Recurring fraction" redirects here.

Recurring fraction" redirects here. It is not to be confused with Repeating decimal.
a_0 + cfrac{1}{a_1 + cfrac{1}{a_2 + cfrac{1}{ ddots + cfrac{1}{a_n} }}}
A finite continued fraction, where n is a non-negative integer, a0 is an integer, and ai is a positive integer, for i=1,…,n.
In mathematics, a continued fraction is an expression obtained through an iterative process of representing a number as the sum of its integer part and the reciprocal of another number, then writing this other number as the sum of its integer part and another reciprocal, and so on.[1] In a finite continued fraction (or terminated continued fraction), the iteration/recursion is terminated after finitely many steps by using an integer in lieu of another continued fraction. In contrast, an infinite continued fraction is an infinite expression. In either case, all integers in the sequence, other than the first, must be positive. The integers ai are called the coefficients or terms of the continued fraction.[2]

Continued fractions have a number of remarkable properties related to the Euclidean algorithm for integers or real numbers. Every rational number
p
/
q
has two closely related expressions as a finite continued fraction, whose coefficients ai can be determined by applying the Euclidean algorithm to (p, q). The numerical value of an infinite continued fraction will be irrational; it is defined from its infinite sequence of integers as the limit of a sequence of values for finite continued fractions. Each finite continued fraction of the sequence is obtained by using a finite prefix of the infinite continued fraction's defining sequence of integers. Moreover, every irrational number α is the value of a unique infinite continued fraction, whose coefficients can be found using the non-terminating version of the Euclidean algorithm applied to the incommensurable values α and 1. This way of expressing real numbers (rational and irrational) is called their continued fraction representation.

It is generally assumed that the numerator of all of the fractions is 1. If arbitrary values and/or functions are used in place of one or more of the numerators or the integers in the denominators, the resulting expression is a generalized continued fraction. When it is necessary to distinguish the first form from generalized continued fractions, the former may be called a simple or regular continued fraction, or said to be in canonical form.

The term continued fraction may also refer to representations of rational functions, arising in their analytic theory. For this use of the term see Padé approximation and Chebyshev rational functions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ส่วนที่เกิดขึ้น "redirects here. จะไม่ต้องวุ่นวายกับการทำซ้ำทศนิยม.
a_0 + cfrac {1} {a_1 + cfrac {1} {a_2 + cfrac {1} { ddots + cfrac {1} {a_n }}}}
เศษส่วนอย่างต่อเนื่องแน่นอนโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ, a0 เป็นจำนวนเต็มและไอเป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับ i = 1, ... , n.
ในคณิตศาสตร์ส่วนยังคงมีการแสดงออกที่ได้รับผ่าน กระบวนการซ้ำของแทนจำนวนเป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็มของตนและซึ่งกันและกันของหมายเลขอื่นแล้วเขียนนี้จำนวนอื่น ๆ เป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็มของตนและซึ่งกันและกันอีกและอื่น ๆ . [1] ในส่วนอย่างต่อเนื่อง จำกัด ( หรือยกเลิกอย่างต่อเนื่องส่วน) ซ้ำ / การเรียกซ้ำถูกยกเลิกหลังจากที่หลายขั้นตอนขีดโดยใช้จำนวนเต็มแทนเศษส่วนต่อเนื่องอีก. ในทางตรงกันข้ามไม่มีที่สิ้นสุดส่วนอย่างต่อเนื่องคือการแสดงออกที่ไม่มีที่สิ้นสุด. ในทั้งสองกรณีจำนวนเต็มทั้งหมดในลำดับอื่น ๆ กว่าครั้งแรกจะต้องบวก. จำนวนเต็ม ai จะเรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์หรือเงื่อนไขของส่วนอย่างต่อเนื่อง. [2] เศษส่วนต่อเนื่องมีจำนวนของคุณสมบัติที่โดดเด่นที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนวิธี Euclidean สำหรับจำนวนเต็มหรือตัวเลขที่แท้จริง ทุกจำนวนจริงพี/ คิวมีสองสำนวนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในฐานะที่เป็นส่วนต่อเนื่อง จำกัด ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ ai จะถูกกำหนดโดยใช้ขั้นตอนวิธี Euclidean ถึง (p, q) ค่าตัวเลขของเศษส่วนต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดจะไม่มีเหตุผล; มันถูกกำหนดจากลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนเต็มเป็นขีด จำกัด ของลำดับของค่าสำหรับเศษส่วนอย่างต่อเนื่องแน่นอนที่ แต่ละส่วนอย่างต่อเนื่อง จำกัด ของลำดับจะได้รับโดยใช้คำนำหน้าแน่นอนของการกำหนดเศษส่วนต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดของลำดับของจำนวนเต็ม นอกจากนี้ทุกจำนวนอตรรกยะαคือค่าของส่วนที่ไม่ซ้ำกันอย่างต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์สามารถพบได้โดยใช้รุ่นที่ไม่ใช่การยกเลิกขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดนำไปใช้กับค่าเปรียบเทียบกันไม่ได้แอลฟาและ 1. วิธีการแสดงจำนวนจริงนี้ (เหตุผลและไม่มีเหตุผล ) เรียกว่าเป็นตัวแทนของพวกเขาอย่างต่อเนื่องส่วน. มันจะสันนิษฐานกันโดยทั่วไปว่าเศษทั้งหมดของเศษส่วนคือ 1. หากค่าโดยพลการและ / หรือฟังก์ชั่นที่ใช้ในสถานที่หนึ่งหรือมากกว่าของ numerators หรือจำนวนเต็มใน denominators ที่ส่งผลให้ การแสดงออกเป็นเศษส่วนต่อเนื่องทั่วไป เมื่อมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะแยกแยะรูปแบบครั้งแรกจาก fractions ต่อเนื่องทั่วไปในอดีตอาจจะเรียกว่าส่วนอย่างต่อเนื่องง่ายหรือปกติหรือกล่าวได้ว่าเป็นในรูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ. ส่วนอย่างต่อเนื่องในระยะนี้ยังอาจหมายถึงตัวแทนของฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลที่เกิดขึ้นในของพวกเขา ทฤษฎีการวิเคราะห์ สำหรับการใช้งานในระยะนี้เห็นPadéประมาณเซฟและฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อีกเศษส่วนป่าฝน มันไม่ควรจะสับสนกับทศนิยม .
a_0 cfrac { 1 } { a_1 cfrac { 1 } { a_2 cfrac { 1 } { ddots cfrac { 1 } } } } }
{ a_n จำกัดเศษส่วนต่อเนื่องโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ , A0 เป็นจำนวนเต็ม และ AI เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับฉัน = 1 , . . . , N .
ในคณิตศาสตร์เป็นเศษส่วนต่อเนื่องคือการแสดงออกที่ได้รับผ่านกระบวนการซ้ำแทนจำนวนที่ผลรวมของส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและส่วนกลับของหมายเลขอื่น แล้วเขียนหมายเลขอื่น ๆ นี้ เป็น ผลรวมของส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและอีกส่วนกลับ และอื่น ๆ . [ 1 ] ในขอบเขตเศษส่วนต่อเนื่อง ( หรือยกเลิกเศษส่วนต่อเนื่อง )ซ้ำซ้ำและจะสิ้นสุดลงหลังจาก / จำกัดหลายขั้นตอนโดยใช้จำนวนเต็มแทนอื่นต่อไปเศษ . ในทางตรงกันข้ามเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์คือการแสดงออกที่อนันต์ ในทั้งสองกรณี , จำนวนเต็มทั้งหมดในลำดับอื่น กว่าครั้งแรก ต้องบวก จำนวนเต็ม Ai จะเรียกว่าสัมประสิทธิ์หรือข้อตกลงของเศษส่วนต่อเนื่อง [ 2 ]

เศษส่วนต่อเนื่องมีจำนวนมากคุณสมบัติที่โดดเด่นที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับจำนวนเต็มและจำนวนจริง ทุกจำนวนตรรกยะ
P
/
q
มี 2 สำนวนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดเป็นเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดที่มีค่า AI สามารถกำหนดโดยการใช้อัลกอริทึมที่จะใช้ ( P ,   Q ) ค่าตัวเลขของเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์จะไม่มีเหตุผล ;มันถูกกำหนดจากลำดับอนันต์ของจำนวนเต็มเป็นลิมิตของลำดับของค่าของเศษส่วนต่อเนื่องจำกัด . แต่ละวิธี เศษส่วนต่อเนื่องของลำดับได้ใช้คำนำหน้าจำกัดของเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์การลำดับของจำนวนเต็ม . นอกจากนี้ ทุกจำนวนนับαคือคุณค่าของเอกลักษณ์เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ ,ที่มีค่าสามารถพบได้ไม่ใช้เลิกใช้รุ่นของอัลกอริทึมที่ใช้กับคุณค่าที่เปรียบเทียบกันไม่ได้αและ 1 ด้วยวิธีนี้ได้แก่ ตัวเลขจริง ( ที่มีเหตุผลและไม่มีเหตุผล ) เรียกว่าของเศษส่วนต่อเนื่องแทน

มันมักจะสันนิษฐานว่า เศษของเศษส่วนเป็น 1ถ้าค่าโดยพลการและ / หรือฟังก์ชันที่ใช้ในสถานที่หนึ่งหรือมากกว่าของตัวเลข หรือ จำนวนเต็มใน denominators ผลการแสดงออกเป็นเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป . เมื่อมันเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อแยกรูปแบบแรกจากเศษส่วนต่อเนื่องนัย อดีต อาจจะเรียกง่ายๆ หรือปกติเศษส่วนต่อเนื่อง หรือบอกว่าเป็นลูกโลกประดับกางเขน .

คำว่าเศษส่วนต่อเนื่องอาจหมายถึงตัวแทนของฟังก์ชันที่มีเหตุผลที่เกิดขึ้นในทฤษฎีวิเคราะห์ของพวกเขา นี้ใช้ระยะดูประมาณจากแผ่นและฟังก์ชันการเซฟ .