circle: Conical pendulum whose bob

circle:


Conical pendulum whose bob travels in a horizontal circle of radius r. The bob has mass m and is suspended by a string of length L. The tension force of the string acting on the bob is the vector T, and the bob's weight is the vector mg.
Since there is no acceleration in the vertical direction, the vertical component of the tension in the string is equal and opposite to the weight of the bob:

These two equations can be solved for T/m and equated, thereby eliminating T and m:

Since the speed of the pendulum bob is constant, it can be expressed as the circumference 2πr divided by the time t required for one revolution of the bob:

Substituting the right side of this equation for v in the previous equation, we find:

Using the trigonometric identity tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) and solving for t, the time required for the bob to travel one revolution is

In a practical experiment, r varies and is not as easy to measure as the constant string length L. r can be eliminated from the equation by noting that r, h, and L form a right triangle, with θ being the angle between the leg h and the hypotenuse L (see diagram). Therefore,

Substituting this value for r yields a formula whose only varying parameter is the suspension angle θ:[5]

For small angles θ, cos(θ) ≈ 1, and the period t of a conical pendulum is equal to the period of an ordinary pendulum of the same length. Also, the period for small angles is approximately independent of changes in the angle θ. This means the period of rotation is approximately independent of the force applied to keep it rotating. This property, called isochronism, is shared with ordinary pendulums and makes both types of pendulums useful for timekeeping.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วงกลม: ลูกตุ้มทรงกรวยที่บ๊อบเดินทางเป็นวงกลมแนวนอนของรัศมี r บ๊อบ มีมวล m และหยุดการทำงาน ด้วยสายอักขระความยาว L. แรงตึงของสายอักขระที่ทำหน้าที่ในบ๊อบเป็นเวกเตอร์ T และน้ำหนักของบ๊อบ มิลลิกรัมเวกเตอร์เนื่องจากมีเป็นไม่มีความเร่งในทิศทางแนวตั้ง แนวตั้งส่วนประกอบของแรงในสายอักขระจะเท่ากัน และตรงข้าม กับน้ำหนักของบ๊อบ: สมการที่สองเหล่านี้สามารถหา T/m และ equated จึงตัด T และ m: เนื่องจากความเร็วของลูกตุ้มบ๊อบคง สามารถถูกแสดงเป็น 2πr เส้นรอบวงหาร ด้วย t เวลาที่จำเป็นสำหรับการปฏิวัติหนึ่งของบ๊อบ: แทนที่ด้านขวาของสมการของ v ในสมการก่อนหน้านี้ เราค้นหา: ใช้ tan(θ) เอกลักษณ์ตรีโกณมิติเป็น = sin(θ) / cos(θ) และการแก้ไขสำหรับ t เวลาที่จำเป็นสำหรับบ๊อบเที่ยวหนึ่งปฏิวัติ ในการปฏิบัติการทดลอง r แตกต่างกัน และไม่เป็นเพียงการวัดค่าคงสตริงที่ยาว L. r สามารถตัดออกจากสมการโดยสังเกตว่า r, h และเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก กับθเป็นมุมระหว่าง h เลก hypotenuse L แบบฟอร์ม L (โปรดดูแผนภาพ) ดังนั้น แทนค่านี้สำหรับ r ทำให้สูตรที่มีพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันเพียงมีแขวนมุมθ: [5] สำหรับขนาดเล็กมุม θ cos(θ) ≈ 1 และ t รอบระยะเวลาของลูกตุ้มทรงกรวยได้เท่ากับระยะของลูกตุ้มเป็นธรรมดาของความยาว ยัง รอบระยะเวลาสำหรับมุมขนาดเล็กมีประมาณขึ้นอยู่กับการเปลี่ยนแปลงในมุมθ นี้หมายความว่า ระยะเวลาของการหมุนอยู่ประมาณขึ้นอยู่กับแรงที่ใช้เพื่อให้มันหมุน คุณสมบัตินี้ เรียกว่า isochronism ร่วมกับ pendulums ธรรมดา และทำให้ทั้งสองชนิด pendulums ประโยชน์สำหรับจับเวลา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วงกลม: ลูกตุ้มกรวยซึ่งบ๊อบเดินทางในวงกลมในแนวนอนของ r รัศมี บ๊อบมีมวล m และถูกระงับโดยสตริงของความยาวลิตรแรงตึงเครียดของสตริงทำหน้าที่เกี่ยวกับบ๊อบที่เป็น T เวกเตอร์และน้ำหนักบ๊อบคือมกเวกเตอร์. เนื่องจากมีการเร่งความเร็วในทิศทางแนวตั้ง องค์ประกอบในแนวตั้งของความตึงเครียดในสตริงเท่ากับและตรงข้ามกับน้ำหนักของบ๊อบที่: ทั้งสองสมการจะสามารถแก้ไขได้สำหรับ T / m และบรรจุจึงช่วยลด T และ m: เนื่องจากความเร็วของบ๊อบลูกตุ้มเป็นค่าคงที่ก็สามารถ จะแสดงเป็น2πrเส้นรอบวงหารด้วยเวลา t ที่จำเป็นสำหรับการปฏิวัติของบ๊อบ: แทนทางด้านขวาของสมการนี้สำหรับโวลต์ในสมการก่อนหน้านี้เราพบ: การใช้สีน้ำตาลตัวตนตรีโกณมิติ (θ) = sin (θ) / cos (θ) และการแก้สำหรับ t, เวลาที่จำเป็นสำหรับบ๊อบที่จะเดินทางไปคือการปฏิวัติในการทดลองการปฏิบัติที่แตกต่างกันและอาร์ไม่ได้เป็นเรื่องง่ายที่จะวัดเป็นระยะเวลาคงที่สตริงอาร์แอลสามารถตัดออกจากสมการจากการสังเกตที่อาร์เอชและ L รูปแบบสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับθเป็นมุมระหว่างชั่วโมงขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก L (ดูแผนภาพ) ดังนั้นแทนค่านี้สำหรับอาถัวเฉลี่ยสูตรที่มีเฉพาะที่แตกต่างกันพารามิเตอร์มุมระงับθ: [5] สำหรับมุมเล็ก ๆ θ, cos (θ) ≈ที่ 1 และระยะเวลาที่เสื้อของลูกตุ้มกรวยเท่ากับระยะเวลาของการที่ ลูกตุ้มสามัญของระยะเวลาเดียวกัน นอกจากนี้ระยะเวลาในมุมเล็ก ๆ อยู่ที่ประมาณอิสระจากการเปลี่ยนแปลงในมุมθ ซึ่งหมายความว่าระยะเวลาของการหมุนจะอยู่ที่ประมาณอิสระของแรงที่ใช้เพื่อให้มันหมุน สถานที่ให้บริการนี้เรียกว่า isochronism จะใช้ร่วมกันกับลูกตุ้มสามัญและทำให้ทั้งสองประเภทของลูกตุ้มที่มีประโยชน์สำหรับการจับเวลา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วงกลม :


ที่เป็นรูปทรงกรวยลูกตุ้มที่บ๊อบเดินทางเป็นวงกลมรัศมี R . บ๊อบแนวนอนมีมวล m และถูกระงับโดยสตริงของความยาว L . แรงบังคับของสตริงที่แสดงบนบ๊อบเป็นเวกเตอร์ T และน้ำหนักของบ๊อบเป็นเวกเตอร์ mg .
เนื่องจากไม่มีความเร่งใน ทิศทางตามแนวตั้งองค์ประกอบของแนวแรงในสตริงจะเท่ากันและตรงข้ามกับน้ำหนักของบ๊อบ :

ทั้งสองสมการที่สามารถแก้ไขได้สำหรับ T / M และ equated จึงขจัด T และ M :

เนื่องจากความเร็วของลูกตุ้มบ๊อบคงที่ มันสามารถแสดงเป็นรอบ 2 π R แบ่ง โดยเวลา t เป็นหนึ่งการปฏิวัติของบ๊อบ :

แทนด้านขวาของสมการนี้ V ในสมการก่อนหน้านี้ เราพบ :

ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติแทน ( θ ) = sin ( θ ) cos ( θ ) และแก้เองเวลาที่จำเป็นสำหรับบ๊อบเดินทางรอบล่ะ

ในการทดลองปฏิบัติและ R แตกต่างกันไป ไม่ง่ายที่จะวัดความยาวเชือกคงที่ L R สามารถตัดออกจากสมการ โดยสังเกตว่า R , H ,และรูปแบบสามเหลี่ยมขวา θเป็นมุมระหว่างขา H และด้าน L ( ดูแผนภาพ ) ดังนั้น

แทนค่า R ผลผลิตสูตรมีการแปรพารามิเตอร์การระงับมุมθ : [ 5 ]

สำหรับเล็ก ๆมุมθ cos ( θ ) ≈ 1 และคาบของลูกตุ้มกรวยเท่ากับระยะเวลาของลูกตุ้มสามัญของความยาวเดียวกัน นอกจากนี้ระยะเวลาสำหรับมุมเล็ก ๆประมาณ อิสระของการเปลี่ยนแปลงในมุมθ . นี้หมายถึงระยะเวลาของการหมุนเป็นอิสระประมาณของการบังคับใช้เพื่อให้มันหมุน คุณสมบัตินี้เรียกว่า isochronism , ร่วมกันกับธรรมดา ลูกตุ้ม และทำให้ทั้งสองประเภทของลูกตุ้มที่มีประโยชน์สำหรับจับเวลา .