้อยที่สุด (monic ทฤษฎีบูรณาการ) พหุนามจะตรงจะเรียกว่าคลาฮิลแบร์ทพหุนาม ดังนั้นถ้า mathbf{Q}( au) ส่วนขยายกำลังสองของจำนวนจินตภาพมีคลาสหมายเลข 1 (เพื่อ d คือ หมายเลข Heegner), เจบล็อกได้เป็นจำนวนเต็ม
q-ขยายตัวของเจ กับขยายอนุกรมการเขียนเป็นชุด Laurent ใน q = exp (2 pi i au), เริ่มต้น as:
j(q) = frac{1}{q } 744 196884 c_n q cdots.
The สัมประสิทธิ์ asymptotically เติบโตเป็น ln(c_n) sim 4pi sqrt{n } O(ln(n)), และสัมประสิทธิ์สั่งต่ำเจริญเติบโตช้ากว่า 200000
n ดังนั้นสำหรับ 1/200000 ll q, j เป็นดีเลียนแบบ โดยเงื่อนไขสอง การตั้งค่า au = (1 sqrt{-163})/2 ทำให้ q =-exp(-pi sqrt{163}) หรือ equivalently, frac{1}{q}=-exp (pi sqrt{163 }) ตอนนี้เจ ((1 sqrt{-163})/2)=(-640320)
3 ดังนั้น
(-640320)
3 =-e
{pi sqrt{163 } } 744 Oleft (อี
{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e
{ pi sqrt{163}}=640320
3 744 Oleft (อี
{-pi sqrt{163}}
ight)
where ระยะเชิงเส้นของข้อผิดพลาดคือ,
-196884/e
{pi sqrt{163 } } approx 196884 / (640320
3 744)
approx-0.00000000000075
อธิบายอี
{pi sqrt{163 } } อยู่ประมาณข้างต้นเป็น จำนวนเต็ม
พายสูตร [แก้ไข]
พี่ Chudnovsky ที่พบใน 1987,
frac { 1 } {pi } = frac{12}{640320
{3/2 } } sum_{k=0}
infty frac{(6k) (163 cdot 3344418 k 13591409) }{(3k)(k)
3 (-640320)
{3 k } }
และใช้ว่า jig ( frac {1 sqrt{-163}}{2}ig) ความจริง =-640320
3 สำหรับสูตรที่คล้ายกัน ดูชุดวาสะรามานุจัน – ซา
หมายเลขอื่น ๆ Heegner [แก้ไข]
สำหรับสี่ที่ใหญ่ที่สุด Heegner เลข เพียงการประมาณหนึ่ง [8] ที่ได้รับเป็น follows.
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 96
3 744-0.22\
e
{pi sqrt{43 } } &approx 960
3 744-0.00022\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 5280
3 744-0.0000013\
e
{pi sqrt{163 } } &approx 640320
3 744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 12
3 (3
2 - 1)
3 744-0.22\
e
{pi sqrt{43 } } &approx 12
3 (9
2-1)
3 744-0.00022\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 12
3 (21
2-1)
3 744-0.0000013\
e
&approx {pi sqrt{163 } } 12
3 (231
2 - 1)
3 744-0.00000000000075
end {จัด}
เหตุผลสี่เหลี่ยมอยู่เนื่องจากบางชุดไอเซนสไตน์ สำหรับ Heegner หมายเลข d < 19 หนึ่งรับเกือบจำนวนเต็ม แม้ d = 19 ไม่น่าสนใจ[10] เจ-invariants ตามจำนวนเต็มมีสูง factorisable ซึ่งเป็นไปตามที่ 12
3 (n
2 - 1)
3 = (2
2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n 1))
3 แบบฟอร์ม และปัจจัยเป็น,
egin{align}
j((1 sqrt{-19})/2) & = 96
3 = (2
5 cdot 3)
3\
เจ ((1 sqrt{-43})/2) & = 960
3 = (2
cdot cdot 3 6 5)
3\
เจ ((1 sqrt{-67})/2) & = 5280
3 = (2
cdot cdot 5 cdot 3 5 11)
3\
j ((1 sqrt{-163})/2) & = 640320
3 = (2
6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)
3
end {จัด}
เลข transcendental เหล่านี้นอกเหนือจากการเลียนแบบอย่างใกล้ชิดโดยเป็นจำนวนเต็ม (ซึ่งเป็นเพียงตัวเลขเชิงพีชคณิตของระดับ 1), สามารถยังสามารถใกล้ชิดเลียนแบบ โดยจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 3, [11]
egin {จัด}
e
{pi sqrt{19 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x-2 = 0\
e
{pi sqrt{43 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x
2-2 = 0\
e
{pi sqrt{67 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x
2-2 x-2 = 0\
e
{pi sqrt{163 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-6 x
2 4 x - 2 = 0
end {จัด}
ของ cubics ว่าจะตาม quotients ของเอตาก Dedekind ทำงานη(τ) ฟังก์ชันโมดุลเกี่ยวข้องกับ 24 เป็นราก และซึ่งอธิบายถึง 24 ในการประมาณการ นอกจากนี้ พวกเขาสามารถยังอย่างใกล้ชิดหาค่าประมาณ โดยจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 4, [12]
egin {จัด}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 3
5 left (3-sqrt { 2 (1sqrt-3 {3cdot19 }) }
ight)
{-2}-12.00006dots\
e
&approx {pi sqrt{43 } } 3
5 left (9-sqrt { 2 (-39 7sqrt {3cdot43 }) }
ight)
{-2}-12.000000061dots\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 3
5 left (21 sqrt { 2 (-219 31sqrt {3cdot67 }) }
ight)
{-2}-12.00000000036dots\
e
{pi sqrt{163 } } &approx 3
5 left (231-sqrt { 2 (-26679 2413sqrt {3cdot163 }) }
ight)
{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note reappearance ของ n เป็นจำนวนเต็ม = 3, 9, 21 231 เป็นความจริงที่,
egin {จัด}
&2
6 cdot 3(-3
2 3 cdot 19 cdot 1
2) = 96
2\
&2
6 cdot 3(-39
2 3 cdot 43 cdot 7
2) = 960
2\
&2
6 cdot 3(-219
2 3 cdot 67 cdot 31
2) = 5280
2\
&2
6 cdot 3(-26679
2 3 cdot 163 cdot 2413
2) = 640320
2
end {จัด}
ซึ่งเศษส่วนพลังงานที่เหมาะสม มีแม่นยำเจ-invariants เช่นกันเป็นสำหรับจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 6,
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx (5x)
3-6.000010dots\
e
{pi sqrt{43 } } &approx (5x)
3-6.000000010dots\
e
{pi sqrt{67 } } &approx (5x)
3-6.000000000061dots\
e
{pi sqrt{163 } } &approx (xs มีกำหนดตามลำดับ โดยรากที่เหมาะสมของสมการ sextic, 5x)
3-6.000000000000000034dots
end{align}
where
egin {จัด}
&5x
6 96 x
x 5-10
3 1 = 0\
&5x
6-960 x
5-10 x
3 1 = 0\
&5x
6 5280 x
x 5-10
3 1 = 0\
&5x
6-640320 x
x 5-10
3 1 = 0
end {จัด}
กับเจ-invariants ปรากฏขึ้นอีกครั้ง Sextics เหล่านี้ไม่ใช่เฉพาะพีชคณิต พวกเขาเป็นยังแก้ไขในอนุมูลนั้นปัจจัยเป็นสอง cubics ผ่าน mathbb{Q}sqrt{5 นามสกุล} (กับแฟคแรกเพิ่มเติมเป็น quadratics สอง) เพียงการพีชคณิตเหล่านี้ประมาณสามารถถูกแสดงใน quotients Dedekind เอตากว่า ให้เป็นตัวอย่าง au = (1 sqrt{-163})/2 แล้ว,
egin {จัด}
e
{pi sqrt{163 } } & = left (frac{e
{pi ฉัน / 24 } eta( au)}{eta(2 au) }
ight)
{24}-24.00000000000000105dots\
e
{pi sqrt{163 } } & = left (frac{e
{pi ฉัน / 12 }
ight)
{12}-12.00000000000000021dots\
e
eta( au)}{eta(3 au) }& {pi sqrt{163 } } = left (frac{e
{pi ฉัน / 6 }
ight)
{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where eta( au)}{eta(5 au) } quotients เอตากเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่ให้ไว้ข้างต้น
โรงแรมไพรม์ต่อเนื่อง [แก้ไข]
รับหนึ่งตัว k p เฉพาะแปลก
2 pmod{p } สำหรับ k = 0, 1, dots,(p-1)/2 (นี้เพียงพอเนื่องจาก (p-k)
2equiv k
2 pmod{p })หนึ่งได้รับต่อเนื่องคอมโพสิต ตามโรงแรมไพรม์ติดต่อกัน ถ้าและเฉพาะถ้า p เป็นจำนวน Heegner[13]
สำหรับรายละเอียด ดู "กำลังสอง Polynomials ผลิตติดต่อกันหมดโรงแรมไพรม์และระดับกลุ่มของซับซ้อนกำลังสองฟิลด์" โดยริชาร์ด Mollin
{pi sqrt{163 } }, ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเกือบ ที่เป็นมาก ปิดเป็นจำนวนเต็ม:
e
{pi sqrt{163 } } = 262 { } 537 { } 412 { } 640 { } 768 { } 743.99999999999925 ... [5] approx 640320
3 744.
หมายเลขนี้ถูกค้นพบในปี 1859 โดยนักคณิตศาสตร์ Hermite ชาร์ลส์[6] ในบทความคนโง่เมษายน 1975 ในวิทยาศาสตร์อเมริกันนิตยสาร[7] " columnist เกมคณิตศาสตร์" มาร์ตินการ์ดเนอร์ทำการ (หลอกลวง) อ้างว่า หมายเลขในความเป็นจริงจำนวนเต็ม และว่า อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์อินเดียศรีนิวาสะรามานุจันได้คาดการณ์ไว้มัน — ดังนั้นชื่อของ
บังเอิญนี้จะอธิบายความซับซ้อนคูณและขยาย q ของ j-บล็อก
รายละเอียด [แก้ไข]
สั้น ๆ เจ ((1 sqrt{-d})/2) เป็นจำนวนเต็มใน d หมายเลข Heegnerและ e
{pi sqrt{d } } approx ((1 sqrt{-d})/2) -เจ 744 ผ่านคิว-ขยาย
ถ้า au เป็นกำลังสองการโต้เถียง แล้วเจภาษา พีชคณิตจำนวนเต็มของ |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au) ปริญญา) |, หมายเลขชั้นของ mathbf{Q}( au) และน้อยที่สุด (monic ทฤษฎีบูรณาการ) พหุนามจะตรงจะเรียกว่าคลาฮิลแบร์ทพหุนาม ดังนั้นถ้า mathbf{Q}( au) ส่วนขยายกำลังสองของจำนวนจินตภาพมีคลาสหมายเลข 1 (เพื่อ d คือ หมายเลข Heegner), เจบล็อกได้เป็นจำนวนเต็ม
q-ขยายตัวของเจ กับขยายอนุกรมการเขียนเป็นชุด Laurent ใน q = exp (2 pi i au), เริ่มต้น as:
j(q) = frac{1}{q } 744 196884 c_n q cdots.
The สัมประสิทธิ์ asymptotically เติบโตเป็น ln(c_n) sim 4pi sqrt{n } O(ln(n)), และสัมประสิทธิ์สั่งต่ำเจริญเติบโตช้ากว่า 200000
n ดังนั้นสำหรับ 1/200000 ll q, j เป็นดีเลียนแบบ โดยเงื่อนไขสอง การตั้งค่า au = (1 sqrt{-163})/2 ทำให้ q =-exp(-pi sqrt{163}) หรือ equivalently, frac{1}{q}=-exp (pi sqrt{163 }) ตอนนี้เจ ((1 sqrt{-163})/2)=(-640320)
3 ดังนั้น
(-640320)
3 =-e
{pi sqrt{163 } } 744 Oleft (อี
{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e
{ pi sqrt{163}}=640320
3 744 Oleft (อี
{-pi sqrt{163}}
ight)
where ระยะเชิงเส้นของข้อผิดพลาดคือ,
-196884/e
{pi sqrt{163 } } approx 196884 / (640320
3 744)
approx-0.00000000000075
อธิบายอี
{pi sqrt{163 } } อยู่ประมาณข้างต้นเป็น จำนวนเต็ม
พายสูตร [แก้ไข]
พี่ Chudnovsky ที่พบใน 1987,
frac { 1 } {pi } = frac{12}{640320
{3/2 } } sum_{k=0}
infty frac{(6k) (163 cdot 3344418 k 13591409) }{(3k)(k)
3 (-640320)
{3 k } }
และใช้ว่า jig ( frac {1 sqrt{-163}}{2}ig) ความจริง =-640320
3 สำหรับสูตรที่คล้ายกัน ดูชุดวาสะรามานุจัน – ซา
หมายเลขอื่น ๆ Heegner [แก้ไข]
สำหรับสี่ที่ใหญ่ที่สุด Heegner เลข เพียงการประมาณหนึ่ง [8] ที่ได้รับเป็น follows.
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 96
3 744-0.22\
e
{pi sqrt{43 } } &approx 960
3 744-0.00022\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 5280
3 744-0.0000013\
e
{pi sqrt{163 } } &approx 640320
3 744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 12
3 (3
2 - 1)
3 744-0.22\
e
{pi sqrt{43 } } &approx 12
3 (9
2-1)
3 744-0.00022\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 12
3 (21
2-1)
3 744-0.0000013\
e
&approx {pi sqrt{163 } } 12
3 (231
2 - 1)
3 744-0.00000000000075
end {จัด}
เหตุผลสี่เหลี่ยมอยู่เนื่องจากบางชุดไอเซนสไตน์ สำหรับ Heegner หมายเลข d < 19 หนึ่งรับเกือบจำนวนเต็ม แม้ d = 19 ไม่น่าสนใจ[10] เจ-invariants ตามจำนวนเต็มมีสูง factorisable ซึ่งเป็นไปตามที่ 12
3 (n
2 - 1)
3 = (2
2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n 1))
3 แบบฟอร์ม และปัจจัยเป็น,
egin{align}
j((1 sqrt{-19})/2) & = 96
3 = (2
5 cdot 3)
3\
เจ ((1 sqrt{-43})/2) & = 960
3 = (2
cdot cdot 3 6 5)
3\
เจ ((1 sqrt{-67})/2) & = 5280
3 = (2
cdot cdot 5 cdot 3 5 11)
3\
j ((1 sqrt{-163})/2) & = 640320
3 = (2
6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)
3
end {จัด}
เลข transcendental เหล่านี้นอกเหนือจากการเลียนแบบอย่างใกล้ชิดโดยเป็นจำนวนเต็ม (ซึ่งเป็นเพียงตัวเลขเชิงพีชคณิตของระดับ 1), สามารถยังสามารถใกล้ชิดเลียนแบบ โดยจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 3, [11]
egin {จัด}
e
{pi sqrt{19 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x-2 = 0\
e
{pi sqrt{43 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x
2-2 = 0\
e
{pi sqrt{67 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-2 x
2-2 x-2 = 0\
e
{pi sqrt{163 } } &approx x
{ 24 } -24 x
3-6 x
2 4 x - 2 = 0
end {จัด}
ของ cubics ว่าจะตาม quotients ของเอตาก Dedekind ทำงานη(τ) ฟังก์ชันโมดุลเกี่ยวข้องกับ 24 เป็นราก และซึ่งอธิบายถึง 24 ในการประมาณการ นอกจากนี้ พวกเขาสามารถยังอย่างใกล้ชิดหาค่าประมาณ โดยจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 4, [12]
egin {จัด}
e
{pi sqrt{19 } } &approx 3
5 left (3-sqrt { 2 (1sqrt-3 {3cdot19 }) }
ight)
{-2}-12.00006dots\
e
&approx {pi sqrt{43 } } 3
5 left (9-sqrt { 2 (-39 7sqrt {3cdot43 }) }
ight)
{-2}-12.000000061dots\
e
{pi sqrt{67 } } &approx 3
5 left (21 sqrt { 2 (-219 31sqrt {3cdot67 }) }
ight)
{-2}-12.00000000036dots\
e
{pi sqrt{163 } } &approx 3
5 left (231-sqrt { 2 (-26679 2413sqrt {3cdot163 }) }
ight)
{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note reappearance ของ n เป็นจำนวนเต็ม = 3, 9, 21 231 เป็นความจริงที่,
egin {จัด}
&2
6 cdot 3(-3
2 3 cdot 19 cdot 1
2) = 96
2\
&2
6 cdot 3(-39
2 3 cdot 43 cdot 7
2) = 960
2\
&2
6 cdot 3(-219
2 3 cdot 67 cdot 31
2) = 5280
2\
&2
6 cdot 3(-26679
2 3 cdot 163 cdot 2413
2) = 640320
2
end {จัด}
ซึ่งเศษส่วนพลังงานที่เหมาะสม มีแม่นยำเจ-invariants เช่นกันเป็นสำหรับจำนวนเชิงพีชคณิตระดับ 6,
egin{align}
e
{pi sqrt{19 } } &approx (5x)
3-6.000010dots\
e
{pi sqrt{43 } } &approx (5x)
3-6.000000010dots\
e
{pi sqrt{67 } } &approx (5x)
3-6.000000000061dots\
e
{pi sqrt{163 } } &approx (xs มีกำหนดตามลำดับ โดยรากที่เหมาะสมของสมการ sextic, 5x)
3-6.000000000000000034dots
end{align}
where
egin {จัด}
&5x
6 96 x
x 5-10
3 1 = 0\
&5x
6-960 x
5-10 x
3 1 = 0\
&5x
6 5280 x
x 5-10
3 1 = 0\
&5x
6-640320 x
x 5-10
3 1 = 0
end {จัด}
กับเจ-invariants ปรากฏขึ้นอีกครั้ง Sextics เหล่านี้ไม่ใช่เฉพาะพีชคณิต พวกเขาเป็นยังแก้ไขในอนุมูลนั้นปัจจัยเป็นสอง cubics ผ่าน mathbb{Q}sqrt{5 นามสกุล} (กับแฟคแรกเพิ่มเติมเป็น quadratics สอง) เพียงการพีชคณิตเหล่านี้ประมาณสามารถถูกแสดงใน quotients Dedekind เอตากว่า ให้เป็นตัวอย่าง au = (1 sqrt{-163})/2 แล้ว,
egin {จัด}
e
{pi sqrt{163 } } & = left (frac{e
{pi ฉัน / 24 } eta( au)}{eta(2 au) }
ight)
{24}-24.00000000000000105dots\
e
{pi sqrt{163 } } & = left (frac{e
{pi ฉัน / 12 }
ight)
{12}-12.00000000000000021dots\
e
eta( au)}{eta(3 au) }& {pi sqrt{163 } } = left (frac{e
{pi ฉัน / 6 }
ight)
{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where eta( au)}{eta(5 au) } quotients เอตากเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่ให้ไว้ข้างต้น
โรงแรมไพรม์ต่อเนื่อง [แก้ไข]
รับหนึ่งตัว k p เฉพาะแปลก
2 pmod{p } สำหรับ k = 0, 1, dots,(p-1)/2 (นี้เพียงพอเนื่องจาก (p-k)
2equiv k
2 pmod{p })หนึ่งได้รับต่อเนื่องคอมโพสิต ตามโรงแรมไพรม์ติดต่อกัน ถ้าและเฉพาะถ้า p เป็นจำนวน Heegner[13]
สำหรับรายละเอียด ดู "กำลังสอง Polynomials ผลิตติดต่อกันหมดโรงแรมไพรม์และระดับกลุ่มของซับซ้อนกำลังสองฟิลด์" โดยริชาร์ด Mollin
การแปล กรุณารอสักครู่..
Ramanujan's constant is the transcendental number[4] e^{pi sqrt{163}}, which is an almost integer, in that it is very close to an integer:
e^{pi sqrt{163}} = 262{,}537{,}412{,}640{,}768{,}743.99999999999925... [5] approx 640320^3+744.
This number was discovered in 1859 by the mathematician Charles Hermite.[6] In a 1975 April Fool article in Scientific American magazine,[7] "Mathematical Games" columnist Martin Gardner made the (hoax) claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan had predicted it—hence its name.
This coincidence is explained by complex multiplication and the q-expansion of the j-invariant.
Detail[edit]
Briefly, j((1+sqrt{-d})/2) is an integer for d a Heegner number, and e^{pi sqrt{d}} approx -j((1+sqrt{-d})/2) + 744 via the q-expansion.
If au is a quadratic irrational, then the j-invariant is an algebraic integer of degree |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au))|, the class number of mathbf{Q}( au) and the minimal (monic integral) polynomial it satisfies is called the Hilbert class polynomial. Thus if the imaginary quadratic extension mathbf{Q}( au) has class number 1 (so d is a Heegner number), the j-invariant is an integer.
The q-expansion of j, with its Fourier series expansion written as a Laurent series in terms of q=exp(2 pi i au), begins as:
j(q) = frac{1}{q} + 744 + 196884 q + cdots.
The coefficients c_n asymptotically grow as ln(c_n) sim 4pi sqrt{n} + O(ln(n)), and the low order coefficients grow more slowly than 200000^n, so for q ll 1/200000, j is very well approximated by its first two terms. Setting au = (1+sqrt{-163})/2 yields q=-exp(-pi sqrt{163}) or equivalently, frac{1}{q}=-exp(pi sqrt{163}). Now j((1+sqrt{-163})/2)=(-640320)^3, so,
(-640320)^3=-e^{pi sqrt{163}}+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e^{pi sqrt{163}}=640320^3+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight)
where the linear term of the error is,
-196884/e^{pi sqrt{163}} approx 196884/(640320^3+744)
approx -0.00000000000075
explaining why e^{pi sqrt{163}} is within approximately the above of being an integer.
Pi formulas[edit]
The Chudnovsky brothers found in 1987,
frac{1}{pi} = frac{12}{640320^{3/2}} sum_{k=0}^infty frac{(6k)! (163 cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}
and uses the fact that jig( frac{1+sqrt{-163}}{2}ig) = -640320^3. For similar formulas, see the Ramanujan–Sato series.
Other Heegner numbers[edit]
For the four largest Heegner numbers, the approximations one obtains[8] are as follows.
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 96^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 960^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 5280^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 640320^3+744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075
end{align}
where the reason for the squares is due to certain Eisenstein series. For Heegner numbers d < 19, one does not obtain an almost integer; even d = 19 is not noteworthy.[10] The integer j-invariants are highly factorisable, which follows from the 12^3(n^2-1)^3=(2^2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n+1))^3 form, and factor as,
egin{align}
j((1+sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 cdot 3)^3\
j((1+sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 cdot 3 cdot 5)^3\
j((1+sqrt{-67})/2) & =5280^3=(2^5 cdot 3 cdot 5 cdot 11)^3\
j((1+sqrt{-163})/2) &=640320^3=(2^6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)^3.
end{align}
These transcendental numbers, in addition to being closely approximated by integers, (which are simply algebraic numbers of degree 1), can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 3,[11]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx x^{24}-24; x^3-2x-2=0\
e^{pi sqrt{43}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2=0\
e^{pi sqrt{67}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2x-2=0\
e^{pi sqrt{163}} &approx x^{24}-24; x^3-6x^2+4x-2=0
end{align}
The roots of the cubics can be exactly given by quotients of the Dedekind eta function η(τ), a modular function involving a 24th root, and which explains the 24 in the approximation. In addition, they can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 4,[12]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 3^5 left(3-sqrt{2(-3+1sqrt{3cdot19})}
ight)^{-2}-12.00006dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx 3^5 left(9-sqrt{2(-39+7sqrt{3cdot43})}
ight)^{-2}-12.000000061dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx 3^5 left(21-sqrt{2(-219+31sqrt{3cdot67})}
ight)^{-2}-12.00000000036dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx 3^5 left(231-sqrt{2(-26679+2413sqrt{3cdot163})}
ight)^{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note the reappearance of the integers n = 3, 9, 21, 231 as well as the fact that,
egin{align}
&2^6 cdot 3(-3^2+3 cdot 19 cdot 1^2) = 96^2\
&2^6 cdot 3(-39^2+3 cdot 43 cdot 7^2) = 960^2\
&2^6 cdot 3(-219^2+3 cdot 67 cdot 31^2) = 5280^2\
&2^6 cdot 3(-26679^2+3 cdot 163 cdot 2413^2) = 640320^2
end{align}
which, with the appropriate fractional power, are precisely the j-invariants. As well as for algebraic numbers of degree 6,
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx (5x)^3-6.000010dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx (5x)^3-6.000000010dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx (5x)^3-6.000000000061dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx (5x)^3-6.000000000000000034dots
end{align}
where the xs are given respectively by the appropriate root of the sextic equations,
egin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-640320x^5-10x^3+1=0
end{align}
with the j-invariants appearing again. These sextics are not only algebraic, they are also solvable in radicals as they factor into two cubics over the extension mathbb{Q}sqrt{5} (with the first factoring further into two quadratics). These algebraic approximations can be exactly expressed in terms of Dedekind eta quotients. As an example, let au = (1+sqrt{-163})/2, then,
egin{align}
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/24} eta( au)}{eta(2 au)}
ight)^{24}-24.00000000000000105dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/12} eta( au)}{eta(3 au)}
ight)^{12}-12.00000000000000021dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/6} eta( au)}{eta(5 au)}
ight)^{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where the eta quotients are the algebraic numbers given above.
Consecutive primes[edit]
Given an odd prime p, if one computes k^2 pmod{p} for k=0,1,dots,(p-1)/2 (this is sufficient because (p-k)^2equiv k^2 pmod{p}), one gets consecutive composites, followed by consecutive primes, if and only if p is a Heegner number.[13]
For details, see "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.
e^{pi sqrt{163}} = 262{,}537{,}412{,}640{,}768{,}743.99999999999925... [5] approx 640320^3+744.
This number was discovered in 1859 by the mathematician Charles Hermite.[6] In a 1975 April Fool article in Scientific American magazine,[7] "Mathematical Games" columnist Martin Gardner made the (hoax) claim that the number was in fact an integer, and that the Indian mathematical genius Srinivasa Ramanujan had predicted it—hence its name.
This coincidence is explained by complex multiplication and the q-expansion of the j-invariant.
Detail[edit]
Briefly, j((1+sqrt{-d})/2) is an integer for d a Heegner number, and e^{pi sqrt{d}} approx -j((1+sqrt{-d})/2) + 744 via the q-expansion.
If au is a quadratic irrational, then the j-invariant is an algebraic integer of degree |mbox{Cl}(mathbf{Q}( au))|, the class number of mathbf{Q}( au) and the minimal (monic integral) polynomial it satisfies is called the Hilbert class polynomial. Thus if the imaginary quadratic extension mathbf{Q}( au) has class number 1 (so d is a Heegner number), the j-invariant is an integer.
The q-expansion of j, with its Fourier series expansion written as a Laurent series in terms of q=exp(2 pi i au), begins as:
j(q) = frac{1}{q} + 744 + 196884 q + cdots.
The coefficients c_n asymptotically grow as ln(c_n) sim 4pi sqrt{n} + O(ln(n)), and the low order coefficients grow more slowly than 200000^n, so for q ll 1/200000, j is very well approximated by its first two terms. Setting au = (1+sqrt{-163})/2 yields q=-exp(-pi sqrt{163}) or equivalently, frac{1}{q}=-exp(pi sqrt{163}). Now j((1+sqrt{-163})/2)=(-640320)^3, so,
(-640320)^3=-e^{pi sqrt{163}}+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight).
Or,
e^{pi sqrt{163}}=640320^3+744+Oleft(e^{-pi sqrt{163}}
ight)
where the linear term of the error is,
-196884/e^{pi sqrt{163}} approx 196884/(640320^3+744)
approx -0.00000000000075
explaining why e^{pi sqrt{163}} is within approximately the above of being an integer.
Pi formulas[edit]
The Chudnovsky brothers found in 1987,
frac{1}{pi} = frac{12}{640320^{3/2}} sum_{k=0}^infty frac{(6k)! (163 cdot 3344418k + 13591409)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}
and uses the fact that jig( frac{1+sqrt{-163}}{2}ig) = -640320^3. For similar formulas, see the Ramanujan–Sato series.
Other Heegner numbers[edit]
For the four largest Heegner numbers, the approximations one obtains[8] are as follows.
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 96^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 960^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 5280^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 640320^3+744-0.00000000000075
end{align}
Alternatively,[9]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\
e^{pi sqrt{43}} &approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.00022\
e^{pi sqrt{67}} &approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.0000013\
e^{pi sqrt{163}} &approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.00000000000075
end{align}
where the reason for the squares is due to certain Eisenstein series. For Heegner numbers d < 19, one does not obtain an almost integer; even d = 19 is not noteworthy.[10] The integer j-invariants are highly factorisable, which follows from the 12^3(n^2-1)^3=(2^2cdot 3 cdot (n-1) cdot (n+1))^3 form, and factor as,
egin{align}
j((1+sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 cdot 3)^3\
j((1+sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 cdot 3 cdot 5)^3\
j((1+sqrt{-67})/2) & =5280^3=(2^5 cdot 3 cdot 5 cdot 11)^3\
j((1+sqrt{-163})/2) &=640320^3=(2^6 cdot 3 cdot 5 cdot 23 cdot 29)^3.
end{align}
These transcendental numbers, in addition to being closely approximated by integers, (which are simply algebraic numbers of degree 1), can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 3,[11]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx x^{24}-24; x^3-2x-2=0\
e^{pi sqrt{43}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2=0\
e^{pi sqrt{67}} &approx x^{24}-24; x^3-2x^2-2x-2=0\
e^{pi sqrt{163}} &approx x^{24}-24; x^3-6x^2+4x-2=0
end{align}
The roots of the cubics can be exactly given by quotients of the Dedekind eta function η(τ), a modular function involving a 24th root, and which explains the 24 in the approximation. In addition, they can also be closely approximated by algebraic numbers of degree 4,[12]
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx 3^5 left(3-sqrt{2(-3+1sqrt{3cdot19})}
ight)^{-2}-12.00006dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx 3^5 left(9-sqrt{2(-39+7sqrt{3cdot43})}
ight)^{-2}-12.000000061dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx 3^5 left(21-sqrt{2(-219+31sqrt{3cdot67})}
ight)^{-2}-12.00000000036dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx 3^5 left(231-sqrt{2(-26679+2413sqrt{3cdot163})}
ight)^{-2}-12.00000000000000021dots
end{align}
Note the reappearance of the integers n = 3, 9, 21, 231 as well as the fact that,
egin{align}
&2^6 cdot 3(-3^2+3 cdot 19 cdot 1^2) = 96^2\
&2^6 cdot 3(-39^2+3 cdot 43 cdot 7^2) = 960^2\
&2^6 cdot 3(-219^2+3 cdot 67 cdot 31^2) = 5280^2\
&2^6 cdot 3(-26679^2+3 cdot 163 cdot 2413^2) = 640320^2
end{align}
which, with the appropriate fractional power, are precisely the j-invariants. As well as for algebraic numbers of degree 6,
egin{align}
e^{pi sqrt{19}} &approx (5x)^3-6.000010dots\
e^{pi sqrt{43}} &approx (5x)^3-6.000000010dots\
e^{pi sqrt{67}} &approx (5x)^3-6.000000000061dots\
e^{pi sqrt{163}} &approx (5x)^3-6.000000000000000034dots
end{align}
where the xs are given respectively by the appropriate root of the sextic equations,
egin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\
&5x^6-640320x^5-10x^3+1=0
end{align}
with the j-invariants appearing again. These sextics are not only algebraic, they are also solvable in radicals as they factor into two cubics over the extension mathbb{Q}sqrt{5} (with the first factoring further into two quadratics). These algebraic approximations can be exactly expressed in terms of Dedekind eta quotients. As an example, let au = (1+sqrt{-163})/2, then,
egin{align}
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/24} eta( au)}{eta(2 au)}
ight)^{24}-24.00000000000000105dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/12} eta( au)}{eta(3 au)}
ight)^{12}-12.00000000000000021dots\
e^{pi sqrt{163}} &= left( frac{e^{pi i/6} eta( au)}{eta(5 au)}
ight)^{6}-6.000000000000000034dots
end{align}
where the eta quotients are the algebraic numbers given above.
Consecutive primes[edit]
Given an odd prime p, if one computes k^2 pmod{p} for k=0,1,dots,(p-1)/2 (this is sufficient because (p-k)^2equiv k^2 pmod{p}), one gets consecutive composites, followed by consecutive primes, if and only if p is a Heegner number.[13]
For details, see "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" by Richard Mollin.
การแปล กรุณารอสักครู่..
ค่าคงตัวของ Ramanujan เป็นจำนวนตรรกยะ [ 4 ] e
{ pi SQRT { พวก } } ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเกือบ เพราะมันอยู่ใกล้กับจำนวนเต็ม :
e
{ pi SQRT { 163 } } = 262 { , } และ { } { } , 412 , 640 { } { } , 768 , 743. 999999999999 25 . . . . . . . [ 5 ] N ประมาณ 640320
3
744 . หมายเลขนี้ถูกค้นพบในตอนนี้ โดยนักคณิตศาสตร์ Charles & ขาว [ 6 ] ใน 1975 เมษายนบทความในนิตยสารวิทยาศาสตร์อเมริกัน[ 7 ] " คณิตศาสตร์เกม " คอลัมนิสต์มาร์ตินการ์ดเนอร์ได้ ( หลอกลวง ) อ้างว่า จำนวนนั้นจริงๆ แล้วเป็นจำนวนเต็ม และชาวอินเดียศรีนิวาสะ รามานุจัน อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ ได้คาดการณ์ไว้มันจึงชื่อ
เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ซับซ้อนและ q-expansion การคูณของ j-invariant
รายละเอียด [ แก้ไข ]
สั้น ๆ , J ( { - D } 1 SQRT ) / 2 ) เป็นจำนวนเต็มสำหรับ D และ E
heegner หมายเลข{ pi SQRT { D } } N ประมาณ - J ( { - D } 1 SQRT ) / 2 ) จะผ่าน q-expansion
ถ้าตาวเป็นกำลังสอง ไร้เหตุผล แล้ว j-invariant เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตระดับ | mbox { C1 } ( { Q } ( mathbf เทา ) | , จำนวนชั้นของ mathbf { Q } ( tau ) และน้อยที่สุด ( โมนิก integral ) พหุนามมันน่าพอใจ เรียกว่า ฮิลเบิร์ตคลาสโพลิโนเมียลดังนั้นถ้าไม่มีจินตนาการ N { Q } ( ขยาย mathbf tau ) มีจำนวนชั้น 1 ( D คือ heegner หมายเลข ) , j-invariant เป็นจำนวนเต็ม .
q-expansion J กับอนุกรมฟูริเยร์ขยายเขียนเป็น Laurent series ในแง่ของ Q = exp ( 2 ปี่ฉัน เทา ) , เริ่มต้นเป็น :
J ( q ) = frac { 1 } { Q } 744 196884 Q cdots .
) c_n asymptotically เติบโต ln ( c_n ) 4 pi N ซิม SQRT { n } O ( ( n ) )และสัมประสิทธิ์การเติบโตต่ำ ช้า กว่า 200000
n ดังนั้น Q N จะ 1 / 200000 J เป็นอย่างดีโดยประมาณ โดยเงื่อนไขของข้อตกลงสองก่อน การตั้งค่า tau = ( 1 / SQRT { - 163 } ) / 2 ผลผลิต Q = exp ( - pi SQRT { 163 } ) หรือก้อง , frac { 1 } { Q } = exp ( pi SQRT { 163 } ) ตอนนี้ J ( { - } 1 SQRT 163 ) / 2 ) = ( - 640320 )
3 แล้ว
( - 640320 )
3 = e
{ pi SQRT { 163 } } 744 O ( E
{ - N เหลือด N SQRT { 163 } } ขวา )
e
หรือ{ pi SQRT { 163 } } = 640320
3 o ( e
N จะทิ้ง { pi SQRT { 163 } } )
ที่ระยะเชิงเส้นของข้อผิดพลาดคือ
- 196884 / e
{ pi SQRT { 163 } } N ประมาณ 196884 / ( 640320
3
N ประมาณ 744 ) - 0. มากเกินไป 75
อธิบายเหตุผล e
{ pi SQRT { 163 } } ภายในประมาณข้างต้นเป็นจำนวนเต็ม .
pi สูตร [ แก้ไข ]
พี่น้อง chudnovsky พบใน 1987
frac { 1 } { pi } = frac { 12 } { 640320
{ 1 / 2 } } sum_ { k = 0 }
infty N frac { ( 6 ) ( 163 3344418k } { cdot 13591409 ) ( 3K ) ( k ) ( - 640320 )
3 { 3 k } }
และใช้ความจริงที่ว่า J ใหญ่ ( { 1 N tfrac SQRT { - 163 } } { 2 } N ใหญ่ ) = - 640320
3 สำหรับสูตรที่คล้ายกันเห็นรามานุจัน–ซาโต้ ชุดอื่น ๆ .
heegner ตัวเลข [ แก้ไข ]
สำหรับสี่ที่ใหญ่ที่สุด heegner ตัวเลขโดยการประมาณหนึ่งได้รับ [ 8 ] มีดังนี้
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ 96
3 744-0.22
e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 960
3 744-0.00022
e
{ pi { 0 } } & SQRT N ประมาณสาวโตเกียว
3 744-0. แสน 13
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 640320
3
744-0. มากเกินไป 75 จบ { จัด }
หรือ [ 9 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } &ประมาณ 12
3 3
2-1 )
3 744-0.22
e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 12
3 ( 9
2 )
3 744-0.00022
e
{ pi { 0 } } & SQRT ( 21 N ประมาณ 12
3
2-1 )
3 744-0. แสน 13
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 12
3 ( 231
2-1 )
3
744-0. มากเกินไป 75 จบ { จัด }
ที่เหตุผลสี่เหลี่ยมเนื่องจากบางไอเซนสไตน์ชุด สำหรับ heegner หมายเลข D < 19 , หนึ่งไม่ได้รับจำนวนเต็มเกือบ ; แม้ D = 19 ไม่น่าสังเกต [ 10 ] จำนวนเต็ม j-invariants สูง factorisable ซึ่งต่อไปนี้จาก 12
3 ( n
2-1 )
3 = 2
2 3 cdot cdot ( N - 1 ) N ( N cdot 1 )
3 รูปแบบ และปัจจัย เช่น
,เริ่ม { จัด }
J ( { - } 1 SQRT 19 ) / 2 ) & = 96
3 = 2
5 cdot 3 )
3
J ( { - } 1 SQRT 43 ) / 2 ) & = 960
3 = 2
6 cdot 3 cdot 5 )
3
J ( { - } 1 SQRT ( 67 ) / 2 ) & = สาวโตเกียว
3 = 2
5 3 5 cdot cdot cdot 11 )
3
J ( { - } 1 SQRT 163 ) / 2 ) & = 640320
3 = 2
6 3 5 cdot cdot cdot 23 cdot 29 )
3
{ }
N จบจัดตัวเลขเหล่านี้ที่ยอดเยี่ยม นอกเหนือจากการอย่างใกล้ชิด โดยประมาณ โดยคุณสมบัติของจำนวนเต็ม( ซึ่งเป็นเพียงตัวเลขของพีชคณิตระดับ 1 ) ยังสามารถใกล้ชิดโดยประมาณ โดยตัวเลขของพีชคณิตระดับ 3 [ 11 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ x
{ 22 } - 24 ; x = 0
3-2x-2 e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 24 x
{ }
3-2x 24 ; x
2-2 = 0
e
{ pi { 0 } } & SQRT N ประมาณ 24 x
{ }
3-2x 24 ; x = 0
2-2x-2 e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 24 x
{ }
3-6x 24 ; x
2 = 0 =
4x-2 จบ { จัด }
รากของลูกบาศก์ที่สามารถตรงให้ฉลาดของ Dedekind และฟังก์ชันη ( τ ) , โมดูลฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับราก 24 และที่อธิบายถึง 24 ในประมาณ นอกจากนี้ พวกเขายังได้ใกล้ชิดโดยประมาณ โดยตัวเลขของพีชคณิตระดับ 4 [ 12 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & ประมาณ 3
5 N ทิ้ง ( 3 - SQRT ( { 2 - 3 1 { 3 } N cdot19 SQRT ) } )
{ 2 } - 12.00006
e
จุด{ pi SQRT { 43 } } & ประมาณ 3
5 N ทิ้ง ( 9 - SQRT ( { 2 - 39 7 { 3 N SQRT cdot43 } ) } )
{ 2 } , N - 12. 61 จุด
e
{ pi { 0 } SQRT } & ประมาณ 3
5 N ซ้าย ( 21 - SQRT ( - { 2 { 3 N เขา 31 SQRT cdot67 } ) } )
{ 2 } - 12. 36 , 000 , 000 , 000 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } & ประมาณ 3
5 ซ้าย ( 231 - SQRT ( { 2 N - 26679 2413 SQRT { 3 cdot163 } ) } )
{ 2 } - 12. 000000000000000 21 { จัด } จบจุด
หมายเหตุ การกลับมาของจำนวนเต็ม n = 3 , 9 , 21 ,นี่เป็นข้อเท็จจริงที่ว่า
{ }
N เริ่มจัด& 2
6 cdot 3 ( - 3
2 cdot 19 cdot 1
2 = 2
2
& 2
6 cdot 3 ( - 39
2 cdot 43 cdot 7
2 ) = 960
2
& 2
6 cdot 3 ( - 219
2 3 N cdot 67 cdot 31
2 )
2 = สาวโตเกียว
& 2
6 cdot 3 ( - 26679
2 N cdot 163 cdot 2413
2 ) = 640320
2
{ }
N จบจัดซึ่งมีอำนาจเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม มีแน่นอน j-invariants . เช่นเดียวกับตัวเลขของพีชคณิต /
6
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6.000010 จุด e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ ( 5x )
, 3-6. 10 จุด
e
{ pi SQRT { 67 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6. 61 , 000 , 000 , 000 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6. 0000000000000000 34 จุดสิ้นสุด { จัด }
ที่ XS จะได้รับตามลำดับโดยเหมาะสม sextic รากของสมการ
{ }
N เริ่มจัด& 5x
6-96x 5-10x
3
1 = 0
& 5x
6-960x 5-10x2 1 = 0
& 5x
6-5280x 5-10x
3
1 = 0
& 5x
6-640320x 5-10x
3
1 = 0 =
{ }
N จบชิดกับ j-invariants ปรากฏอีกครั้ง sextics เหล่านี้จะไม่เพียง แต่เกี่ยวกับพีชคณิต , พวกเขายังสามารถแก้ไขในกลุ่มที่พวกเขาปัจจัยออกเป็นสองลูกบาศก์ผ่านส่วนขยาย { Q } N mathbb SQRT { 5 } ( กับแฟคตอริ่งก่อนเข้าไปสองเกี่ยวกับสมการ 2 ชั้น )การประมาณเชิงพีชคณิตเหล่านี้สามารถตรงแสดงในแง่ของ Dedekind และฉลาด . เป็นตัวอย่าง N ให้เทา = 1 / SQRT { - 163 } ) / 2 แล้ว
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 163 } } = &ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 24 } ( tau ) } { และ ( 2 ตัว ) } )
{ 24 } - 24. 00000000000000 105 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } = &ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 12 } ( tau ) } { และ ( 3 tau ) } )
{ 12 } - 12. 000000000000000 21
e
จุด{ pi SQRT { 163 } } & = ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 6 } ( tau ) } { และ ( 5 ตัว ) } )
{ 6 } - 6. 0000000000000000 34 { จัด } จบจุด
ที่ และฉลาดเป็นพีชคณิตตัวเลขดังกล่าวข้างต้น .
ติดต่อกันจำนวนเฉพาะ [ แก้ไข ]
ให้แปลกนายก p , ถ้าคํานวณ k
2 pmod { p } สำหรับ K = 0.1 , จุด , ( P-1 ) / 2 ( นี่ก็เพียงพอ เพราะ p-k )
2 equiv k
2 pmod { P } ) , หนึ่งได้รับคอมติดต่อกันตามด้วยไพร์มติดต่อกัน ถ้าและเพียงถ้า P เป็น heegner หมายเลข . [ 13 ]
สำหรับรายละเอียดดูที่ " สมชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำและรูปแบบการผลิตที่แตกต่างกัน ( ระดับกลุ่มของฟิลด์ " กำลังสองคอมเพล็กซ์โดยริชาร์ด mollin .
{ pi SQRT { พวก } } ซึ่งเป็นจำนวนเต็มเกือบ เพราะมันอยู่ใกล้กับจำนวนเต็ม :
e
{ pi SQRT { 163 } } = 262 { , } และ { } { } , 412 , 640 { } { } , 768 , 743. 999999999999 25 . . . . . . . [ 5 ] N ประมาณ 640320
3
744 . หมายเลขนี้ถูกค้นพบในตอนนี้ โดยนักคณิตศาสตร์ Charles & ขาว [ 6 ] ใน 1975 เมษายนบทความในนิตยสารวิทยาศาสตร์อเมริกัน[ 7 ] " คณิตศาสตร์เกม " คอลัมนิสต์มาร์ตินการ์ดเนอร์ได้ ( หลอกลวง ) อ้างว่า จำนวนนั้นจริงๆ แล้วเป็นจำนวนเต็ม และชาวอินเดียศรีนิวาสะ รามานุจัน อัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ ได้คาดการณ์ไว้มันจึงชื่อ
เรื่องนี้เป็นเรื่องที่ซับซ้อนและ q-expansion การคูณของ j-invariant
รายละเอียด [ แก้ไข ]
สั้น ๆ , J ( { - D } 1 SQRT ) / 2 ) เป็นจำนวนเต็มสำหรับ D และ E
heegner หมายเลข{ pi SQRT { D } } N ประมาณ - J ( { - D } 1 SQRT ) / 2 ) จะผ่าน q-expansion
ถ้าตาวเป็นกำลังสอง ไร้เหตุผล แล้ว j-invariant เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตระดับ | mbox { C1 } ( { Q } ( mathbf เทา ) | , จำนวนชั้นของ mathbf { Q } ( tau ) และน้อยที่สุด ( โมนิก integral ) พหุนามมันน่าพอใจ เรียกว่า ฮิลเบิร์ตคลาสโพลิโนเมียลดังนั้นถ้าไม่มีจินตนาการ N { Q } ( ขยาย mathbf tau ) มีจำนวนชั้น 1 ( D คือ heegner หมายเลข ) , j-invariant เป็นจำนวนเต็ม .
q-expansion J กับอนุกรมฟูริเยร์ขยายเขียนเป็น Laurent series ในแง่ของ Q = exp ( 2 ปี่ฉัน เทา ) , เริ่มต้นเป็น :
J ( q ) = frac { 1 } { Q } 744 196884 Q cdots .
) c_n asymptotically เติบโต ln ( c_n ) 4 pi N ซิม SQRT { n } O ( ( n ) )และสัมประสิทธิ์การเติบโตต่ำ ช้า กว่า 200000
n ดังนั้น Q N จะ 1 / 200000 J เป็นอย่างดีโดยประมาณ โดยเงื่อนไขของข้อตกลงสองก่อน การตั้งค่า tau = ( 1 / SQRT { - 163 } ) / 2 ผลผลิต Q = exp ( - pi SQRT { 163 } ) หรือก้อง , frac { 1 } { Q } = exp ( pi SQRT { 163 } ) ตอนนี้ J ( { - } 1 SQRT 163 ) / 2 ) = ( - 640320 )
3 แล้ว
( - 640320 )
3 = e
{ pi SQRT { 163 } } 744 O ( E
{ - N เหลือด N SQRT { 163 } } ขวา )
e
หรือ{ pi SQRT { 163 } } = 640320
3 o ( e
N จะทิ้ง { pi SQRT { 163 } } )
ที่ระยะเชิงเส้นของข้อผิดพลาดคือ
- 196884 / e
{ pi SQRT { 163 } } N ประมาณ 196884 / ( 640320
3
N ประมาณ 744 ) - 0. มากเกินไป 75
อธิบายเหตุผล e
{ pi SQRT { 163 } } ภายในประมาณข้างต้นเป็นจำนวนเต็ม .
pi สูตร [ แก้ไข ]
พี่น้อง chudnovsky พบใน 1987
frac { 1 } { pi } = frac { 12 } { 640320
{ 1 / 2 } } sum_ { k = 0 }
infty N frac { ( 6 ) ( 163 3344418k } { cdot 13591409 ) ( 3K ) ( k ) ( - 640320 )
3 { 3 k } }
และใช้ความจริงที่ว่า J ใหญ่ ( { 1 N tfrac SQRT { - 163 } } { 2 } N ใหญ่ ) = - 640320
3 สำหรับสูตรที่คล้ายกันเห็นรามานุจัน–ซาโต้ ชุดอื่น ๆ .
heegner ตัวเลข [ แก้ไข ]
สำหรับสี่ที่ใหญ่ที่สุด heegner ตัวเลขโดยการประมาณหนึ่งได้รับ [ 8 ] มีดังนี้
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ 96
3 744-0.22
e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 960
3 744-0.00022
e
{ pi { 0 } } & SQRT N ประมาณสาวโตเกียว
3 744-0. แสน 13
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 640320
3
744-0. มากเกินไป 75 จบ { จัด }
หรือ [ 9 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } &ประมาณ 12
3 3
2-1 )
3 744-0.22
e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 12
3 ( 9
2 )
3 744-0.00022
e
{ pi { 0 } } & SQRT ( 21 N ประมาณ 12
3
2-1 )
3 744-0. แสน 13
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 12
3 ( 231
2-1 )
3
744-0. มากเกินไป 75 จบ { จัด }
ที่เหตุผลสี่เหลี่ยมเนื่องจากบางไอเซนสไตน์ชุด สำหรับ heegner หมายเลข D < 19 , หนึ่งไม่ได้รับจำนวนเต็มเกือบ ; แม้ D = 19 ไม่น่าสังเกต [ 10 ] จำนวนเต็ม j-invariants สูง factorisable ซึ่งต่อไปนี้จาก 12
3 ( n
2-1 )
3 = 2
2 3 cdot cdot ( N - 1 ) N ( N cdot 1 )
3 รูปแบบ และปัจจัย เช่น
,เริ่ม { จัด }
J ( { - } 1 SQRT 19 ) / 2 ) & = 96
3 = 2
5 cdot 3 )
3
J ( { - } 1 SQRT 43 ) / 2 ) & = 960
3 = 2
6 cdot 3 cdot 5 )
3
J ( { - } 1 SQRT ( 67 ) / 2 ) & = สาวโตเกียว
3 = 2
5 3 5 cdot cdot cdot 11 )
3
J ( { - } 1 SQRT 163 ) / 2 ) & = 640320
3 = 2
6 3 5 cdot cdot cdot 23 cdot 29 )
3
{ }
N จบจัดตัวเลขเหล่านี้ที่ยอดเยี่ยม นอกเหนือจากการอย่างใกล้ชิด โดยประมาณ โดยคุณสมบัติของจำนวนเต็ม( ซึ่งเป็นเพียงตัวเลขของพีชคณิตระดับ 1 ) ยังสามารถใกล้ชิดโดยประมาณ โดยตัวเลขของพีชคณิตระดับ 3 [ 11 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ x
{ 22 } - 24 ; x = 0
3-2x-2 e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ 24 x
{ }
3-2x 24 ; x
2-2 = 0
e
{ pi { 0 } } & SQRT N ประมาณ 24 x
{ }
3-2x 24 ; x = 0
2-2x-2 e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ 24 x
{ }
3-6x 24 ; x
2 = 0 =
4x-2 จบ { จัด }
รากของลูกบาศก์ที่สามารถตรงให้ฉลาดของ Dedekind และฟังก์ชันη ( τ ) , โมดูลฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับราก 24 และที่อธิบายถึง 24 ในประมาณ นอกจากนี้ พวกเขายังได้ใกล้ชิดโดยประมาณ โดยตัวเลขของพีชคณิตระดับ 4 [ 12 ]
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & ประมาณ 3
5 N ทิ้ง ( 3 - SQRT ( { 2 - 3 1 { 3 } N cdot19 SQRT ) } )
{ 2 } - 12.00006
e
จุด{ pi SQRT { 43 } } & ประมาณ 3
5 N ทิ้ง ( 9 - SQRT ( { 2 - 39 7 { 3 N SQRT cdot43 } ) } )
{ 2 } , N - 12. 61 จุด
e
{ pi { 0 } SQRT } & ประมาณ 3
5 N ซ้าย ( 21 - SQRT ( - { 2 { 3 N เขา 31 SQRT cdot67 } ) } )
{ 2 } - 12. 36 , 000 , 000 , 000 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } & ประมาณ 3
5 ซ้าย ( 231 - SQRT ( { 2 N - 26679 2413 SQRT { 3 cdot163 } ) } )
{ 2 } - 12. 000000000000000 21 { จัด } จบจุด
หมายเหตุ การกลับมาของจำนวนเต็ม n = 3 , 9 , 21 ,นี่เป็นข้อเท็จจริงที่ว่า
{ }
N เริ่มจัด& 2
6 cdot 3 ( - 3
2 cdot 19 cdot 1
2 = 2
2
& 2
6 cdot 3 ( - 39
2 cdot 43 cdot 7
2 ) = 960
2
& 2
6 cdot 3 ( - 219
2 3 N cdot 67 cdot 31
2 )
2 = สาวโตเกียว
& 2
6 cdot 3 ( - 26679
2 N cdot 163 cdot 2413
2 ) = 640320
2
{ }
N จบจัดซึ่งมีอำนาจเป็นเศษส่วนที่เหมาะสม มีแน่นอน j-invariants . เช่นเดียวกับตัวเลขของพีชคณิต /
6
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 19 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6.000010 จุด e
{ pi SQRT { 43 } } & N ประมาณ ( 5x )
, 3-6. 10 จุด
e
{ pi SQRT { 67 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6. 61 , 000 , 000 , 000 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } & N ประมาณ ( 5x )
3-6. 0000000000000000 34 จุดสิ้นสุด { จัด }
ที่ XS จะได้รับตามลำดับโดยเหมาะสม sextic รากของสมการ
{ }
N เริ่มจัด& 5x
6-96x 5-10x
3
1 = 0
& 5x
6-960x 5-10x2 1 = 0
& 5x
6-5280x 5-10x
3
1 = 0
& 5x
6-640320x 5-10x
3
1 = 0 =
{ }
N จบชิดกับ j-invariants ปรากฏอีกครั้ง sextics เหล่านี้จะไม่เพียง แต่เกี่ยวกับพีชคณิต , พวกเขายังสามารถแก้ไขในกลุ่มที่พวกเขาปัจจัยออกเป็นสองลูกบาศก์ผ่านส่วนขยาย { Q } N mathbb SQRT { 5 } ( กับแฟคตอริ่งก่อนเข้าไปสองเกี่ยวกับสมการ 2 ชั้น )การประมาณเชิงพีชคณิตเหล่านี้สามารถตรงแสดงในแง่ของ Dedekind และฉลาด . เป็นตัวอย่าง N ให้เทา = 1 / SQRT { - 163 } ) / 2 แล้ว
e
เริ่ม { จัด } { pi SQRT { 163 } } = &ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 24 } ( tau ) } { และ ( 2 ตัว ) } )
{ 24 } - 24. 00000000000000 105 N จุด
e
{ pi SQRT { 163 } } = &ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 12 } ( tau ) } { และ ( 3 tau ) } )
{ 12 } - 12. 000000000000000 21
e
จุด{ pi SQRT { 163 } } & = ซ้าย ( frac { e
{ pi N และฉัน / 6 } ( tau ) } { และ ( 5 ตัว ) } )
{ 6 } - 6. 0000000000000000 34 { จัด } จบจุด
ที่ และฉลาดเป็นพีชคณิตตัวเลขดังกล่าวข้างต้น .
ติดต่อกันจำนวนเฉพาะ [ แก้ไข ]
ให้แปลกนายก p , ถ้าคํานวณ k
2 pmod { p } สำหรับ K = 0.1 , จุด , ( P-1 ) / 2 ( นี่ก็เพียงพอ เพราะ p-k )
2 equiv k
2 pmod { P } ) , หนึ่งได้รับคอมติดต่อกันตามด้วยไพร์มติดต่อกัน ถ้าและเพียงถ้า P เป็น heegner หมายเลข . [ 13 ]
สำหรับรายละเอียดดูที่ " สมชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำและรูปแบบการผลิตที่แตกต่างกัน ( ระดับกลุ่มของฟิลด์ " กำลังสองคอมเพล็กซ์โดยริชาร์ด mollin .
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- เป็นรสชาดที่แย่มาก
- Certainly
- ตายแล้วเผ่าไม่ไหม้
- การรักษาต้องวินิจฉัยโดยการx-ray เพื่อดูบ
- gander gap
- เขามีรอยสัก
- พ่อฉันเป็นค้าขาย
- เพราะฉันเล่นเครื่องนี้มันไม่มีโปรแกรมสไก
- โทรศัพท์มือถือมีประโยชน์มากมาย
- I dont know decorate my home all people
- you've got quite an impressive one don't
- ตลาดน้ำอัมพวา
- เกมส์ ลักษณะคือ ใช้ปาก คาบ ช้อนส่งลูกปิง
- ฉันภูมิใจที่ได้เกิดมาบนพื้นแผนดินไทย
- อากาสที่นี่หนาวกว่าที่ประเทศไทยเล็กน้อย
- all depends
- I'm just a friend for you
- คุณเลิกงานหรือยังค่ะ
- It is interesting that the tourists can
- Exact number of players from MLS:18 in t
- แปลภาษาอังกฤษเป็นไทย ออนไลน์ แปลภาษา แปล
- 0870594516No problem, That's ok
- ถ้าหากปราศจากคุณพวกเราคงไม่มีประสบการณ์ท
- Tell men who is trying to spoil your min
