(f(x) − f(y)) − (f(x) − y)= (ff(x)

(f(x) − f(y)) − (f(x) − y)
= (ff(x) − f(y)) − (f(x) − y) (by Theorem 3.9)
= (ff(x) − (f(x) − y)) − f(y) (by (S3))
= f(f(x) − (f(x) − y)) − f(y) (by Definition 3.1)
= f(y − (y − f(x))) − f(y) (by (S2))
≤ f(y) − f(y) (by p(3), Theorem 3.9 and p(9))
= 0
It follows that (f(x)−f(y))−(f(x)−y) = 0 and f(x)−f(y) ≤ f(x)−y = f(x−y). Hence
f(x) − f(y) = f(x − y).
Let X be a subtraction algebra and f1, f2 two self-maps. We define f1 ◦ f2 : X → X by
(f1 ◦ f2)(x) = f1(f2(x))
for all x ∈ X.
Proposition 3.13. Let X be a subtraction algebra and f1, f2 two multipliers. Then f1 ◦ f2
is also a multiplier of X.
Proof. Let X be a subtraction algebra and f1, f2 two multipliers. Then we have
(f1 ◦ f2)(a − b) = f1(f2(a − b))
= (f1(f2(a) − b))
= f1(f2(a)) − b
= (f1 ◦ f2)(a) − b.
This completes the proof.
Let X be a subtraction algebra and f1, f2 two self-maps. We define (f1 ∧ f2)(x) by
(f1 ∧ f2)(x) = f1(x) ∧ f2(x)
for all x ∈ X.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(f (x) - f (y)) - (f (x) - y)
= (ฉฉ (x) - f (y)) - (f (x) - y) (โดยทฤษฎีบท 3.9)
= (FF ( x) - (f (x) - y)) - f (y) (โดย (S3))
= f (f (x) - (f (x) - y)) - f (y) (โดยความละเอียด 3.1)
f = (y - (y - f (x))) - f (y) (โดย (S2))
ฉ≤ (y) - f (y) (โดยพี (3), ทฤษฎีบท 3.9 p และ (9))
= 0
มันตามที่ (f (x) -f (y)) - (f (x) -y) = 0 และ f (x) -f (y) ≤ฉ (x) -y = f (x-Y ) ดังนั้น
f (x) - f (y) = f. (x - y)
ให้ X เป็นพีชคณิตลบและ F1, F2 สองแผนที่ตัวเอง เรากำหนด f1 ◦ f2: X → X โดย
(f1 ◦ f2) (x) = f1 (F2 (x))
สำหรับทุก x
∈เอ็กซ์โจทย์3.13 ให้ X เป็นพีชคณิตลบและ F1, F2 คูณสอง จากนั้น◦ f1 f2
ยังเป็นตัวคูณของเอ็กซ์หลักฐาน
ให้ X เป็นพีชคณิตลบและ F1, F2 คูณสอง แล้วเรามี
(f1 ◦ f2) (a - b) = f1 (F2 (a - b))
= (f1 (F2 (ก) - ข))
= f1 (F2 (ก)) - ข
= (f1 ◦ f2 ) (ก) - ข.
เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน.
ให้ X เป็นพีชคณิตลบและ F1, F2 สองแผนที่ตัวเอง เรากำหนด (f1 ∧ f2) (x) โดย
(f1 ∧ f2) (x) = f1 (x) ∧ f2 (x)
สำหรับทุก x ∈เอ็กซ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

(f(x) − f(y)) − (f(x) − y)
= (ff(x) − f(y)) − (f(x) − y) (by Theorem 3.9)
= (ff(x) − (f(x) − y)) − f(y) (by (S3))
= f(f(x) − (f(x) − y)) − f(y) (by Definition 3.1)
= f(y − (y − f(x))) − f(y) (by (S2))
≤ f(y) − f(y) (by p(3), Theorem 3.9 and p(9))
= 0
It follows that (f(x)−f(y))−(f(x)−y) = 0 and f(x)−f(y) ≤ f(x)−y = f(x−y). ดังนั้น
f ( x ) − f ( y ) = f ( x
y − )ให้ x เป็นพีชคณิตการลบและ F1 , F2 สองตัวแผนที่ เรากำหนด◦ F1 F2 X → keyboard - key - name x
( ◦ F1 F2 ) ( x ) = F1 ( F2 ( x )
x
x ∈ทั้งหมดข้อเสนอ 3.13 . ให้ x เป็นพีชคณิตการลบและ F1 , F2 สองตัวคูณ แล้ว◦ F1 F2
เป็นคูณ X
พิสูจน์ ให้ x เป็นพีชคณิตการลบและ F1 , F2 สองตัวคูณ แล้วเราได้
( ◦ F1 F2 ) ( − ( B ) = F1 F2 ( − B )
= ( F1 ( F2 ( ) − B )
= F1 ( F2 ( − B
)= ( ◦ F1 F2 ) − B .

นี้ได้รับการพิสูจน์เรียบร้อยแล้ว ให้ X เป็นพีชคณิตการลบและ F1 , F2 สองตัวแผนที่ เรากำหนด ( ∧ F1 F2 ) ( x )
( ∧ F1 F2 ) ( x ) = ( x ) ∧ F1 F2 ( x )
x ∈สำหรับ X