For example, {displaystyle f(x)=x^{

For example, {displaystyle f(x)=x^{2}} f(x)=x^{2} is a superadditive function for nonnegative real numbers because the square of {displaystyle (x+y)} (x+y) is always greater than or equal to the square of {displaystyle x} x plus the square of {displaystyle y} y, for nonnegative real numbers {displaystyle x} x and {displaystyle y} y.

The analogue of Fekete's lemma holds for subadditive functions as well. There are extensions of Fekete's lemma that do not require the definition of superadditivity above to hold for all m and n. There are also results that allow one to deduce the rate of convergence to the limit whose existence is stated in Fekete's lemma if some kind of both superadditivity and subadditivity is present. A good exposition of this topic may be found in Steele (1997).[2][3]

If f is a superadditive function, and if 0 is in its domain, then f(0) ≤ 0. To see this, take the inequality at the top. {displaystyle f(x)leq f(x+y)-f(y)} f(x)leq f(x+y)-f(y). Hence {displaystyle f(0)leq f(0+y)-f(y)=0} f(0)leq f(0+y)-f(y)=0

The negative of a superadditive function is subadditive.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวอย่างเช่น, { displaystyle f (x) = x ^ { 2 } } f (x) = x ^ { 2 } เป็นฟังก์ชันจำนวนจริง nonnegative superadditive เพราะตาราง {displaystyle (x + y) } (x + y) อยู่เสมอมากกว่า หรือเท่ากับตาราง { displaystyle x } x บวก y {displaystyle y } สำหรับจำนวนจริง nonnegative ตาราง { displaystyle x } x และ y {displaystyle y }อนาล็อกของหน่วยการของ Fekete ถือสำหรับฟังก์ชั่น subadditive เช่นกัน มีส่วนขยายของหน่วยการของ Fekete ที่ไม่ต้องนิยามของ superadditivity ข้างจะถือทั้ง m และ n มีผลที่ช่วยให้หนึ่งคาดเดาอัตราบรรจบกันเพื่อดำรงอยู่ซึ่งจะระบุในหน่วยการของ Fekete ถ้าบางชนิดของ superadditivity และ subadditivity ที่มีอยู่จำกัด นิทรรศการที่ดีหัวข้อนี้อาจพบในขา (1997) [2] [3]ถ้า f เป็นฟังก์ชัน superadditive และ ถ้า 0 อยู่ในโดเมนของตน แล้ว f(0) ≤ 0 การเห็นสิ่งนี้ ใช้อสมการที่ด้านบน {displaystyle f (x) leq f(x+y)-f(y) } f (x) leq f(x+y)-f(y) ด้วยเหตุนี้ { displaystyle f (0) leq f(0+y)-f (y) = 0 } f (0) leq f(0+y)-f (y) = 0ในทางลบของฟังก์ชัน superadditive เป็น subadditive

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ยกตัวอย่างเช่น { displaystyle f (x) = x ^ {2}} f (x) = x ^ {2} เป็นฟังก์ชัน superadditive สำหรับจำนวนจริงไม่เป็นลบเนื่องจากตารางของ { displaystyle (x + y)} (x ที่อยู่ + y) อยู่เสมอมากกว่าหรือเท่ากับตาราง { displaystyle x} x บวกตาราง { displaystyle y} Y ที่สำหรับจำนวนจริงไม่เป็นลบ { displaystyle x} x และ { displaystyle y} Y.

อะนาล็อก ของสีดำแทรกถือสำหรับฟังก์ชั่น subadditive เช่นกัน มีส่วนขยายของแทรกสีดำที่ไม่จำเป็นต้องมีคำนิยามของ superadditivity ดังกล่าวข้างต้นจะถือสำหรับ M และ n เป็น นอกจากนี้ยังมีผลที่ให้หนึ่งในการอนุมานอัตราของการบรรจบกันที่จะ จำกัด การดำรงอยู่คือที่ระบุในสีดำแทรกถ้าชนิดของทั้ง superadditivity และ subadditivity บางเป็นปัจจุบัน การแสดงออกที่ดีของหัวข้อนี้อาจพบได้ในสตีล (1997). [2] [3]

ถ้า F เป็นฟังก์ชัน superadditive และถ้า 0 อยู่ในโดเมนของมันแล้ว F (0) ≤ 0. เพื่อดูนี้ใช้ ความไม่เท่าเทียมกันที่ด้านบน { displaystyle f (x) leq f (x + y) -f (y)} f (x) leq f (x + y) -f (Y) ดังนั้น { displaystyle F (0) leq F (0 + Y) -f (Y) = 0} F (0) leq F (0 + Y) -f (Y) = 0

เชิงลบของฟังก์ชัน superadditive คือ subadditive

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น { displaystyle f ( x ) = x ^ { 2 } } F ( x ) = x ^ { 2 } เป็นฟังก์ชัน superadditive จำนวนจริง nonnegative เพราะตารางของ { displaystyle ( x + y ) } ( x + y ) เสมอมากกว่าหรือเท่ากับกำลังสองของ { displaystyle x } x บวกกับตารางของ { displaystyle Y } Y สำหรับ nonnegative ตัวเลขจริง { displaystyle x } x { displaystyle Y } Yอนาล็อกของ fekete ของฟางถือสำหรับฟังก์ชัน subadditive เช่นกัน มีนามสกุลของ fekete เป็นบทตั้งที่ไม่ต้องการคำนิยามของ superadditivity ข้างต้นไว้ทั้งหมด และได้ นอกจากนี้ยังมีผลที่ช่วยให้หนึ่งเพื่อสรุปอัตราการลู่เข้าของการ จำกัด ที่มีการระบุใน fekete ของฟางถ้าเป็นทั้ง superadditivity subadditivity และเป็นปัจจุบัน นิทรรศการที่ดีของหัวข้อนี้อาจพบได้ใน Steele ( 1997 ) [ 2 ] [ 2 ]ถ้า f เป็นฟังก์ชัน superadditive ถ้า 0 อยู่ในโดเมนของ แล้ว f ( 0 ) ≤ 0 ที่เห็นนี้ใช้อสมการที่ด้านบน displaystyle leq { f ( x ) f ( x + y ) - f ( y ) } F ( x ) leq f ( x + y ) - F ( Y ) ดังนั้น { displaystyle F ( 0 ) leq F ( 0 + Y ) F ( y ) = 0 } F ( 0 ) leq F ( 0 + Y ) F ( y ) = 0ลบของฟังก์ชัน superadditive เป็น subadditive .