Applied Mathematical Sciences, Vol.

Applied Mathematical Sciences, Vol. 7, 2013, no. 44, 2187 - 2191
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
On (m,n)-Ideals in LA-Semigroups
Muhammad Akram
Department of Mathematics
University of Gujrat
Gujrat, Pakistan
makram [e-mail]
Naveed Yaqoob
Department of Mathematics
Quaid-i-Azam University
Islamabad, Pakistan
[e-mail]
Madad Khan
Department of Mathematics
COMSATS Institute of Information Technology
Abbottabad, Pakistan
[e-mail]
Copyright c 2013 Muhammad Akram et al. This is an open access article distributed
under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution,
and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
The purpose of this paper is to study (m,n)-ideals in LA-semigroups.
Some properties of (m,n)-ideals in LA-semigroups and in locally associative
LA-semigroups has been provided.
Mathematics Subject Classification: 20M10, 20N99
Keywords: LA-semigroups, (m,n)-ideals
2188 M. Akram, N. Yaqoob and M. Khan
1 Introduction
The concept of (m, n)-ideal of a semigroup was introduced by Lajos [2]. The
left almost semigroup (LA-semigroup), was first introduced by Kazim and
Naseerudin [1]. Later, Mushtaq [3, 4] and others investigated this idea further
and added many useful results to the theory of LA-semigroups. Mushtaq and
Yusuf produced useful results [4], on locally associative LA-semigroups in 1979.
In locally associative LA-semigroups they defined powers of an element and
congruences using these powers. In this paper, we discussed some properties
of (m,n)-ideals in a locally associative LA-semigroup.
2 Preliminaries and basic definitions
Definition 2.1. [1] A groupoid (S, ·) is called an LA-semigroup or an AGgroupoid,
if it satisfies left invertive law
(a · b) · c = (c · b) · a, for all a, b, c ∈ S.
Definition 2.2. [4] An LA-semigroup S is called a locally associative LAsemigroup
if and only if (aa)a = a(aa) for all a ∈ S.
Example 2.3. [4] The set S = {a, b, c}, under “·” defined below in the
form of Cayley table is a locally associative LA-semigroup.
· a b c
a c c b
b b b b
c b b b
In [4], the authors define powers of an element in a locally associative LAsemigroup
S as follows: a1 = a, an+1 = ana, for n ≥ 1. In a locally associative
LA-semigroup S with left identity, the results aman = am+n, (am)n = amn and
(ab)n = anbn hold for all a, b ∈ S and here m and n are positive integers.
In an LA-semigroup S the following medial law holds (ab)(cd) = (ac)(bd) for
all a, b, c, d ∈ S [1]. In an LA-semigroup S with left identity, the following
paramedial law holds (ab)(cd) = (dc)(ba) for all a, b, c, d ∈ S.
If A and B are any subsets of a locally associative LA-semigroup S then it
is easy to prove that (AB)n = AnBn for n ≥ 1.
Lemma 2.4. [4] If S is an LA-semigroup with left identity, then
a(bc) = b(ac), for all a, b, c ∈ S.
Lemma 2.5. [4] If S is an LA-semigroup with left identity e, then SS = S
and S = eS = Se.
On (m,n)-ideals in LA-semigroups 2189
3 (m, n)-ideals in LA-semigroups
A subset A of an LA-semigroup S is called a right (left) ideal of S if AS ⊆ A
(SA ⊆ A), and is called a two sided ideal if it is both left and right ideal
of S. If A is any non-empty subset of an LA-semigroup S, then we define
An = (...((AA)A)...)A, where AA is usual product and n ∈ N.
Definition 3.1. A subset A of an LA-semigroup S is called an (m, 0)-ideal
((0, n)-ideal) if AmS ⊆ A (SAn ⊆ A), for m, n ∈ N.
Proposition 3.2. Let S be an LA-semigroup with left identity e. Then
(1) if A is a proper (m, 0)-ideal of S, then e /∈ A.
(2) if A is a proper (0, n)-ideal of S, then e /∈ A.
Proof. (1) Let A be a proper (m, 0)-ideal of S. Suppose on contrary that e ∈ A.
Then S = eS = emS ⊆ AmS ⊆ A, implies that S ⊆ A. This is a contradiction
to the fact that A is proper. Hence e /∈ A.
(2) Let A be a proper (0, n)-ideal of S. Suppose on contrary that e ∈ A.
Then by left invertive law
S = (ee)S = (Se)e = (Sen)en ⊆ (SAn)An ⊆ AAn ⊆ SAn ⊆ A
imply that S ⊆ A. This is a contradiction to the fact that A is proper. Hence
e /∈ A.
Definition 3.3. Let S be an LA-semigroup. An LA-subsemigroup A of S
is called an (m, n)-ideal of S, if A satisfies the condition
(AmS)An ⊆ A
where m, n are non-negative integers (Am is suppressed if m = 0).
Let A be an LA-subsemigroup of S then we shall say that A is a bi-ideal
or (1, 1)-ideal of S if (AS)A ⊆ A.
Proposition 3.4. Let S be an LA-semigroup, B be an LA-subsemigroup
of S and let A be an (m, n)-ideal of S. Then the intersection A ∩ B is an
(m, n)-ideal of the LA-semigroup B.
Proof. The intersection A∩B evidently is an LA-subsemigroup of S. We have
to show that A ∩ B is an (m, n)-ideal of B, for this
((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ (AmS)An ⊆ A, (1)
because A is an (m, n)-ideal of S. Secondly
((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ (BmB)Bn ⊆ B. (2)
Therefore (1) and (2) implies that ((A ∩ B)mB)(A ∩ B)n ⊆ A ∩ B. Thus the
intersection A ∩ B is an (m, n)-ideal of B.
2190 M. Akram, N. Yaqoob and M. Khan
Theorem 3.5. Let {Ai : i ∈ I} be a family of (m, n)-ideals of an LAsemigroup
S. Then B =
n

i=1
Ai = ∅ is an (m, n)-ideal of S.
Proof. Let {Ai : i ∈ I} be a family of (m, n)-ideals of an LA-semigroup S. We
know that the intersection of LA-subsemigroups is an LA-subsemigroup, now
to show that B =
n

i=1
Ai is an (m, n)-ideal of S. Here we need only to show that
(BmS)Bn ⊆ B. Let x ∈ (BmS)Bn. Then x = (am1
s)an2
for some am1
, an2
∈ B
and s ∈ S. Thus for any arbitrary i ∈ I as am1
, an2
∈ Bi. So x ∈ (Bm
i S)Bn
i .
Since Bi is an (m, n)-ideal so (Bm
i S)Bn
i
⊆ Bi and therefore x ∈ Bi. Since i was
chosen arbitrarily so x ∈ Bi for all i ∈ I and hence x ∈ B. So, (BmS)Bn ⊆ B
and hence B =
n

i=1
Ai is an (m, n)-ideal of S. 
Definition 3.6. An element a of an LA-semigroup S is called idempotent
if aa = a. A subset I of an LA-semigroup S is called idempotent if all of its
elements are idempotent.
Theorem 3.7. If B is an idempotent (m,m)-ideal of a locally associative
LA-semigroup S with left identity, then B is an (m, 0)-ideal and a (0,m)-ideal
of S.
Proof. By using left invertive law and paramedial law, we obtain
BmS = (B2)mS = (Bm)2S = (BmBm)S = (SBm)Bm = (SBm)(BmBm)
= (BmBm)(BmS) = ((BmS)Bm)Bm ⊆ BBm ⊆ B.
This shows that B is an (m, 0)-ideal of S. Similarly, by using Lemma 2.4 and
medial law, we get
SBm = S(BmBm) = (BmBm)(SBm) = (BmS)(BmBm) = (BmS)Bm ⊆ B.
This shows that B is a (0,m)-ideal of S. Hence B is an (m, 0)-ideal and a
(0,m)-ideal of S.
Proposition 3.8. Let A be an LA-subsemigroup of a locally associative LAsemigroup
S with left identity. If A is a (0,m)-ideal and B is an (m, n)-ideal
of S, then BA is an (m, n)-ideal of S.
Proof. Using medial law, we get (BA)(BA) = (BB)(AA) ⊆ BA. Now by left
invertive law
((BA)mS)(BA)n = ((BmAm)S)(BnAn) = ((SAm)Bm)(BnAn)
= ((BnAn)Bm)(SAm) = ((BmAn)Bn)(SAm)
⊆ ((BmS)Bn)(SAm) ⊆ BA.
Hence BA is an (m, n)-ideal of S.
On (m,n)-ideals in LA-semigroups 2191
Proposition 3.9. The product of two (m, n)-ideals of a locally associative
LA-semigroup S with left identity is an (m, n)-ideal of S.
Proof. By medial law, we get (AB)(AB) = (AA)(BB) ⊆ AB. Now using
medial law and Lemma 2.5, we get
((AB)mS)(AB)n = ((AmBm)S)(AnBn) = ((AmBm)(SS))(AnBn)
= ((AmS)(BmS))(AnBn) = ((AmS)An)((BmS)Bn) ⊆ AB.
Hence AB is an (m, n)-ideal of S.
Theorem 3.10. Let A and B be LA-subsemigroups of a locally associative
LA-semigroup S. If A is an (m, 0)-ideal and B is a (0, n)-ideal of S, then the
product AB is an (m, n)-ideal of S if AB ⊆ A.
Proof. By medial law we get (AB)(AB) = (AA)(BB) ⊆ AB. This shows that
AB is an LA-subsemigroup. Now
((AB)mS) (AB)n ⊆ (AmS)(AnBn) ⊆ A(SBn) ⊆ AB.
Hence the product AB is an (m, n)-ideal of S.
References
[1] M.A. Kazim and M. Naseerudin, On almost-semigroup, Aligarh Bull.
Math., 2 (1972), 1-7.
[2] S. Lajos, Generalized ideals in semigroups, Acta Sci. Math., 22 (1961),
217-222.
[3] Q. Mushtaq and S.M. Yusuf, On LA-semigroups, Aligarh Bull. Math., 8
(1978), 65-70.
[4] Q. Mushtaq and S.M. Yusuf, On locally associative LA-semigroups, J. Nat.
Sci. Math., 19 (1979), 57-62.
[5] N. Yaqoob, M. Aslam, B. Davvaz and A.B. Saeid, On rough (m,n) bi-
Γ-hyperideals in Γ-semihypergroups, U.P.B. Scientific Bulletin. Series A,
75(1) (2013) 119-128.
[6] M. Aslam, M. Shabir, N. Yaqoob and A. Shabir, On rough (m,n)-bi-ideals
and generalized rough (m,n)-bi-ideals in semigroups, Ann. Fuzzy Math.
Inform., 2(2) (2011) 141-150.
Received: January 14, 2013

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใช้คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ ปี 7, 2013 หมายเลข 44, 2187-2191Www.m-hikari.com Ltd ฮิคาริใน (m, n) -อุดมคติใน LA Semigroupsมุหัมมัดอักร็อมภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย GujratGujrat ปากีสถานmakram [e-mail] Yaqoobภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเควด-i-ครัวอิสลามาบัด ปากีสถาน[e-mail]ขัน Madadภาควิชาคณิตศาสตร์เทคโนโลยีสถาบันสารสนเทศ COMSATSAbbottabad ปากีสถาน[e-mail]ลิขสิทธิ์ปี 2013 c มุหัมมัดอักร็อม et al นี่คือบทความเข้าเปิดกระจายภายใต้ลิขสิทธิ์แสดงความคิดสร้างสรรค์ของคอมมอนส์ ที่อนุญาตให้ใช้จำกัด จัดจำหน่ายและผลิตซ้ำในสื่อใด ๆ ให้ถูกต้องมีอ้างงานต้นฉบับบทคัดย่อวัตถุประสงค์ของเอกสารนี้คือการ ศึกษา (m, n) -อุดมคติใน LA-semigroupsคุณสมบัติบางอย่างของ (m, n) -อุดมคติ ใน LA semigroups และในเครื่องแบบจับคู่มีการให้ลา semigroupsคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 20M 10, 20N99คำสำคัญ: LA semigroups, (m, n) -อุดมคติม. 2188 อักร็อม N. Yaqoob และขันม.บทนำ 1แนวคิดของ (m, n) -เหมาะ semigroup ที่ถูกนำมาใช้ โดย Lajos [2] ที่ด้านซ้ายเกือบ semigroup (LA semigroup) ถูกนำมาใช้ครั้งแรก โดย Kazim และNaseerudin [1] ภายหลัง มุชตาก [3, 4] และอื่น ๆ ตรวจสอบความคิดนี้ต่อไปและเพิ่มผลประโยชน์หลายทฤษฎีของลา semigroups มุชตาก และยูซุฟผลิตผลประโยชน์ [4], ใน LA semigroups สัมพันธ์กันภายในปีค.ศ. 1979ใน LA semigroups ที่เกี่ยวข้องในท้องถิ่น จะได้กำหนดอำนาจขององค์ประกอบ และcongruences ใช้อำนาจเหล่านี้ ในเอกสารนี้ เราได้พูดถึงคุณสมบัติบางของ (m, n) -อุดมคติใน semigroup ลาเกี่ยวข้องในท้องถิ่น2 preliminaries และนิยามพื้นฐานนิยาม 2.1 [1] เรียกว่า groupoid มี (S ·) ที่ LA-semigroup หรือ AGgroupoidถ้ามันเป็นไปตามกฎหมายด้านซ้าย invertive(บี·) · c = (b c ·) · ตัว สำหรับทุก a, b, c ∈ s ได้นิยาม 2.2 [4] S semigroup ลาการเรียกว่า LAsemigroup ที่เกี่ยวข้องในท้องถิ่นถ้าและเฉพาะถ้า (aa) = a(aa) สำหรับทั้งหมด∈ s ได้ตัวอย่างที่ 2.3 [4] ชุด S = {a, b, c }, ภายใต้ "·" กำหนดไว้ด้านล่างในการรูปแบบของตาราง Cayley เป็นเครื่องเกี่ยวข้องลา semigroup· b cb กับ c cบีบีบีบีc b b b[4], ผู้สร้างกำหนดอำนาจขององค์ประกอบใน LAsemigroup เกี่ยวข้องในท้องถิ่นS เป็นดังนี้: a1 =เป็น มี + 1 = ana สำหรับ n ≥ 1 ในในท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องS semigroup ลามีซ้าย อามานผล = am + n (am) n = amn และ(ab) n = anbn สำหรับทุก a, b ∈ S ค้างไว้ต่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกใน LA semigroup มีต่อกฎหมายด้านใกล้กลาง (ab)(cd) = (ac)(bd) สำหรับb การ ทั้งหมด c, d ∈ S [1] ในการ semigroup ลามีซ้าย ต่อไปนี้paramedial กฎหมายเก็บ (ab)(cd) = (dc)(ba) สำหรับ S. ∈ c, d b a ทั้งหมดถ้า A และ B เป็นชุดย่อยใด ๆ ของ S LA semigroup เกี่ยวข้องในท้องถิ่นแล้วเพื่อพิสูจน์ว่า (AB) n = AnBn สำหรับ n ≥ 1จับมือ 2.4 [4] ถ้า S จะเป็น semigroup ลา มีซ้ายa(bc) = b(ac) สำหรับทุก a, b, c ∈ s ได้จับมือ 2.5 [4] ถ้า S เป็นการลา-semigroup กับอีตัวซ้าย แล้ว SS = Sและ S = eS = Seใน (m, n) -อุดมคติใน LA-semigroups 21893 (m, n) -อุดมคติใน LA semigroupsเซตย่อย A ของ S semigroup ลาเรียกว่าทางขวา (ซ้าย) เหมาะของ S ถ้าเป็น⊆ A(SA ⊆ A), และเรียกว่าเหมาะกับหน้าสองถ้าเป็นทั้งซ้าย และขวาเหมาะของ s ได้ ถ้า A เป็นเซตย่อยของการลา semigroup S ไม่ว่างใด ๆ แล้วเรากำหนด= (... ((เอเอ) A)...) A, AA ที่เป็นสินค้าปกติและ n ∈ N.ข้อกำหนดที่ 3.1 เซตย่อย A ของ S semigroup ลาเรียกว่าตัว (m, 0) -ดาว((0, n)-เหมาะ) ถ้า AmS ⊆ (ซาน⊆ A), สำหรับ m, n ∈ N.ข้อเสนอที่ 3.2 ให้ S เป็นการลา-semigroup กับอีตัวซ้ายแล้ว(1) ถ้าเป็นการเฉพาะ (m, 0) -ห้องของ S แล้วอี/∈อ.(2) ถ้าเป็นเฉพาะ (0, n) -ห้องของ S แล้วอี/∈อ.หลักฐานการ (1) ให้ A เป็นการเฉพาะ (m, 0) -เหมาะของ S. สมมติในทาง∈ e ที่อ.แล้ว S = eS = emS ⊆ AmS ⊆ A หมายถึงการที่ S ⊆อ. นี่คือความขัดแย้งในความเป็นจริงที่เป็นเหมาะสม ดังนั้นอี/∈อ.(2) ให้ A จะเหมาะสม (0, n) -เหมาะของ S. สมมติในทาง∈ e ที่อ.แล้วตามกฎหมาย invertive ซ้ายS = (ee) S = (Se) e = (เซน) น้ำ⊆ (ซาน) ⊆⊆วิกอานซาน⊆ Aเป็นสิทธิ์แบบที่ S ⊆อ. นี่คือความขัดแย้งในความเป็นจริงที่เป็นเหมาะสม ดังนั้นe /∈อ.ข้อกำหนดที่ 3.3 ให้ S เป็นการลา semigroup การลา-subsemigroup A Sเรียกว่าตัว (m, n) -ห้องของ S ถ้า A เป็นไปตามเงื่อนไข(AmS) การ⊆ Aที่ m, n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (กำลังจะถูกระงับถ้า m = 0)ให้ A เป็น subsemigroup ลาการของ S แล้วเราจะบอกว่า เป็น bi-เหมาะหรือ (1, 1) -ห้องของ S ถ้า (เป็น) อ.⊆ข้อเสนอที่ 3.4 ให้ S เป็นการลา semigroup, B จะเป็น LA-subsemigroupของ S และให้ A เป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้ แล้วจุดตัด A ∩ B เป็นการ(m, n) -ห้องของ B. semigroup ลาหลักฐานการ สี่แยก A∩B เป็น subsemigroup ลาการของ s ได้อย่างเห็นได้ชัด เรามีแสดงว่า∩ B ตัว (m, n) -บี เหมาะสำหรับการนี้((A ∩ B) mB) (A ∩ B) (AmS) n ⊆⊆เป็น A, (1)เนื่องจากเป็นตัว (m, n) -ห้องของ S. Secondly((A ∩ B) mB) (A ∩ B) n ⊆ (BmB) พัน⊆ B. (2)ดังนั้น (1) และ (2) หมายถึงการที่ ((A ∩ B) mB)(A ∩ B) n ⊆ A ∩ B. ดังนั้นการแยก A ∩ B คือ ตัว (m, n) -ห้องของบีN. Yaqoob อักร็อมพัก 2190 เมตร และเมตรคันทฤษฎีบทที่ 3.5 ให้ { Ai: ฉัน∈ฉัน} เป็นครอบครัว (m, n) -อุดมคติของการ LAsemigroupแล้ว S. B =nฉัน = 1ไอ =∅เป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้หลักฐานการ ให้ { Ai: ฉัน∈ฉัน} เป็นครอบครัว (m, n) -อุดมคติของการลา semigroup S. เราของ LA subsemigroups มี LA-subsemigroup ตอนนี้แสดงว่า B =nฉัน = 1ไอเป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้ ที่นี่เราต้องเฉพาะแสดงว่า(BmS) B. ⊆พัน ให้ x ∈ (BmS) Bn. แล้ว x = (am1s) an2สำหรับบาง am1, an2∈ Bและ∈ s s ได้ ดังนั้นสำหรับใด ๆ กำหนดฉัน∈ฉันเป็น am1, an2∈ Bi ดังนั้น x ∈ (Bmพัน i S)ฉันเนื่องจากสอง ตัว (m, n) -ห้องนั้น (Bmพัน i S)ฉัน⊆ Bi แล้วดังนั้น x ∈ Bi ตั้งแต่เลือกโดยให้ x ∈ Bi สำหรับฉัน∈ฉัน และดังนั้น x ∈ B. ดังนั้น B ⊆พัน (BmS)และดังนั้น B =nฉัน = 1ไอเป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้ข้อกำหนดที่ 3.6 องค์การของ S semigroup ลาเรียกว่า idempotentถ้าเอเอ =เป็น ชุดย่อยผม S semigroup ลาเรียกว่า idempotent ถ้าทั้งหมดของมันองค์ประกอบคือ idempotentทฤษฎีบท 3.7 ถ้า B เป็นการ idempotent (เมตร m) -ห้องของในท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องS semigroup ลากับทิ้งตัวตน แล้ว B เป็นตัว (m, 0) -ห้อง (m 0 ) และ -เหมาะของ s ได้หลักฐานการ โดยใช้กฎหมาย invertive ซ้ายและกฎหมาย paramedial เราได้รับBmS = mS (B2) = 2S (Bm) = (BmBm) S = Bm (SBm) = (SBm)(BmBm)= (BmBm)(BmS) = B. ⊆⊆ของ Bm (Bm (BmS)) BBmฟิลด์นี้แสดงว่า B ตัว (m, 0) -ห้องของ s ได้ ในทำนองเดียวกัน โดย 2.4 การจับมือ และกฎหมายด้านใกล้กลาง ที่เราได้รับSBm = S(BmBm) = (BmBm)(SBm) = (BmS)(BmBm) = B. ⊆ Bm (BmS)ฟิลด์นี้แสดงว่า B (m 0 ) -ห้องของ S. ดังนั้น B เป็นตัว (m, 0) - เหมาะและ(m 0 ) -ห้องของ s ได้ข้อเสนอที่ 3.8 ให้ A เป็นลา-subsemigroup เป็นของ LAsemigroup ที่เกี่ยวข้องในท้องถิ่นS มีซ้าย ถ้าเป็น (m 0 ) -เหมาะ และ B คือ ตัว (m, n) -ดาวS แล้ว BA เป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้หลักฐานการ เราใช้กฎหมายด้านใกล้กลาง ได้รับ (BA)(BA) = (BB)(AA) ⊆ BA โดยด้านซ้ายกฎหมาย invertive((BA) mS) (BA) n = ((BmAm)S)(BnAn) = ((SAm)Bm)(BnAn)= ((BnAn)Bm)(SAm) = ((BmAn)Bn)(SAm)⊆ ((BmS)Bn)(SAm) ⊆ BAดังนั้น บาเป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้ใน (m, n) -อุดมคติใน LA-semigroups 2191ข้อเสนอที่ 3.9 ผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง (m, n) -อุดมคติของในท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องS semigroup ลามีซ้ายคือ ตัว (m, n) -ห้องของ s ได้หลักฐานการ กฎหมายด้านใกล้กลาง เราได้ (AB)(AB) = (AA)(BB) ⊆ AB. ตอนนี้ ใช้กฎหมายด้านใกล้กลางและจับมือ 2.5 เราได้รับ(MS (AB)) (AB) n = ((AmBm)S)(AnBn) = ((AmBm)(SS))(AnBn)= ((AmS)(BmS))(AnBn) = ((AmS)An)((BmS)Bn) ⊆ AB.ดังนั้น AB เป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้ทฤษฎีบทที่ 3.10 ให้ A และ B เป็นลา-subsemigroups ของในท้องถิ่นที่เกี่ยวข้องเอส semigroup ลา ถ้าเป็นตัว (m, 0) -เหมาะและ B เป็น (0, n) -ห้องของ S นั้นผลิตภัณฑ์ AB เป็นตัว (m, n) -ห้องของ S ถ้า AB ⊆อ.หลักฐานการ กฎหมายด้านใกล้กลางเราได้ (AB)(AB) = (AA)(BB) ⊆ AB. นี้แสดงให้เห็นว่าAB อยู่ที่ LA-subsemigroup ขณะนี้(MS (AB)) (AB) n ⊆ (AmS)(AnBn) ⊆ A(SBn) ⊆ AB.ดังนั้น ผลิตภัณฑ์ AB เป็นตัว (m, n) -ห้องของ s ได้การอ้างอิง[1] M.A. Kazim และ M. Naseerudin บนเกือบ-semigroup วัว AligarhMath., 2 (1972), 1-7[2] S. Lajos, Generalized อุดมคติใน semigroups, Math. Sci. คตา 22 (1961),217-222[3] ถามมุชตากและยูซุฟ S.M. ใน LA semigroups วัว Aligarh Math., 8(1978), 65-70[4] คำถามมุชตากและยูซุฟ S.M. บนเครื่องสัมพันธ์ที่ LA-semigroups, J. Nat.Sci. Math., 19 (1979), 57-62Yaqoob [5] ตอนเหนือ Aslam เมตร เกิด Davvaz และ Saeid A.B. บนหยาบ (m, n) bi-Γ-hyperideals Γ-semihypergroups, U.P.B. นการทางวิทยาศาสตร์ใน ชุด A75(1) (2013) 119-128[6] เมตร Aslam, M. Shabir, Yaqoob ตอนเหนือ และ A. Shabir ในอุดมคติ - bi - หยาบ (m, n)และอุดมคติ - bi - เมจแบบทั่วไปหยาบ (m, n) ใน semigroups คณิตศาสตร์เอิบ Ann.แจ้ง 2(2) (2011) 141-150รับ: 14 มกราคม 2013

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การประยุกต์ใช้วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ฉบับ 7 ปี 2013 ไม่มี 44, 2187-2191
HIKARI จำกัด www.m-hikari.com
เปิด (m, n) -Ideals ใน LA-Semigroups
มูฮัมหมัดอักภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยจราจราตปากีสถานMakram [e-mail] Naveed Yaqoob ภาควิชาคณิตศาสตร์เควด-i-Azam มหาวิทยาลัยกรุงอิสลามาบัดปากีสถาน[e-mail] Madad ข่านภาควิชาคณิตศาสตร์COMSATS สถาบันเทคโนโลยีสารสนเทศบอตปากีสถาน[e-mail] ลิขสิทธิ์? 2013 คมูฮัมหมัดอัลอัก et นี้เป็นบทความเปิดกระจายภายใต้สัญญาอนุญาตครีเอทีฟคอมมอนส์ซึ่งอนุญาตให้ใช้ไม่ จำกัด การจัดจำหน่ายและการทำสำเนาในสื่อใดๆ ให้ทำงานเดิมที่มีการอ้างถึงอย่างถูกต้อง. บทคัดย่อวัตถุประสงค์ของการวิจัยนี้เป็นการศึกษา (m, n) - . ในอุดมคติ LA-semigroups คุณสมบัติบางส่วนของ (m, n) -ideals ใน LA-semigroups และในการเชื่อมโยงในประเทศLA-semigroups ได้รับการให้บริการ. คณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 20M10, 20N99 คำสำคัญ: LA-กึ่งกรุป (m, n) - อุดมคติ2,188 เมตรอักเอ็น Yaqoob และเอ็มข่าน1 บทนำแนวคิดของ(m, n) -ideal ของ semigroup ถูกนำโดยโยส์ [2] ซ้ายเกือบ semigroup (LA-semigroup) เป็นครั้งแรกโดย Kazim และNaseerudin [1] ต่อมา Mushtaq [3, 4] และอื่น ๆ การตรวจสอบความคิดนี้ต่อไปและเพิ่มผลประโยชน์มากมายกับทฤษฎีของLA-semigroups มัชแท็คและยูซุฟผลิตผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ [4] ในการเชื่อมโยงในประเทศ LA-semigroups ในปี 1979 ในการเชื่อมโยงในประเทศ LA-semigroups พวกเขากำหนดอำนาจขององค์ประกอบและcongruences ใช้อำนาจเหล่านี้ ในบทความนี้เราพูดถึงคุณสมบัติบางอย่างของ (m, n) -ideals ในการเชื่อมโยงในประเทศ LA-semigroup. 2 ขั้นพื้นฐานและคำจำกัดความนิยาม2.1 [1] เป็น groupoid (s, ·) เรียกว่า LA-semigroup หรือ AGgroupoid, ถ้ามันสอดคล้องซ้ายกฎหมาย invertive (ก·ข) · c = (c ·ข) ·สำหรับทุก b, c ∈ เอสความละเอียด2.2 [4] เป็น LA-S กึ่งกลุ่มที่เรียกว่า LAsemigroup เชื่อมโยงทั้งในประเทศและถ้าหาก(AA) ก = a (AA) สำหรับทุก∈เอสตัวอย่าง2.3 [4] ชุด S = {b, c} ภายใต้ "·" ที่กำหนดไว้ด้านล่างในรูปแบบของตารางเคย์ลีเป็นเชื่อมโยงในประเทศLA-semigroup. · abc accb bbbb CBBB ใน [4] ผู้เขียนกำหนดอำนาจของ องค์ประกอบในการเชื่อมโยงในประเทศ LAsemigroup S ดังนี้ a1 = ร์, สระ + 1 = ana สำหรับ n ≥ 1. ในการเชื่อมโยงในประเทศLA-semigroup S กับตัวตนซ้ายผล aman น = n + (น) n = AMN และ(AB) n = anbn ค้างไว้ทั้งหมดข∈ S และนี่เมตรและ n เป็นจำนวนเต็มบวก. ใน LA-semigroup S กฎหมายอยู่ตรงกลางต่อไปนี้ถือ (AB) (ซีดี) = (AC) (BD) สำหรับทุกA, B, C, D ∈ S [1] ใน S LA-semigroup ที่มีตัวตนซ้ายต่อไปนี้กฎหมายparamedial ถือ (AB) (ซีดี) = (DC) (BA) สำหรับทุก A, B, C, D ∈เอสถ้าA และ B เป็นส่วนย่อย ๆ ของคนในท้องถิ่น เชื่อมโยง LA-S semigroup แล้วมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่า(AB) n = AnBn สำหรับ n ≥ 1 บทแทรก 2.4 [4] ถ้า S เป็น LA-semigroup ที่มีตัวตนซ้ายแล้ว(BC) = ข (AC) สำหรับทุก b, c ∈เอสแทรก2.5 [4] ถ้า S เป็น LA-semigroup กับ e ตัวตนซ้ายแล้วเอสเอส = S และ S ES = Se. เมื่อวันที่ (m, n) -ideals ใน LA-2189 semigroups 3 (m, n) -ideals ใน La- Semigroups ส่วนหนึ่งของเอ LA-semigroup เรียกว่าขวา (ซ้าย) ในอุดมคติของ S ถ้า AS ⊆ (SA ⊆ A) และถูกเรียกว่าสองด้านเหมาะหากมีทั้งซ้ายและเหมาะที่เหมาะสมของเอสหากเป็นเซตใด ๆ ที่ไม่ว่างเปล่าของ S LA-semigroup แล้วเรากำหนด= (... ((AA) A) ... ) A, AA ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ตามปกติและ n ∈ N. ความละเอียด 3.1 ส่วนหนึ่งของ LA-S กึ่งกลุ่มที่เรียกว่า (m, 0) -ideal ((0, n) -ideal) ถ้า AMS ⊆ A (SAN ⊆ A) สำหรับ m, n ∈เอ็นโจทย์3.2 ให้ S เป็น LA-semigroup กับ e ตัวตนซ้าย จากนั้น(1) ถ้าเป็นที่เหมาะสม (m, 0) -ideal ของ S แล้วอี / เอ∈ (2) ถ้าเป็นที่เหมาะสม (0, n) -ideal ของ S แล้วอี / เอ∈หลักฐาน. (1) ให้ A เป็นที่เหมาะสม (m, 0) -ideal เอสสมมติว่าในทางตรงกันข้ามว่าอีเอ∈แล้วES S = EMS ⊆ AMS ⊆ A, แสดงให้เห็นว่าเอสเอ⊆นี้เป็นความขัดแย้งกับความจริงที่ว่าเป็นที่เหมาะสม ดังนั้นอี / เอ∈ (2) ให้ A เป็นที่เหมาะสม (0, n) -ideal เอสสมมติว่าในทางตรงกันข้ามว่าอีเอ∈แล้วตามด้วยซ้ายกฎหมายinvertive S = (จ) S = (Se) จ = ( Sen) en ⊆ (SAN) ความ⊆ AAN ⊆ซาน⊆หมายความว่าS ⊆เอนี่คือขัดแย้งกับความจริงที่ว่าเป็นที่เหมาะสม ดังนั้นอี / เอ∈ความละเอียด3.3 ให้ S เป็น LA-semigroup LA-subsemigroup ของ S เรียกว่า (m, n) -ideal ของ S ถ้าพอใจสภาพ(AMS) ความ⊆ที่m, n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (Am ถูกระงับถ้า m = 0) ให้ A เป็น LA-subsemigroup ของ S แล้วเราจะบอกว่าเป็นสองเหมาะหรือ(1, 1) -ideal ของ S ถ้า (AS) คำ⊆เอโจทย์3.4 ให้ S เป็น LA-semigroup, B เป็น LA-subsemigroup ของ S และให้เป็น (m, n) -ideal เอสจากนั้นแยก∩ B เป็น(m, n) -ideal ของ La- semigroup บีหลักฐาน A∩Bสี่แยกเห็นได้ชัดว่าเป็น LA-subsemigroup เอสเรามีการแสดงให้เห็นว่าB ∩เป็น (m, n) -ideal ของ B สำหรับนี้((A ∩ B) MB) (A ∩ B) n ⊆ (AMS) ความ⊆ A, (1) เพราะเป็น (m, n) -ideal เอสประการที่สอง((A ∩ B) MB) (A ∩ B) n ⊆ (BMB) พันล้าน⊆บี (2 ) ดังนั้น (1) และ (2) แสดงให้เห็นว่า ((A ∩ B) MB) (A ∩ B) n ⊆∩บีดังนั้นสี่แยก∩ B เป็น (m, n) -ideal ของ B. 2190 M . อักเอ็น Yaqoob และเอ็มข่านทฤษฎีบท3.5 ให้ {Ai: ฉัน∈} ฉันจะเป็นครอบครัวของ (m, n) -ideals ของ LAsemigroup เอส จากนั้น B = n? i = 1 Ai? = ∅เป็น (m, n) -ideal เอสหลักฐาน ให้ {Ai: ฉัน∈} ฉันจะเป็นครอบครัวของ (m, n) -ideals ของ LA-semigroup เอสเรารู้ว่าจุดตัดของLA-subsemigroups เป็น LA-subsemigroup ตอนนี้แสดงให้เห็นว่าB = n? ฉัน = 1 Ai เป็น (m, n) -ideal เอสที่นี่เราต้องการเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่า(BMS) พันล้าน⊆บีให้ x ∈ (BMS) พันล้าน แล้ว x = (AM1 s) an2 สำหรับ AM1 บาง, an2 ∈ B และ s ∈เอสดังนั้นสำหรับพลใด ๆ ฉัน∈ฉันเป็น AM1, an2 ∈ Bi ดังนั้น x ∈ (Bm ฉัน S) พันล้านi. ตั้งแต่ Bi เป็น (m, n) ดังนั้น -ideal (Bm ฉัน S) พันล้านผม⊆ Bi จึง x ∈ Bi ตั้งแต่ฉันถูกเลือกโดยพลดังนั้น x ∈ Bi สำหรับฉันฉัน∈และด้วยเหตุนี้ x ∈บีดังนั้น (BMS) พันล้าน⊆ B และด้วยเหตุนี้ B = n? i = 1 Ai เป็น (m, n) -ideal เอส ? ความละเอียด 3.6 องค์ประกอบของเอ LA-semigroup เรียกว่า idempotent ถ้า AA = a ส่วนหนึ่งของฉัน S LA-semigroup เรียกว่า idempotent ถ้าทั้งหมดขององค์ประกอบidempotent. ทฤษฎีบท 3.7 ถ้า B เป็น idempotent (มม.) -ideal ของสมาคมในประเทศLA-semigroup S กับตัวตนซ้ายแล้ว B เป็น (m, 0) -ideal และ (0, เมตร) -ideal เอสหลักฐาน โดยการใช้ซ้ายกฎหมาย invertive และกฎหมาย paramedial เราได้รับBMS = (B2) mS = (Bm) 2S = (BmBm) S = (SBM) Bm = (SBM) (BmBm) = (BmBm) (BMS) = ((BMS ) Bm) Bm ⊆ BBM ⊆บีนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นB (m, 0) -ideal เอสในทำนองเดียวกันโดยใช้บทแทรก 2.4 และกฎหมายอยู่ตรงกลางที่เราได้รับSBM = S (BmBm) = (BmBm) (SBM) = (BMS) (BmBm) = (BMS) Bm ⊆บีนี้แสดงให้เห็นว่าB เป็น (0, เมตร) -ideal เอสดังนั้น B เป็น (m, 0) -ideal และ(0, ม.) - อุดมคติของเอสโจทย์3.8 ให้ A เป็น LA-subsemigroup ของสมาคมในประเทศ LAsemigroup S กับตัวตนซ้าย ถ้าเป็น (0, เมตร) -ideal และ B เป็น (m, n) -ideal ของ S แล้วบริติชแอร์เวย์เป็น (m, n) -ideal เอสหลักฐาน การใช้กฎหมายที่อยู่ตรงกลางที่เราได้รับ (BA) (BA) = (BB) (AA) ⊆ปริญญาตรี โดยขณะนี้เหลือกฎหมาย invertive ((BA) mS) (BA) n = ((BMAM) S) (BnAn) = ((SAM) Bm) (BnAn) = ((BnAn) Bm) (SAM) = ((bman) พันล้าน) (SAM) ⊆ ((BMS) พันล้าน) (SAM) ⊆ BA. ดังนั้นบริติชแอร์เวย์เป็น (m, n) -ideal เอสเมื่อวันที่(m, n) -ideals ใน LA-semigroups 2191 โจทย์ 3.9 ผลิตภัณฑ์ของทั้งสอง (m, n) -ideals ของสมาคมในประเทศLA-semigroup S กับตัวตนซ้ายเป็น (m, n) -ideal เอสหลักฐาน ตามกฎหมายที่อยู่ตรงกลางที่เราได้รับ (AB) (AB) = (AA) (BB) ⊆ AB ตอนนี้ใช้กฎหมายอยู่ตรงกลางและแทรก 2.5 เราได้รับ ((AB) MS) (AB) n = ((AmBm) S) (AnBn) = ((AmBm) (เอสเอส)) (AnBn) = ((AMS) (BMS) ) (AnBn) = ((AMS)) ((BMS) พันล้าน) ⊆ AB. ดังนั้น AB เป็น (m, n) -ideal เอสทฤษฎีบท3.10 ให้ A และ B เป็น LA-subsemigroups ของสมาคมในประเทศLA-semigroup เอสถ้าเป็น (m, 0) -ideal และ B เป็น (0, n) -ideal ของ S แล้วAB เป็นสินค้า (m , n) -ideal ของ S ถ้า AB ⊆เอหลักฐาน ตามกฎหมายที่เราได้รับอยู่ตรงกลาง (AB) (AB) = (AA) (BB) ⊆ AB นี้แสดงให้เห็นว่าAB เป็น LA-subsemigroup ตอนนี้((AB) MS) (AB) n ⊆ (AMS) (AnBn) ⊆ A (SBN) ⊆ AB. ดังนั้นผลิตภัณฑ์ AB เป็น (m, n) -ideal เอสอ้างอิง[1] ซาชูเซตส์และ Kazim M . Naseerudin บนเกือบ semigroup, Aligarh กระทิง. คณิตศาสตร์. 2 (1972), 1-7. [2] เอส Lajos อุดมคติทั่วไปใน semigroups, Acta วิทย์ คณิตศาสตร์. 22 (1961), 217-222. [3] คิว Mushtaq และ SM ยูซุฟใน LA-semigroups, Aligarh กระทิง คณิตศาสตร์. 8 (1978), 65-70. [4] คิว Mushtaq และ SM ซุฟ, On เชื่อมโยงในประเทศ LA-กึ่งกรุปเจแน็ต. วิทย์ คณิตศาสตร์. 19 (1979), 57-62. [5] เอ็น Yaqoob, M. Aslam บี Davvaz และ AB Saeid บนหยาบ (m, n) bi- Γ-hyperideals ในΓ-semihypergroups, UPB วิทยาศาสตร์ประกาศ . ซีรีส์, 75 (1) (2013) 119-128. [6] Aslam เอ็มเอ็ม Shabir เอ็น Yaqoob และเอ Shabir บนหยาบ (m, n) อุดมคติ--bi และหยาบทั่วไป (เมตร n) อุดมคติ--bi ใน semigroups แอน เลือนคณิตศาสตร์. แจ้ง 2 (2) (2011) 141-150.. ที่ได้รับ: 14 มกราคม 2013

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การประยุกต์วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ , ฉบับที่ 7 , 2013 , ฉบับที่ 44 , 2187 - 2191
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari . com
( m , n ) - อุดมคติในกรุปลามูฮัมมัดอัก

ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย

คุชราตคุชราต , ปากีสถาน
makram 69 @ yahoo com


เ yaqoob ภาควิชาคณิตศาสตร์ quaid-i-azam มหาวิทยาลัย
ปากีสถาน
nayaqoob @ ymail . com


madad ข่าน ภาควิชาคณิตศาสตร์สถาบันเทคโนโลยีสารสนเทศ COMSATS ปากีสถานบอต
,
madadmath @ yahoo com
ลิขสิทธิ์  C 2013 มูฮัมมัดอัก et al . นี่คือบทความเปิดกระจาย ภายใต้ Creative Commons Attribution
ใบอนุญาตที่อนุญาตให้ใช้ ไม่จำกัดการกระจาย
และการสืบพันธุ์ในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมถูกอ้าง
.
บทคัดย่อการวิจัยครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษา ( ม.n ) - อุดมคติใน La กรุป .
คุณสมบัติบางอย่างของ ( m , n ) - อุดมคติในกรุปลา และในท้องถิ่นเชื่อมโยง
la กรุปได้รับ .
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 20m10 20n99
คำสำคัญ : ลา , กึ่งกรุป ( m , n ) อุดมการณ์
2 , 188 เมตร คราม , เอ็น yaqoob และ ประจวบคีรีขันธ์ 1 บทนำ

แนวคิด ( m , n ) ในอุดมคติของกึ่งกรุปแนะนำของเราม ��� [ 2 ]
ซ้ายเกือบกึ่งกรุป ( La เซมิกรุป )เป็นครั้งแรก โดย คาซิม และ naseerudin
[ 1 ] ต่อมา mushtaq [ 3 , 4 ] และอื่น ๆตรวจสอบความคิดนี้ต่อไป
และเพิ่มผลประโยชน์มากมายกับทฤษฎีของกรุปลา . mushtaq
ยูซุฟและผลิตผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ [ 4 ] ในระบบเชื่อมโยงลาใน 1979 .
ในท้องถิ่นเชื่อมโยงกรุปลาพวกเขากำหนดอำนาจขององค์ประกอบและ
congruences ใช้พลังเหล่านี้ ในกระดาษนี้เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติ
( m , n ) - อุดมการณ์ในพื้นที่เชื่อมโยงลาเซมิกรุป .
2 ในรอบคัดเลือก และพื้นฐานความหมาย
นิยาม 2.1 . [ 1 ] groupoid ( s ด้วย ) เรียกว่าเป็นกึ่งกรุปลาหรือ aggroupoid

ถ้ามันเข้าตาซ้าย , กฎหมาย invertive ( Suite B ) ด้วย C = ( c ด้วย B ) ด้วย A ทั้งหมด A , B , C ∈ S .
นิยาม 2.2 . [ 4 ] การลาของกึ่งกรุปเรียกว่าพื้นที่เชื่อมโยง lasemigroup
ถ้าและเพียงถ้า ( AA ) = ( AA ) ทั้งหมดเป็น∈ S .
ตัวอย่างที่ 2.3 [ 4 ] ชุด S = { a , b , c } ภายใต้ " ด้วย " ที่ระบุไว้ด้านล่างในรูปแบบของตาราง เคย์ลีย์
เป็นเครื่องเชื่อมโยงลาเซมิกรุป .
ด้วย A B C

C C B B B B B B B B

C [ 4 ] ผู้เขียนกำหนด พลังของธาตุในพื้นที่เชื่อมโยง lasemigroup
s ดังนี้ A1 = , 1 = อานา , N ≥ 1 ในพื้นที่เชื่อมโยง
ลา เซมิกรุป S ด้วยซ้าย เอกลักษณ์ ผลคืออามา = n , n = AMN ( AM ) และ ( AB )
n = anbn ถือสำหรับทุก A , B ∈ s และ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่นี่ .
ใน La เซมิกรุป S ต่อไปนี้ medial กฎหมายถือ ( AB ) ซีดี ( CD ) = ( AC ) ( BD )
ทั้ง A , B , C , D ∈ S [ 1 ] ใน La เซมิกรุปกับซ้าย เอกลักษณ์ ดังต่อไปนี้
paramedial กฎหมายถือ ( AB ) ซีดี ( CD ) = ( DC ) ( BA ) ทั้ง A , B , C , D ∈
Sถ้า a และ b เป็นส่วนย่อยๆของพื้นที่เชื่อมโยงลาเซมิกรุป S แล้วมัน
เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่า ( AB ) n = anbn n ≥ 1 .
พ 2.4 . [ 4 ] ถ้า S เป็นกึ่งกรุปลาด้วยซ้ายตัวตนแล้ว
( BC ) = B ( AC ) ทั้ง A , B , C ∈ S .
แทรก 2.5 [ 4 ] ถ้า S เป็นกึ่งกรุปลาด้วยซ้ายตัว E แล้ว SS = S และ S =
= ES เซ .
( m , n ) - อุดมคติในกรุปลา 2189
3 ( m , n ) - อุดมคติในกรุป
ลาเป็นเซตย่อยของการลาของกึ่งกรุปเรียกว่าขวา ( ซ้าย ) ในอุดมคติของ S ถ้าเป็น⊆ a
( ซา⊆ ) และเรียกว่าเหมาะถ้าเป็นสองข้างทั้งซ้ายและขวาของ S .
เหมาะถ้าเป็นเซตย่อยของกึ่งกรุปลาไม่ว่าง แล้วเรากำหนด
เป็น = ( . . . . . . . ( ( AA ) ) . . . . . . . ) ที่ AA เป็นผลิตภัณฑ์ปกติและ N .
∈คำนิยาม 3.1 . เป็นเซตย่อยของการลาของกึ่งกรุปเรียกว่า ( , 0 ) ( 0 ,
( เหมาะn ) - ดีเยี่ยม ( AMS ) ถ้า⊆ซาน⊆ ) , M , N ,
∈ประพจน์ 3.2 . ให้ S เป็นกึ่งกรุปลาด้วยซ้ายตัวตน E แล้ว
( 1 ) ถ้าเป็นการเฉพาะ ( , 0 ) - ดีเยี่ยม แล้ว E / ∈ .
( 2 ) ถ้าเป็นการเฉพาะ ( 0 , N ) - ดีเยี่ยม แล้ว E / ∈ .
พิสูจน์ ( 1 ) ให้เป็นที่เหมาะสม ( , 0 ) - ในอุดมคติของเอส สมมติว่า ในทางตรงกันข้ามที่ E ∈ .
S แล้ว = ES = EMS ⊆ AMS ⊆ , นัยที่⊆ . นี่คือความขัดแย้ง
ความจริงที่ว่ามันเหมาะสม ดังนั้น E / ∈ .
( 2 ) ให้มีเหมาะสม ( 0 , N ) S . สมมติว่า ในทางตรงกันข้ามที่เหมาะ∈ E .
แล้วโดยทิ้ง invertive กฎหมาย
S = ( อี ) S = ( SE ) E = ( เสน ) และ⊆ ( ซัน ) ⊆ไปยัง⊆ซาน⊆เป็น
หมายความว่า S ⊆ . นี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่เป็นที่เหมาะสม ดังนั้น E / A .

∈ความละเอียด 3.3 . ให้ S เป็นกึ่งกรุปลา . การลา subsemigroup เป็น S
เรียกว่า ( m , n ) ในอุดมคติของเอสถ้าตรงตามสภาพ
( AMS ) ⊆เป็น
ที่ M , N ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ ( คือถูกระงับถ้า m = 0 )
ให้เป็นลา subsemigroup ของเราก็จะบอกว่า เป็นบีเหมาะ
หรือ ( 1 , 1 ) - S ( ถ้าเป็นอุดมคติ ) ⊆ .
ข้อเสนอ 3.4 . ให้ S เป็นกึ่งกรุป B เป็นลา , ลา subsemigroup
S และปล่อยให้เป็น ( m , n ) - ในอุดมคติของเอสแล้วแยกเป็น∩ B เป็น
( m , n ) ในอุดมคติของกึ่งกรุป B .
ลาพิสูจน์ แยกเป็น∩ B อย่างเห็นได้ชัดคือ ลา subsemigroup S . เรามี
แสดงให้เห็นว่า∩ B ( m , n ) B - เหมาะสำหรับ
( ( ∩ B ) MB ) ( ∩ B ) N ⊆ ( AMS ) ⊆ , ( 1 )
เพราะว่า เป็น ( m , n ) - ในอุดมคติของ S . ประการที่สอง
( ( ∩ B ) MB ) ( ∩ B ) N ⊆ ( BMB ) ซึ่ง⊆ B ( 2 )
ดังนั้น ( 1 ) และ ( 2 ) แปลว่า ( ( ∩ B ) MB ) ( ∩ B ) N ⊆เป็น ∩พ. จึงแยกเป็น∩
B เป็น ( m , n ) - ในอุดมคติของ B .
ความเร็วเมตร คราม , N .yaqoob . ข่าน
ทฤษฎีบท 3.5 . ให้ฉัน∈ } { AI ผมเป็นครอบครัว ( m , n ) อุดมการณ์ของ lasemigroup
S . แล้ว B =
-
= 1

ผม  ไอ  = ∅เป็น ( m , n ) ในอุดมคติของ S
พิสูจน์ ให้ฉัน∈ } { AI ผมเป็นครอบครัว ( m , n ) อุดมการณ์ของกึ่งกรุปลา เรารู้ว่าจุดตัดของ
subsemigroups ลาเป็นลา subsemigroup ตอนนี้
แสดงว่า B =
-
= 1

ผม  AI เป็น ( m , n ) - เหมาะ S . ที่นี่เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า
( BMS ) ซึ่ง⊆ B . ให้ X ∈ ( BMS ) เช่นกัน แล้ว x = ( am1

) an2 บาง am1


an2 ∈ B และ S ∈ S . ดังนั้น ใด ๆโดยพลการ ผม∈ผมเป็น am1

an2 ∈บิ ดังนั้น x ∈ ( BM
i s ) 3
.
เพราะบีเป็น ( m , n ) - ดีเยี่ยม ( BM
i s ) 3
ผม
⊆บีและดังนั้น x ∈บิ ตั้งแต่ฉันเลือกโดยพลการ ดังนั้น∈บี
x ทั้งหมดที่ฉัน∈ฉันดังนั้น x ∈พ. ดังนั้น ( BMS ) ซึ่ง⊆ B
ดังนั้น B =
-
= 1

ผม  AI เป็น ( m , n ) S . - เหมาะ 
นิยาม 3.6องค์ประกอบของการลาของกึ่งกรุปเรียกว่านิจพล
ถ้า AA = A เป็นเซตย่อยของการลาของกึ่งกรุปเรียกว่านิจพลถ้าทั้งหมดขององค์ประกอบของมันเป็นนิจพล
.
ทฤษฎีบท 3.7 ถ้า B เป็นนิจพล ( M , M ) ในอุดมคติของพื้นที่เชื่อมโยง
la เซมิกรุป S ด้วยซ้ายตัวตนแล้ว B ( M , 0 ) - เหมาะกับ ( 0 ) - เหมาะ
S .
พิสูจน์ โดยใช้ด้านซ้าย invertive กฎหมายและ paramedial กฎหมายเราขอรับ
BMS = ( B2 ) MS = ( BM ) 2s = ( bmbm ) S = ( SBM ) BM = ( SBM ) ( bmbm )
= ( bmbm ) ( BMS ) = ( ( BMS ) BM ) BM ⊆ BBM ⊆ B .
แสดงว่า B ( M , 0 ) ในอุดมคติของ s ในทำนองเดียวกันโดยใช้บทตั้ง 2.4 และ

4 แนวกฎหมายที่เราได้รับ = S ( bmbm ) = ( bmbm ) ( SBM ) = ( BMS ) ( bmbm ) = ( BMS ) BM ⊆ B .
แสดงว่า B เป็น 0 m ) S . B - เหมาะจึงเป็น ( m 0 ) - เหมาะกับ
0 m ) - ในอุดมคติของ S .
ข้อเสนอ 3.8 .ปล่อยให้เป็นลา subsemigroup ของพื้นที่เชื่อมโยง lasemigroup
s กับตนแล้ว ถ้าเป็น ( 0 , M ) - เหมาะกับ B เป็น ( m , n ) - เหมาะ
S แล้ว BA เป็น ( m , n ) ในอุดมคติของ S
พิสูจน์ โดยใช้แนวกฎหมายที่เราได้รับ ( BA ) ( BA ) = ( BB ) ( AA ) ⊆ BA . ตอนนี้เหลือ

กฎหมาย invertive ( BA ) MS ( BA ) n = ( ( bmam ) s ) ( bnan ) = ( ( แซม ) BM ) ( bnan )
= ( ( bnan ) BM ) ( แซม ) = ( ( bman ) BN ) ( แซม )
⊆ ( BMS ) BN ) ( แซม ) ⊆ BA .
เพราะ BA เป็น ( mn ) - ในอุดมคติของ S .
( m , n ) - อุดมคติในกรุปลา 2191
) 3.9 ผลิตภัณฑ์ 2 ( m , n ) อุดมการณ์ของพื้นที่เชื่อมโยง
la เซมิกรุปกับตัวซ้ายเป็น ( m , n ) ในอุดมคติของ S
พิสูจน์ โดยแนวกฎหมายที่เราได้รับ ( AB ) ( AB ) = ( AA ) ( BB ) ⊆แอป ตอนนี้ใช้
กฎหมายและแนวบทตั้ง 2.5 , เราได้รับ
( ( AB ) MS ( AB ) n = ( ( ambm ) s ) ( anbn ) = ( ( ambm ) ( SS ) ( anbn )
= ( ( AMS ) ( BMS ) ) ( anbn ) = ( ( AMS ) ) ( ( BMS ) 3 )
⊆ ABAB จึงเป็น ( m , n ) ในอุดมคติของ S
ทฤษฎีบท 3.10 . ให้ A และ B เป็นลา subsemigroups ของพื้นที่เชื่อมโยง
la เซมิกรุป S ถ้าเป็น ( , 0 ) - เหมาะกับ B เป็น 0 n ) ในอุดมคติของ S แล้ว
ผลิตภัณฑ์ AB เป็น ( m , n ) ในอุดมคติของ s ถ้า AB ⊆ .
พิสูจน์ โดยแนวกฎหมายที่เราได้รับ ( AB ) ( AB ) = ( AA ) ( BB ) ⊆ . นี้แสดงให้เห็นว่า
AB เป็นลา subsemigroup . ตอนนี้
( ( AB ) MS ( AB ) n ⊆ ( AMS ) ( anbn ) ⊆ ( SBN )
⊆ ABดังนั้นผลิตภัณฑ์ AB เป็น ( m , n ) S .

เหมาะอ้างอิง [ 1 ] . คาซิม และ naseerudin บนกึ่งกรุป Aligarh , เกือบ , วัว
คณิตศาสตร์ 2 ( 1972 ) , 7 .
[ 2 ] เอสของเราม ���แบบอุดมคติในกึ่งกรุป ACTA Sci . คณิตศาสตร์ , 22 ( 1961 ) , 217-222
.
[ 3 ] Q . และ mushtaq s.m. ยูซุฟใน Aligarh กรุปลา , วัว คณิตศาสตร์ , 8
( 1978 ) 60 .
[ 4 ] Q mushtaq s.m. ยูซุฟและท้องถิ่นเชื่อมโยงลา , กึ่ง , J .
ชัยนาทสภาวะโลกร้อน คณิตศาสตร์ ที่ 19 ( 1979 ) , 57-62 .
[ 5 ] . yaqoob M aslam พ. davvaz อักษรศาสตรบัณฑิต ซาอิด และที่หยาบ ( m , n ) เพอร์บิ -
Γ - Γ - semihypergroups , วารสารวิทยาศาสตร์ u.p.b. . ชุด ,
75 ( 1 ) ( 1 ) 119-128 .
[ 6 ] ม. aslam M shabir , เอ็น yaqoob และ A . shabir , หยาบ ( m , n ) - บีอุดมคติ
และหยาบทั่วไป ( m , n ) - อุดมคติในกรุปบี แอน คลุมเครือคณิตศาสตร์ .
แจ้ง , 2 ( 2 ) ( 2011 ) 141-150 .
ที่ได้รับ : 14 มกราคม 2013