Summation by PartsAn important tech

Summation by Parts
An important technique of calculus is integration by parts:
∫b
a u(x)v'(x)dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − ∫b
a u'(x)v(x)dx
This is useful, obviously, when u'(x)v(x) is easier to integrate than
u(x)v'(x), e.g., if u(x) = x and v(x) = ex.
An analogous technique, called summation by parts, works for
sums. One version of the summation by parts formula is:
Σb
i=a+1 ui (vi − vi−1)
= ubvb − uava − Σb
i=a+1 (ui − ui−1)vi −1
Example: Find Σn
i=1 i2i.
Set a = 0, b = n, ui = i, and vi = 2i+1.
Then ui − ui−1 = 1, vi − vi−1 = 2i+1 − 2i = 2i , and
Σn
i=1 i2i = Σb
i=a+1 ui (vi − vi−1)
= ubvb − uava − Σb
i=a+1 (ui − ui−1)vi −1
= n2n+1 − 0⋅21 − Σn
i=1 1⋅2i
= n2n+1 − (2n+1 − 2)
= (n − 1)2n+1 + 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รวม โดยส่วนเทคนิคสำคัญของแคลคูลัสเป็นบูรณาการ โดยชิ้นส่วน:∫bv u (x)'(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − ∫bu การ ' (x) v (x) dxมีประโยชน์ แน่นอน เมื่อ you'(x)v(x) ง่ายกว่ารวมกว่าu(x)v'(x) เช่น ถ้า you(x) = v(x) และ x =เช่นกันเทคนิคคล้าย เรียกรวม โดยชิ้นส่วน ทำงานผลรวม รุ่นรวมโดยสูตรส่วนประกอบคือ:Σbฉัน = + 1 ui (vi − vi−1)= ubvb − uava − Σbฉัน = + 1 (ui − ui−1) vi − 1ตัวอย่าง: ค้นหา Σnฉัน = 1 i2iตั้งค่าเป็น = 0, b = n, ui =ฉัน และ vi = 2i + 1แล้ว ui ui−1 − = 1, vi − vi−1 = 2i + 1 − 2i = 2i และΣnฉัน = 1 i2i = Σbฉัน = + 1 ui (vi − vi−1)= ubvb − uava − Σbฉัน = + 1 (ui − ui−1) vi − 1= n2n + 1 − 0⋅21 − Σnฉัน = 1 1⋅2i= n2n + − 1 (2n + 1 − 2)(n − 1) = 2n + 1 + 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สรุปโดยอะไหล่
เทคนิคที่สำคัญของแคลคูลัสเป็นการบูรณาการโดยส่วน
∫b
ยู (x) V '(x) DX = U (ข) V (ข) - U (ก) V (ก) - ∫b
U a' ( x) V (x) DX
นี้จะเป็นประโยชน์อย่างเห็นได้ชัดเมื่อ u '(x) V (x) เป็นเรื่องง่ายที่จะบูรณาการกว่า
U (x) V' (x) เช่นถ้า u (x) = x และ V ( x) = EX.
เทคนิคคล้ายเรียกว่าบวกโดยชิ้นส่วนการทำงานสำหรับ
เงินก้อน รุ่นหนึ่งในผลรวมจากสูตรส่วนคือ
Σb
i = A + 1 UI (VI - VI-1)
= ubvb - uava - Σb
i = A + 1 (UI - UI-1) vi -1
ตัวอย่าง: ค้นหาΣn
ฉัน . = 1 i2i
. ตั้งค่า = 0, B = n, UI = ฉันและ VI = 2i + 1
แล้ว UI - UI-1 = 1 VI - VI-1 = 2i + 1 - 2i = 2i และ
Σn
ฉัน = 1 i2i = Σb
i = A + 1 UI (VI - VI-1)
= ubvb - uava - Σb
i = A + 1 (UI - UI-1) vi -1
= n2n + 1 - 0⋅21 - Σn
ฉัน = 1 1⋅2i
= n2n + 1 - (2n + 1 - 2)
= (n - 1) 2n + 1 + 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การสรุปความโดยส่วนเป็นเทคนิคที่สำคัญของแคลคูลัส คือการผสมผสานด้วยส่วน :∫ BU ( x ) v ' ( x ) DX = u ( B ) v ( b ) u ( A ) V − ( −∫ ) ขU ' ( x ) V ( x ) DXนี้จะเป็นประโยชน์อย่างเห็นได้ชัด เมื่อ u ( x ) V ( x ) จะง่ายต่อการรวมกว่าu ( x ) v ' ( x ) เช่น ถ้า u ( x ) = x และ V ( x ) = .เป็นเทคนิคที่คล้ายกัน เรียกว่าการบวกโดยชิ้นส่วน , งานสำหรับผลบวก รุ่นหนึ่งของการรวมชิ้นส่วนของสูตรคือ :Σ Bฉัน = + 1 UI ( −− 6 6 1= ubvb −−Σ uava ขฉัน = + 1 ( UI UI − 1 −− 1 ) 6 .ตัวอย่าง : ค้นหาΣ Nระดับ = 1 .ตั้ง = 0 , B = n , UI = ฉัน , และ 6 = 2i + 1แล้ว UI UI − 1 = − 1 , −− 1 6 6 = 2i + 1 − 2i = 2i และΣ Nระดับ = 1 B = Σฉัน = + 1 UI ( −− 6 6 1= ubvb −−Σ uava ขฉัน = + 1 ( UI UI − 1 −− 1 ) 6 .= n2n + 1 − 0 n −Σ⋅ 21ผม⋅ 2i = 1 1= n2n ( + 1 − 2 + 1 − 2 )= ( − 1 ) 2 + 1 + 2