34 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มห

34 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557
ไอดีลเฉพาะของเนียร์เลฟท์ออลโมซท์ริง
Prime Ideals of Near Left Almost Rings
ธิติ เกตุคำ
คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยพะเยา จ.พะเยา 56000
Email: [e-mail]
บทคัดย่อ
ในงานวิจัยชิ้นนี้เป็นการขยายงานวิจัยของ T. Shah, F. Rehman and M. Raees ซึ่งเราได้นิยามและศึกษา
คุณสมบัติของไอดีลเฉพาะ และไอดีลใหญ่สุดของเอ็นแอลเอริง ถ้า M เป็นไอดีลใหญ่สุดเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N/M เป็น
เอ็นออลโมฟิลด์ และ P เป็นไอดีลเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N/P เป็นแอลเออินกรัลโดเมน
คำสำคัญ เอ็นแอลเอริง ไอดีลเฉพาะ ไอดีลใหญ่สุด
Abstract
This study aimed to expand some of the results of Shah, Rehman and Raees (2011). It defined and
investigated the properties of prime ideals and maximal ideal of an nLA-ring. Moreover, M is a maximal ideal if
and only if N/M is an n-almost field and P is a prime ideal of N if and only if N/P is an LA-integral domain.
Keywords: nLA-ring: Prime ideals: Maximal ideal
1. Introduction
Kazim and Naseeruddin [1] have introduced a
pseudo associate law or left invertive law in a groupoid
G by
(ab)c = (cb)a for all a, b, c ∈ G
and have named it as left invertive law, and called the
groupoid a left almost semigroup (abbreviated as an
LA-semigroup) if it satisfies left invertive law. The
groupoid G is also called an Abel-Grassmann’s
groupoids (abbreviated as an AG-groupoids), see [1]
or [2]. It is a nonassociative algebraic structure midway
between a groupoid and a commutative semigroup.
Kazim and Naseeruddin [1] asserted that, in
every LA-semigroups G a medial law hold
(ab) (cd) = (ac)(bd) for all a, b, c, d ∈ G.
Mushtab and Khan [3] asserted that, in every
LA-semigroups G with left identity
(ab) (cd) = (db)(ca) for all a, b, c, d ∈ G.
Further Khan, Faisal, and Amjid [4], asserted
that, if a LA-semigroup G with left identity the following
law holds
a(bc) = b(ac) for all a, b, c ∈ G.
Sarwar (Kamran) [4] defined LA-group as the
following; a groupoid G is called a left almost group,
abbreviated as LA-group, if
(1) there exists e ∈ G such that ea = a for all
a∈ G,
(2) for every a ∈ G there exists a-1 ∈ G such
that, a-1a = e,
(3) (ab)c = (cb)a for all a, b, c ∈ G.
Yusuf [5] introduces the concept of a left
almost ring (LA-ring). That is, a non-empty set R with
two binary operations “+” and “⋅” is called a left
almost ring, if (R, +) is an LA-group, (R,⋅) is an
LA-semigroup and distributive laws of “⋅” over “+”
holds. Shah and Rehman [6] asserted that a commuวา
รสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557 35
tative ring (R, +, ⋅) we can always obtain an LA-ring
(R, ⊕, ⋅) by defining, for a, b ∈ R, a ⊕ b = b – a and
ab is same as in the ring. We cannot assume the addition
to be commutative in an LA-ring.
An LA-ring (R, +, ⋅) is said to be LA-integral
domain if ab = 0 for all a, b ∈ R then a = 0 or b = 0.
Let (R, +,⋅) be an LA-ring and S be a nonempty
subset of R and S is itself and LA-ring under
the binary operation induced by R, the S is called an
LA-subring of R, then S is called an LA-subring of (R,
+, ⋅). If S is an LA-subring of an LA-ring (R, +, ⋅) then
S is called a left ideal of R if RS ⊆ S. Right and twosided
ideals are defined in the usual manner.
By [7] a near-ring is a non-empty set N together
with two binary operations “+” and “⋅” such that
(N, +) is a group (not necessarily abelian), (N, +) is a
semigroup and one sided distributive (left or right) of
“⋅”over “+” holds.
By [8] An ideal P of a near ring N is said to be
prime if IJ⊆ P then I⊆ P or J⊆ P for all I, J ideal of N.
Let N be a near-ring, K an ideal of N. Let N/K = {K+
n|n ∈ N} be the set of cosets of K in N. Then (N/K,
+,⋅) is called the quotient near-ring of N by or over K,
where “+” and “⋅” are defined by (K+ n1)+(K + n2) = K
+ n1+ n2 and (K+n1)⋅(K+n2) = K+ n1n2 for all n1,n2∈ N.
2 Near Left Almost Rings
T. Shah, F. Rehman and M. Raees [8] introduces
the concept of a near left almost ring (nLAring).
Definition 2.1. [9]. A non-empty set N with two binary
operation “+” and “⋅” is called a near left almost ring
(or simply an nLA-ring) if and only if
(1) (N, +) is an LA-group.
(2) (N, ⋅) is an LA-semigroup.
(3) Left distributive property of ⋅ over + holds,
that is a(b+c) = ab+ ac for all a, b, c ∈ N.
Proposition 2.2 [9]. If (N, +, ⋅) is an nLA-ring with
additive left identity 0, then for all a, b ∈ N we have.
(1) 0a = 0.
(2) a(-b) = -ab.
Definition 2.3. [9]. An nLA-ring (N, +, ⋅) with left identity
1; such that 1a = a for all a ∈ N, is called an nLAring
with left identity.
Definition 2.4. [9]. A nonempty subset S of an nLAring
N is said to be an nLA-subring if and only if S is
itself an nLA-ring under the same binary operations
as in N.
Definition 2.5. [9]. An nLA-subring I of an nLA-ring N
is called a left ideal of N if NI ⊆ I, and I is called a
right ideal if for all n, m ∈ N and i ∈ I such that (i +
n)m - nm∈ I; and is called two sided ideal or simply
ideal if it is both left and right ideal.
Definition 2.6 [9]. Let N be an nLA-ring and I be an
ideal of N. Let N/I = {[n] = I+ n|n ∈ N}. Then (N/I, +,⋅)
is called the quotient nLA-ring if (I + n)+ (I + m) = I +
n + m and (I + n)⋅(I + m) = I+ nm where I+ n, I + m ∈
N/I.
Definition 2.7 [9]. Let (N, +, ⋅) be an nLA-ring.
(a) An element a∈ N is called left (right) cancellative
if ab = ac, then b = c (ba = ca then b = c) where a, b,
c ∈ N, and a is called cancellative if it is both left and
right cancellative. However the nLA-ring N is called
cancellative if each element in N is cancellative.
(b) A non-zero element a of N is called a left zero divisor
if there exists 0 ≠ b ∈ N such that ab = 0. Similarly
a is a right zero divisor if ba = 0. If a is both a left
and a right zero divisor, then a is called a zero divisor.
Definition 2.8 [9]. An nLA-ring (D, +, ⋅) with left identity
1, is called an nLA-integral domain if it has no left
zero divisor.
The theorem following we will proof right cancellation
law hold in an nLA-integral domain by proof analogous
as in [10].
Theorem 2.9. The right cancellation law holds in an
nLA-ring N, then N is an nLA-integral domain.
36 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557
Proof. Let N is an nLA-ring with right cancellation and
suppose that ab = 0 for some a,b ∈ N.
To show that a = 0. For b ≠ 0. Consider
ab = 0
ab = 0b, by Proposition 2.2 (1)
a = 0, by right cancellation law.
Then N is an nLA-ring integral domain.
Definition 2.10 [9]. An nLA-ring (F, +, ⋅) with left identity
1, is called a near almost field (n-almost field) if
and only if each non-zero element of F has inverse
under “×”.
Theorem 2.11 [9]. Every finite nLA-integral domain is
an n-almost field.
Definition 2.12 [9] Let (N, +, ⋅) be an nLA-ring with left
identity 1. An element 0 ≠ n∈ N is called unit if there
exists m∈ N such that mn = mn = 1.
Next we study properties of unit of nLA-ring with
proved same in [12].
Lemma 2.13 If N is an n-LAring with unity and I is an
ideal of N. Then I = N if and only if N contains a unit.
Proof. If I = N then 1N ∈ N, and so N contains a unit.
Conversely, let u∈ I where u be a unit in N,
then u-1 ∈ N. Thus u-1u = 1N ∈ N. Since I is an ideal
we have for all n ∈ N, n = n1N ∈ N implies N ⊆ I.
Thus I = N.
3. Maximal and Prime ideal of Near Left Almost
Rings
Next we defines of a maximal and prime ideal in nLAring
is defines the same as a maximal and prime
ideal in near-ring in [7].
Definition 3.1. An ideal M ≠ N in nLA-ring N is called
a maximal ideal of N if wherever I is an ideal of N
such that M⊆ I ⊆ N then either N = I or M = I.
Definition 3.2 An ideal P of a nLA-ring N is said to be
prime if IJ⊆ P then I⊆ P or J⊆ P for all I, J ideal of N.
The following theorems with proved is analogous
as in [12].
Theorem 3.3. Let N be an nLA-ring with left identity
and let M be an ideal of N. Then M is a maximal
ideal if and only if N/M is an n-almost field.
Proof. (⇒) Suppose that M is a maximal ideal in N
implies M ≠ N. Let (M + a) ∈ N/M with a ∉ M so that
M + a is not additive identity of N/M. We must show
that M + a has a multiplication inverse in N/M. Let
I = {m + na|n ∈ N, m ∈ M}.
Then I is an ideal of N, since
(m1 + n1a)+ (m2 + n2a) = (m1 + m2)+ (n1 + n2)a ∈ I,
while also,
0 = 0 + 0a and –(m + na) = (-m)+ (-n)a are in I.
Now
n1(m + na) = n1m + (n1n)a,
show that n1(m + na) ∈ I for n1∈ N also. Thus I is an
ideal.
For m∈ M, m = m + 0a ∈ I, show that M ⊆ I
and a = 0 + 1a show that a∈ I. But from above a ∉
M. Hence I is an ideal of N property containing M, (M
⊆ I). Since M is a maximal, we must have I = N. In
particular, 1∈ I. Then by definition of
I there is b∈ N and m ∈ M such that 1 = m + ba.
Therefore
M + 1 = M + (m + ba) = (M + b)(M + a)
so M + b is a multiplication inverse of M + a.
(⇐) Suppose that N/M is an n-almost field. Then M
+1N ≠ M + 0 implies that 1N ∉ N and so M ≠ N. If I is
ideal such that
M ⊂ I, let a ∈ I – M. Then M + a has a multiplication
inverse in N/M say (M + a)(M + b) = M + 1N . Consequently
M + ab = M + 1N and ab – 1N = m∈ M, implies 1N =
ab - m∈ I because a ∈ I, m ∈ M ⊂ I. That is 1N ∈ I
so I = N,
by Lemma 2.13.
วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยอุบลราชธานี ปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

34 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557ไอดีลเฉพาะของเนียร์เลฟท์ออลโมซท์ริงเกือบแหวนอุดมคติหลักของอยู่ใกล้ธิติเกตุคำคณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยพะเยาจ.พะเยา 56000อีเมล์: [e-mail]บทคัดย่อต.ชาห์ F. Rehman และ M. Raees ซึ่งเราได้นิยามและศึกษาในงานวิจัยชิ้นนี้เป็นการขยายงานวิจัยของคุณสมบัติของไอดีลเฉพาะและไอดีลใหญ่สุดของเอ็นแอลเอริงถ้า M เป็นไอดีลใหญ่สุดเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N/M เป็นเอ็นออลโมฟิลด์และ P เป็นไอดีลเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N/P เป็นแอลเออินกรัลโดเมนคำสำคัญเอ็นแอลเอริงไอดีลเฉพาะไอดีลใหญ่สุดบทคัดย่อการศึกษานี้มุ่งเน้นการขยายของผล ของชาห์ Rehman Raees (2011) ได้กำหนดไว้ และตรวจสอบคุณสมบัติของนายกรัฐมนตรีอุดมคติและอุดมคติสูงสุดของ nLA-แหวน นอกจากนี้ M คือ ถ้าดาวสูงสุดและเฉพาะถ้า N/M คือ ฟิลด์ n เกือบ และ P คือ เหมาะเฉพาะของ N ถ้าและเฉพาะถ้า N/P มีโดลาทฤษฎีบูรณาการคำสำคัญ: nLA แหวน: นายกอุดมคติ: พักสูงสุด1. บทนำKazim และ Naseeruddin [1] ได้แนะนำตัวเทียมระบบเชื่อมโยงกฎหมายหรือกฎหมาย invertive ซ้ายในการ groupoidG โดย(ab) c = (cb) ที่สำหรับทุก a, b, c ∈ Gได้ชื่อว่าเป็นกฎหมายด้านซ้าย invertive และเรียกว่าการgroupoid ซ้ายเกือบ semigroup (ย่อเป็นการLA-semigroup) ถ้ามันเป็นไปตามกฎหมายซ้าย invertive ที่groupoid G จะเรียกว่าเป็น Abel-Grassmann ของgroupoids (ย่อเป็นการ groupoids AG), ดู [1]หรือ [2] จะเป็นมิดเวย์โครงสร้างพีชคณิต nonassociativeระหว่าง groupoid และ semigroup สลับKazim และ Naseeruddin [1] คนที่ ในเก็บ G semigroups ลาทุกกฎหมายด้านใกล้กลาง(ab) (ซีดี) = (ac)(bd) สำหรับ b a ทั้งหมด c, d ∈กรัมMushtab และคัน [3] คนที่ ในทุกG semigroups ลามีซ้าย(ab) (ซีดี) = (db)(ca) สำหรับ b a ทั้งหมด c, d ∈กรัมคันต่อไป ฟัย และ Amjid [4], คนที่ ถ้า G ลา semigroup กับปล่อยตัวต่อไปนี้ถือกฎหมายa(bc) = b(ac) สำหรับทุก a, b, c ∈กรัมSarwar (คัมราน) [4] กำหนดกลุ่มลาเป็นการต่อไปนี้ groupoid G เรียกว่าซ้ายเป็นกลุ่มเกือบย่อเป็นกลุ่มลา ถ้า(1) e ∈ G ดังกล่าวมีที่ ea =มีทั้งหมดa∈ G(2) สำหรับทุกการ∈ G มีอยู่ a-1 ∈ G เช่นที่ a-1a = e(3) (ab) c = (cb) ที่สำหรับทุก a, b, c ∈กรัมยูซุฟ [5] แนะนำแนวคิดของอยู่เกือบแหวน (แหวนลา) นั่นคือ เซตว่าง R ด้วยการดำเนินการฐานสองสอง "+" และ "⋅" เรียกว่าเป็นซ้ายเกือบแหวน ถ้า (R, +) เป็นการลากลุ่ม, (R ⋅) เป็นการลา semigroup และแจกแจงกฎของ "⋅" มากกว่า "+"เก็บ ชาห์และ Rehman [6] คนที่เป็น commuวารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557 35แหวน tative (R + ⋅) เราเสมอสามารถรับการลาวงแหวน(R ดังนั้น ⋅) ด้วยการกำหนด สำหรับ a, b ∈ R, b ดังนั้น = b – การ และab อยู่เดียวในแหวน เราไม่คิดเพิ่มจะสลับในการลาวงแหวนการลาวงแหวน (R + ⋅) กล่าวได้ว่า เป็นทฤษฎีบูรณาการ ลาโดเมนถ้า ab = 0 สำหรับทุก a, b ∈ R แล้วการ = 0 หรือ b = 0ให้ (R + ⋅) เป็นลา-แหวน และ S เป็น nonemptyชุดย่อยของ R และ S เป็นตัวเองและลาวงแหวนใต้การดำเนินการเกิดจาก R, S เรียกว่าการเรียกว่า LA subring ของ R แล้ว S subring ลาการของ (R+, ⋅). ถ้า S เป็นการ subring ลาของการลาวงแหวน (R + ⋅) แล้วS คือเหมาะซ้ายของ R ถ้า⊆อาร์เอสเอส ขวาและ twosidedมีกำหนดอุดมคติตามปกติโดย [7] ที่ใกล้วงแหวนเป็น N เซตว่างกันมีการดำเนินการฐานสองสอง "+" และ "⋅" ให้(N, +) เป็นกลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องอาบีเลียน), (N, +) เป็นการsemigroup และหนึ่งหน้าแจกแจง (ซ้ายหรือขวา) ของ"⋅" มากกว่า "+" ถือโดย [8] P เหมาะเป็นแหวนใกล้ N กล่าวได้ว่า เป็นถ้าจุด IJ⊆ P แล้ว I⊆ P หรือ P J⊆ สำหรับทุก I, J เหมาะของ N.ให้ N เป็นตัวใกล้วงแหวน K เหมาะของ N. ให้ N/K = {K +n|n ∈ N } เป็นชุดของ cosets ของ K ใน N. แล้ว (N/K+, ⋅) เรียกว่าผลหารใกล้แหวนของ N โดย หรือ Kที่ "+" และ "⋅" กำหนด โดย (K + n1) (K + n2) = Kn1 + n2 + และ (K+n1)⋅(K+n2) = K + n1n2 สำหรับทั้งหมด n1, n2∈ N.2 ใกล้ซ้ายเกือบแหวนต.ชาห์ F. Rehman และ Raees เมตร [8] แนะนำแนวคิดของซ้ายใกล้เกือบแหวน (nLAring)นิยาม 2.1 [9] . N เป็นเซตว่าง ด้วยไบนารี 2การดำเนินงาน "+" และ "⋅" เรียกว่าซ้ายใกล้เกือบแหวน(หรือเพียงการ nLA-วงแหวน) ถ้าและเฉพาะถ้า(1) (N, +) เป็นลากลุ่ม(2) (N ⋅) เป็นการลา semigroup(3) สมบัติด้านซ้ายของ⋅กว่า + ได้คือ a(b+c) = ab + ac สำหรับทุก a, b, c ∈ N.ข้อเสนอที่ 2.2 [9] ถ้า (N + ⋅) เป็นแหวน nLA ที่มีการบวกซ้าย 0 แล้วทั้ง a, b ∈ N เรามีตัวตน(1) 0a = 0(2) a(-b) = - abข้อกำหนดที่ 2.3 [9] เป็น nLA-วงแหวน (N + ⋅) มีซ้าย1 ที่ 1a =ที่สำหรับทั้งหมด∈ N เรียกว่าเป็น nLAringมีเอกลักษณ์ซ้ายนิยาม 2.4 [9] การย่อย nonempty S ของการ nLAringN กล่าวได้ว่า เป็นการ subring nLA ถ้าและเฉพาะถ้า Sตัวเองเป็นแหวน nLA ภายใต้การดำเนินงานของไบนารีเดียวกันเหมือนใน N.นิยาม 2.5 [9] . subring nLA ที่ฉันตัว N nLA-แหวนเรียกว่าเหมาะซ้ายของ N ถ้า NI ⊆ฉัน และฉันจะเรียกว่าเป็นขวาและถ้าเหมาะสำหรับทุก n, m ∈ N ∈ผมให้ (ผม +n) เอ็ม - nm∈ ฉัน และจะเรียกว่าสองหน้าเหมาะ หรือเพียงยอดเยี่ยมถ้าทั้งซ้าย และขวาเหมาะข้อกำหนดที่ 2.6 [9] ให้ N เป็นแหวน nLA มี และฉันเป็นสำรองห้องพักของ N. ให้ N / ฉัน = { [n] =ฉัน + n|n ∈ N } แล้ว (N / ฉัน + ⋅)เรียกว่าผลหาร nLA-แหวนถ้า (ผม + n) + (ผม + m) =ฉัน +n + m และ (ผม + n) ⋅ (ผม + m) =ฉัน + nm ที่ฉัน n ฉัน + m ∈N / ฉันข้อกำหนด 2.7 [9] ให้ (N + ⋅) nLA-แหวนได้(ก) มีองค์ประกอบ a∈ N เรียกว่าซ้าย (ขวา) cancellativeถ้า ab = ac แล้ว b = c (บา = ca แล้ว b = c) a, bc ∈ N และเรียกว่า cancellative มันมีทั้งด้านซ้าย และcancellative ขวา อย่างไรก็ตาม เรียกว่า N nLA-แหวนcancellative ว่าแต่ละองค์ประกอบใน N cancellative(ข) องค์ประกอบไม่ใช่ศูนย์เป็นของ N เรียกว่าตัวหารซ้ายศูนย์ถ้ามี 0 ≠ b ∈ N เช่นที่ ab = 0 ในทำนองเดียวกันการมีสิทธิเป็นศูนย์หารถ้าบา = 0 ถ้าเป็นเป็นทั้งซ้ายและตัวขวาศูนย์ หาร แล้วเรียกว่าตัวหารเป็นศูนย์นิยาม 2.8 [9] การ nLA-วงแหวน (D + ⋅) มีซ้าย1 จะเรียกว่าโดเมนเป็นทฤษฎีบูรณาการ nLA ซ้ายไม่มีศูนย์หารด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้เราจะสะกดขวายกเลิกกฎหมายค้างในโดเมน nLA ทฤษฎีบูรณาการ โดยหลักฐานคู่เหมือนใน [10]ทฤษฎีบท 2.9 กฎหมายยกเลิกถูกเก็บในการnLA แหวน N, N แล้วมีโดเมนเป็นทฤษฎีบูรณาการ nLA36 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557หลักฐานการ ให้ N เป็นแหวน nLA ผิดกับถูกยกเลิก และสมมติว่า ab = 0 สำหรับ a, b ∈ N.เพื่อแสดงว่าเป็น = 0 สำหรับ b ≠ 0 พิจารณาab = 0ab = 0b โดยเสนอ 2.2 (1)คำ = 0 ตามกฎหมายถูกยกเลิกแล้ว N เป็นโดเมนการทฤษฎีบูรณาการ nLA-แหวนนิยาม 2.10 [9] การ nLA-วงแหวน (F + ⋅) มีซ้ายเรียกว่า 1 ใกล้เกือบฟิลด์ (n เกือบฟิลด์) ถ้าและ เมื่อแต่ละองค์ประกอบหนึ่งของ F ได้ผกผันภายใต้ "ลอก"ทฤษฎีบทที่ 2.11 [9] เป็นโดเมนทุกทฤษฎีบูรณาการ nLA จำกัดมี n เกือบฟิลด์ความละเอียด 2.12 [9] ให้ (N + ⋅) จะมีแหวน nLA กับซ้ายรหัสประจำตัว 1 การ n∈ ≠ 0 องค์ประกอบ N คือหน่วยถ้ามีm∈ N ดังกล่าวอยู่ที่ mn = mn = 1ต่อไปเราศึกษาคุณสมบัติของ nLA-แหวนกับหน่วยพิสูจน์กันใน [12]จับมือ 2.13 ถ้า N เป็น n-LAring ด้วยความสามัคคี และฉันเป็นสำรองห้องพักของ N. แล้วฉัน = N ถ้าและเฉพาะถ้า N ประกอบด้วยหน่วยการหลักฐานการ ถ้าฉัน = 1N แล้ว N ∈ N และเพื่อ ให้หน่วยประกอบด้วย Nในทางกลับกัน ให้ u∈ ฉันที่ u เป็นหน่วยใน Nแล้ว u-1 ∈ N. ดังนั้น u 1u = 1N ∈ N. ตั้งแต่ฉันเป็นเหมาะเรามีทั้งหมด n ∈ N, n = n1N ∈ N หมายถึง N ⊆ฉันดังนั้นฉัน = N.3. สูงสุดและนายกเหมาะของใกล้ซ้ายเกือบแหวนต่อไป เรากำหนดสูงสุดและเหมาะใน nLAring นายกจะกำหนดว่าเป็นสูงสุดและนายกเหมาะในใกล้กับวงแหวนใน [7]ข้อกำหนดที่ 3.1 เรียกว่าเป็นห้อง M ≠ N ใน N nLA-แหวนอุดมคติสูงสุดของ N ถ้าไม่ฉันเหมาะของ Nที่ M⊆ ฉัน⊆ N แล้ว N ใด =ฉันหรือ M =ฉันข้อกำหนด 3.2 P เหมาะของ N nLA แหวนกล่าวได้ว่า เป็นถ้าจุด IJ⊆ P แล้ว I⊆ P หรือ P J⊆ สำหรับทุก I, J เหมาะของ N.ทฤษฎีต่อไปนี้กับได้เป็นคู่ใน [12]ทฤษฎีบท 3.3 ให้ N เป็นตัวแหวน nLA มีซ้ายให้ M เป็นเหมาะของ N. แล้ว M เป็นตัวสูงสุดยอดเยี่ยมถ้าและเฉพาะถ้า N/M คือ ฟิลด์ n เกือบหลักฐานการ (⇒) สมมติว่า M เป็นอุดมคติสูงสุดใน NM ≠ N. หมายถึง ให้ (M + การ) ∈ N/M กับ∉ M ให้M + การมีเอกลักษณ์การบวกของ N/M ไม่ เราต้องแสดงที่ M + กับมีตัวผกผันการคูณให้ N/ม.ฉัน = { m + na|n ∈ N, m ∈ M }แล้ว ฉันเหมาะของ N ตั้งแต่(m1 + n1a) + (m2 + n2a) = (m1 + m2) (n1 + n2) ∈เป็นในขณะที่ยัง0 = 0 + 0a และ - (m + นา) = (-m) + (-n) อยู่ในฉันขณะนี้n1(m + na) = n1m + (n1n) aแสดงว่า n1 (m + นา) ∈ n1∈ N สำหรับฉันยัง ฉันจึงมีสำรองห้องพักสำหรับ m∈ M, m = m + 0a ∈ แสดง⊆ M ที่ฉันและ a = 0 + 1a แสดง a∈ ที่ฉัน แต่ ก∉เป็นเมตร ดังนั้น ฉันเหมาะของ N ที่ประกอบด้วย M, (M⊆ I). เมตรเป็น ความสูงสุด เราต้องมีฉัน =ตอนเหนือ1∈ ใด ฉันนั้น แล้ว ตามด้วยคำจำกัดความของมีเป็น b∈ N และ m ∈ M เช่นที่ 1 = m + บาดังนั้นM + 1 = M (m + ba) = (M + b)(M + a)ดังนั้น M + b ผกผันการคูณของ M + กับ(⇐) สมมติว่า N/M ฟิลด์ n เกือบ แล้ว M+ 1N ≠ M + 0 หมายถึง∉ 1N ที่ N และ M ≠ N. ถ้าฉันเป็นสำรองห้องพักที่M ⊂ ให้เป็น∈ I – M แล้ว M + มีตัวคูณผกผันในพูด N/M (M +)(M + b) = M + 1N ดังนั้นM + ab = M + 1N และ ab-1N = m∈ M ความหมายของ 1N =ab - m∈ ผมเนื่องจากเป็น∈ I, m ∈ M ⊂ฉัน คือ 1N ∈ฉันดังนั้นฉัน = Nโดยจับมือ 2.13วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

34 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม อุดมคติของใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวนธิติเกตุคำคณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยพะเยาพะเยา56000 จ. อีเมล์: ตชาห์เรห์นเอฟเอ็มและ Raees และไอดีลใหญ่สุดของเอ็นแอลเอริงถ้า M เป็นไอดีลใหญ่สุดเฉพาะของเอ็นก็ต่อเมื่อไม่มี / M เป็นเอ็นออลโมฟิลด์และP เป็นไอดีลเฉพาะของเอ็นก็ต่อเมื่อไม่มี / พีแอลเป็นเออินกรัลโดเมนคำสำคัญเอ็นแอลเอริงไอดีลเฉพาะไอดีลใหญ่สุดบทคัดย่อการศึกษาครั้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อขยายบางส่วนของผลการชาห์เรห์และRaees นี้ (2011) มันกำหนดและตรวจสอบคุณสมบัติของอุดมคติที่สำคัญและเหมาะสูงสุดของสนชแหวน นอกจากนี้ M เป็นอุดมคติสูงสุดถ้าหากว่ายังไม่มีข้อความ/ M เป็น n-เกือบภาคสนามและ P เป็นที่ที่เหมาะที่สำคัญของเอ็นและถ้าหากยังไม่มีข้อความ / P โดเมน LA-หนึ่ง. คำสำคัญ: NLA แหวน: อุดมคตินายกรัฐมนตรี : เหมาะสูงสุด1 บทนำKazim และ Naseeruddin [1] ได้นำกฎหมายร่วมหลอกหรือซ้ายกฎหมายinvertive ใน groupoid G โดย(AB) c = (CB) สำหรับทุก b, c ∈ G และมีชื่อเป็นซ้ายกฎหมาย invertive และ เรียกว่าgroupoid ซ้ายเกือบ semigroup (ย่อเป็นLA-semigroup) ถ้ามันสอดคล้องกับกฎหมาย invertive ซ้าย groupoid G จะเรียกว่ายังมีอาเบล Grassmann ของgroupoids (ย่อเป็น AG-groupoids) ดู [1] หรือ [2] มันเป็นโครงสร้างที่เกี่ยวกับพีชคณิต nonassociative ตรงกลางระหว่างgroupoid และ semigroup สับเปลี่ยน. Kazim และ Naseeruddin [1] ซึ่งถูกกล่าวหาว่าในทุกLA-semigroups G ถือกฎหมายอยู่ตรงกลาง(AB) (ซีดี) = (AC) (BD) สำหรับทุกคน b, c, d ∈กรัมMushtab และข่าน [3] ซึ่งถูกกล่าวหาว่าในทุกLA-G กึ่งกรุปที่มีตัวตนซ้าย(AB) (ซีดี) = (ฐานข้อมูล) (CA) สำหรับทุก A, B, C, D ∈ G. เพิ่มเติมข่าน Faisal และ Amjid [4] ซึ่งถูกกล่าวหาว่าถ้าLA-G semigroup ที่มีตัวตนซ้ายต่อไปนี้กฎหมายถือ(BC) = ข (AC) สำหรับทุก b, c ∈จีโฉบ( เร็น) [4] กำหนด LA-กลุ่มเป็นดังต่อไปนี้ groupoid G ที่เรียกว่ากลุ่มเกือบซ้ายย่อว่าLA-กลุ่มถ้า(1) มีอยู่จ∈ G ดังกล่าวว่าเอ = สำหรับทุกa∈ G, (2) สำหรับทุก∈ G มีอยู่-1 ∈ G เช่นนั้น-1a = อี(3) (AB) c = (CB) สำหรับทุก b, c ∈จีซุฟ[5] แนะนำแนวคิดของเหลือที่เกือบแหวน(LA แหวน) นั่นคือ R ชุดที่ไม่ว่างเปล่ากับทั้งสองดำเนินการไบนารี"+" และ "⋅" เรียกว่าที่เหลือเกือบแหวนถ้า(R +) เป็น LA-กลุ่ม (r ⋅) เป็นLA-semigroup และ กฎหมายการจำหน่ายของ "⋅" มากกว่า "+" ถือ ชาห์และเรห์ [6] ซึ่งถูกกล่าวหาว่า commu วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557 35 แหวนเชิง (r + ⋅) เราสามารถได้รับ LA-แหวน(r ⊕ , ⋅) โดยกำหนดสำหรับข∈ R เป็น⊕ข = b - และAB เป็นเช่นเดียวกับในแหวน เราไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่านอกจากนี้จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงใน LA-แหวน. LA-แหวน (r + ⋅) กล่าวจะ LA-หนึ่งโดเมนถ้าAB = 0 ทั้งหมดมี b ∈ R แล้ว = 0 หรือ = 0 ให้ (r + ⋅) เป็น LA-แหวนและ S เป็นว่างย่อยของR และ S เป็นตัวเองและ LA-แหวนภายใต้การดำเนินการไบนารีที่เกิดจากR, เอสเรียกว่าLA-subring การวิจัย แล้ว S เรียกว่า LA-subring ของ (r + ⋅) ถ้า S เป็น LA-subring ของ LA-แหวน (r + ⋅) แล้วS เรียกว่าเหมาะซ้ายของ R ถ้าอาร์เอสเอส⊆ขวาและการพิมพ์สองหน้าอุดมคติที่กำหนดไว้ในลักษณะปกติ. โดย [7] ที่อยู่ใกล้ แหวนเป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่าไม่มีข้อความด้วยกันกับสองฐานปฏิบัติการ"+" และ "⋅" ดังกล่าวว่า(N, +) เป็นกลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องคริสต์) ที่ (ยังไม่มี +) เป็นsemigroup และจำหน่ายด้านหนึ่ง ( ไปทางซ้ายหรือขวา) ของ"⋅" มากกว่า "+" ถือ. โดย [8] เป็นที่เหมาะ P ของแหวนที่อยู่ใกล้ยังไม่มีการกล่าวถึงเป็นสำคัญถ้าIJ⊆ P แล้วI⊆ P หรือJ⊆ P สำหรับผมในอุดมคติของเจ N. ให้ไม่มีที่อยู่ใกล้จะเป็นแหวน K อุดมคติของเอ็นให้ n / K = {k + n | n ∈ n} เป็นชุดของ cosets ของ K ในเอ็นแล้ว (ยังไม่มีข้อความ / K, + ⋅) เป็น เรียกว่าฉลาดใกล้แหวนไม่มีหรือมากกว่าเคที่"+" และ "⋅" จะถูกกำหนดโดย (K + n1) + (k + n 2) = K + n1 + n2 และ (K + n1) ⋅ (K + n2 ) = k + n1n2 สำหรับ n1 ทุกn2∈เอ็น2 ใกล้ด้านซ้ายเกือบออฟเดอะริงตัน ชาห์เรห์นเอฟเอ็มและ Raees [8] แนะนำแนวคิดของใกล้ซ้ายเกือบแหวน(nLAring). ความละเอียด 2.1 [9] ชุดที่ไม่ว่างเปล่า N กับสองไบนารีการดำเนินงาน"+" และ "⋅" เรียกว่าเกือบจะใกล้แหวนซ้าย(หรือเพียง NLA แหวน) และถ้าหาก(1) (N, +) เป็น LA-กลุ่ม(2) (N, ⋅) เป็น LA-semigroup. (3) จำหน่ายทรัพย์สินด้านซ้ายของ⋅มากกว่า + ถือที่เป็น(ข + c) = AB C + สำหรับทุก b, c ∈เอ็นโจทย์2.2 [ 9] ถ้า (N, + ⋅) เป็นสนชแหวนที่มีเอกลักษณ์การบวกเหลือ0 แล้วทั้งหมดมี b ∈ไม่มีเราได้. (1) 0a = 0 (2) (-b) = -ab. นิยาม 2.3 [9] NLA แหวน (N, + ⋅) ที่มีตัวตนซ้าย1; เช่นที่ 1a = สำหรับทุก∈ N, เรียกว่า nLAring กับตัวตนซ้าย. ความละเอียด 2.4 [9] S เซตว่างของ nLAring ยังไม่มีการกล่าวถึงเป็นสนช-subring ถ้าหากว่า S เป็นตัวเองNLA แหวนภายใต้การดำเนินงานของไบนารีเดียวกันในขณะที่เอ็นนิยาม2.5 [9] NLA-subring ผมของสนชแหวนยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าเหมาะซ้ายไม่มีถ้า NI ⊆ฉันและฉันเรียกว่าเหมาะที่เหมาะสมถ้าn ทั้งหมดเมตร∈ไม่มีและฉัน∈ฉันดังกล่าวว่า (i + n) ม. - nm∈ฉัน; และถูกเรียกว่าสองหน้าในอุดมคติหรือเพียงเหมาะหากมีทั้งซ้ายและเหมาะที่ถูกต้อง. ความละเอียด 2.6 [9] ยังไม่มีให้เป็นสนชแหวนและฉันจะเป็นอุดมคติของเอ็นให้ n / I = {[n] = ฉัน + n | n ∈ N} จากนั้น (ยังไม่มีข้อความ / I, + ⋅) ที่เรียกว่าฉลาด NLA แหวนถ้า (I + n) + (ฉัน + ม.) = I + n + m และ (I + n) ⋅ (ฉัน + m) = I + นาโนเมตร ที่ฉัน + n ผม + m ∈ N / I. ความละเอียด 2.7 [9] ให้ (N, + ⋅) เป็นแหวนสนช. (ก) องค์ประกอบa∈ยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าซ้าย (ขวา) cancellative ถ้า AB = ac แล้วข = c (BA = ca แล้วข = c) ซึ่งเป็น ข, ค∈ N, และเรียกว่า cancellative หากมีทั้งด้านซ้ายและด้านขวาcancellative อย่างไรก็ตามสนชแหวนยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าcancellative ถ้าแต่ละองค์ประกอบใน N คือ cancellative. (ข) องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของเอ็นที่เรียกว่าศูนย์เหลือหารถ้ามี0 ≠ข∈ไม่มีข้อความดังกล่าวว่า AB = 0 ในทำนองเดียวกันเป็นสิทธิศูนย์หารถ้าบริติชแอร์เวย์ = 0 ถ้าเป็นทั้งด้านซ้ายและด้านขวาหารเป็นศูนย์แล้วจะเรียกว่าเป็นศูนย์หาร. ความละเอียด 2.8 [9] NLA แหวน (d + ⋅) ที่มีตัวตนซ้าย1 เรียกว่าสนช-หนึ่งโดเมนถ้ามันไม่มีซ้ายศูนย์หาร. ทฤษฎีบทต่อไปนี้เราจะพิสูจน์การยกเลิกสิทธิกฎหมายไว้ในโดเมน NLA-หนึ่งหลักฐานที่คล้ายคลึง ในขณะที่ [10]. ทฤษฎีบท 2.9 การยกเลิกกฎหมายที่ถูกต้องถือในNLA แหวน N, N คือแล้วโดเมน NLA-หนึ่ง. 36 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557 หลักฐาน ยังไม่มีให้เป็นสนชแหวนที่มีการยกเลิกที่เหมาะสมและคิดว่า AB = 0 สำหรับบางข∈เอ็นเพื่อแสดงให้เห็นว่า= 0 สำหรับข≠ 0 พิจารณาAB = 0 AB = 0B โดยโจทย์ 2.2 (1) A = 0 ตามกฎหมายยกเลิกที่ถูกต้อง. แล้วยังไม่มีเป็นสนชแหวนโดเมนหนึ่ง. ความละเอียด 2.10 [9] NLA แหวน (F, + ⋅) ที่มีตัวตนซ้าย1 จะเรียกว่าใกล้สนามเกือบ (n-เกือบเขต) ถ้าหากว่าแต่ละไม่ใช่ศูนย์องค์ประกอบของF มีผกผันใต้"×". ทฤษฎีบท 2.11 [9 ] ทุก จำกัด โดเมน NLA-หนึ่งเป็นสนามn เกือบ. ความละเอียด 2.12 [9] ขอ (N, + ⋅) เป็นสนชแหวนซ้ายตัวตน1. องค์ประกอบ 0 ≠n∈ยังไม่มีหน่วยงานที่เรียกว่าถ้ามีอยู่ม. ∈ไม่มีข้อความดังกล่าวที่ล้าน = = 1 ล้านบาทต่อไปเราจะศึกษาคุณสมบัติของหน่วยของสนชแหวนที่มีการพิสูจน์แล้วว่าเดียวกันใน[12]. บทแทรก 2.13 หากไม่มีเป็น n-LAring ด้วยความสามัคคีและฉันเป็นอุดมคติของเอ็นแล้วฉัน= ยังไม่มีถ้าหากยังไม่มีมีหน่วย. หลักฐาน ถ้าฉัน = ไม่มีแล้ว 1N ∈ N, และอื่น ๆ ไม่มีมีหน่วย. ตรงกันข้ามให้u∈ฉันที่ u เป็นหน่วยยังไม่มีข้อความที่u แล้ว-1 ∈เอ็นดังนั้นยู 1U = 1N ∈เอ็นตั้งแต่ผมเป็น เหมาะอย่างยิ่งที่เรามีสำหรับทุกn ∈ N, n = n1N ∈ไม่มีหมายถึงไม่มี⊆ I. ดังนั้นผมจึง = N. 3 สูงสุดและนายกรัฐมนตรีในอุดมคติของใกล้ด้านซ้ายเกือบแหวนต่อไปเรากำหนดของสูงสุดและเหมาะที่สำคัญในnLAring มีการกำหนดเช่นเดียวกับสูงสุดและที่สำคัญเหมาะในการใกล้แหวน [7]. ความละเอียด 3.1 เหมาะ M ≠ N in NLA แหวนยังไม่มีข้อความที่เรียกว่าอุดมคติสูงสุดของเอ็นถ้าทุกที่ที่ฉันเป็นอุดมคติของไม่มีข้อความดังกล่าวที่M⊆⊆ฉันไม่มีแล้วทั้งไม่มีข้อความ= I หรือ M = I. ความละเอียด 3.2 เหมาะ P ของสนช แหวนยังไม่มีการกล่าวถึงเป็นสำคัญถ้าIJ⊆ P แล้วI⊆ P หรือJ⊆ P สำหรับทั้งหมดที่ฉันเจอุดมคติของสหประชาชาติต่อไปนี้มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทจะคล้ายคลึงกับใน[12]. ทฤษฎีบท 3.3 ยังไม่มีให้เป็นสนชแหวนที่มีตัวตนทางด้านซ้ายและให้ M เป็นอุดมคติของเอ็นแล้ว M เป็นสูงสุดที่เหมาะถ้าหากยังไม่มีข้อความ/ M เป็นเขต n เกือบ. หลักฐาน (⇒) สมมติว่า M เป็นอุดมคติสูงสุดในเอ็นหมายถึงเอ็มเอ็นให้≠ (M + ก) ∈ N / M กับ∉ M เพื่อให้M + ไม่ได้เป็นตัวตนของสารเติมแต่ง N / M เราต้องแสดงให้เห็นว่า M + มีคูณผกผันใน N / M ให้ฉัน = {m + na | n ∈ N, ม. ∈ M}. แล้วฉันเป็นอุดมคติของ N, ตั้งแต่(m1 + n1a) + (m2 + n2a) = (m1 + m2) + (n1 + n2) ก ∈ผมในขณะที่ยัง0 = 0 + 0a และ - (m + na) = (-m) + (-n) เป็นครั้งที่หนึ่งในตอนนี้n1 (m + na) = n1m + (n1n) ที่แสดงให้เห็นว่าn1 (m + na) ∈ I สำหรับn1∈ยังไม่มี ดังนั้นผมจึงเป็นที่เหมาะ. สำหรับ M m∈, m = m + 0a ∈ผมแสดงให้เห็นว่าเอ็ม⊆ฉันและ= 0 + แสดง 1a ที่a∈ I. แต่จากเหนือ∉เมตร ดังนั้นฉันเป็นอุดมคติของสถานที่ให้บริการยังไม่มีข้อความที่มี M an (M ⊆ I) ตั้งแต่ M เป็นสูงสุดที่เราจะต้องมี I = เอ็นในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง1∈ครั้งที่หนึ่งแล้วตามด้วยคำนิยามของฉันมีb∈ไม่มีและm ∈ M ดังกล่าวที่ 1 = m + บา. ดังนั้นM + 1 = M + ( m + บา) = (M + b) (M + A) เพื่อช + ขเป็นคูณผกผันของ M + A. (⇐) สมมติว่าไม่มี / M เป็นเขต n เกือบ จากนั้น M + 1N ≠ M + 0 หมายความว่า 1N ∉ n และเพื่อให้ M ≠เอ็นถ้าผมเป็นที่เหมาะเช่นที่เอ็ม⊂ผมให้∈ I - เอ็มเอ็มแล้ว + ได้คูณผกผันในN / M พูด ( M + a) (b + M) = M + 1N ดังนั้นM + AB = M + 1N และ AB - 1N = m∈ M หมายถึง 1N = AB - m∈ฉันเพราะฉัน∈, ม. ∈ M ⊂ครั้งที่หนึ่งนั่นคือ 1N ∈ฉันดังนั้นฉัน= N, โดยแทรก 2.13 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

34 วารสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีปีที่ 16 ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557

ไอดีลเฉพาะของเนียร์เลฟท์ออลโมซท์ริงนายกในอุดมคติของแหวนซ้ายเกือบใกล้ธิติเกตุคำ

คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยพะเยา . . . . พะเยา 56000
อีเมล์ :newtonisaac41 @ yahoo com

ในงานวิจัยชิ้นนี้เป็นการขยายงานวิจัยของบทคัดย่อ . Shah , เรห์มาน และ raees ซึ่งเราได้นิยามและศึกษา
Fคุณสมบัติของไอดีลเฉพาะและไอดีลใหญ่สุดของเอ็นแอลเอริงถ้า M เป็นไอดีลใหญ่สุดเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N / m เป็น
เอ็นออลโมฟิลด์และ P เป็นไอดีลเฉพาะของ N ก็ต่อเมื่อ N / P เป็นแอลเออินกรัลโดเมน
คำสำคัญเอ็นแอลเอริงไอดีลเฉพาะ

ไอดีลใหญ่สุดบทคัดย่อการศึกษาครั้งนี้ มีวัตถุประสงค์เพื่อขยายบางส่วนของผลลัพธ์ของ Shah , เรห์มาน และ raees ( 2011 ) มันถูกกำหนดและตรวจสอบคุณสมบัติของนายกอุดมคติ
อุดมคติสูงสุดของ สนช. และแหวน นอกจากนี้ จะเหมาะมากถ้า
และถ้า n / m เป็น n-almost ฟิลด์และ P เป็นนายกในอุดมคติของถ้าและเพียงถ้า N / P เป็นโดเมนลาหนึ่ง .
คำสำคัญ : สนช. แหวน : นายกอุดมคติ :
อุดมคติสูงสุด 1 บทนำ
คาซิม และ นาเซอร์รุดดิน [ 1 ] ได้แนะนำ
หลอกภาคีกฎหมายหรือซ้าย invertive กฎหมายใน groupoid
g
( AB ) โดย C = ( CB ) ทั้ง A , B , C ∈ g
และได้ตั้งชื่อมันว่า ซ้าย invertive กฎหมายและเรียกว่า
groupoid ซ้ายเกือบกึ่งกรุป ( ย่อเป็น
la เซมิกรุป ) ถ้ามันเข้าตาซ้าย invertive กฎหมาย
groupoid กรัม จะเรียกว่าเป็น อาเบล กราสมันน์เป็น
groupoids ( ย่อเป็น groupoids AG ) ดู [ 1 ]
หรือ [ 2 ] มันเป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิต nonassociative กลางทาง
ระหว่าง groupoid และกึ่งกรุปสลับที่ .
คาซิม และ นาเซอร์รุดดิน [ 1 ] อ้างว่าในทุกกรุปลา
g
medial กฎหมายถือ( AB ) ซีดี ( CD ) = ( AC ) ( BD ) ทั้ง A , B , C , D และ G .
∈ mushtab ข่าน [ 3 ] ยืนยันว่า ทุกกรุป G ด้วย

ลาเอกลักษณ์ซ้าย ( AB ) ซีดี ( CD ) = ( dB ) ( CA ) สำหรับทุก A , B , C , D ∈ G .
ต่อขันธ์ ไฟซาล และ amjid [ 4 ] , กล่าวหา
ว่าถ้าลาเซมิกรุป G กับทิ้งเอกลักษณ์กฎหมายต่อไปนี้

ถือ ( BC ) = B ( AC ) ทั้ง A , B , C ∈ G .
Sarw ā r ( คัม ) [ 4 ] กลุ่มกำหนดลา
ดังต่อไปนี้เป็น groupoid กรัมเรียกว่าซ้ายเกือบกลุ่ม
ย่อเป็นลา กลุ่ม ถ้า
( 1 ) มีอยู่∈ G E เช่นที่ EA = ทั้งหมดเป็น∈
g
( 2 ) สำหรับทุก∈ G มีอยู่หลัก∈ G เช่น
, a-1a = e
( 3 ) ( AB ) C = ( CB ) ทั้ง A , B , C ∈ G .
ยูซุฟ [ 5 ] แนะนำแนวคิดของซ้าย
แหวนเกือบ ( La แหวน ) นั่นคือไม่ใช่เซตว่าง R
2 ไบนารีด้วยการ " และ " ⋅ " เรียกว่าซ้าย
เกือบแหวนถ้า ( R ) เป็นลา กรุ๊ป ( R , ⋅ ) เป็นกึ่งกลุ่มและการกระจาย
la กฎหมายของ " ⋅ " มากกว่า " "
ถือ ชาห์เร [ 6 ] และถูกกล่าวหาว่าวา
รสารวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัยอุบลราชธานีขนาด 16 ปีที่ฉบับที่ 2 พฤษภาคม - สิงหาคม 2557 35
แหวน tative ( R , ⋅ ) เราสามารถเสมอได้รับการลาแหวน
( r , ⊕⋅ , ) โดยการนิยามให้ a , b ∈ R , ⊕ B = B และ AB และ
เป็นเช่นเดียวกับในแหวน เราไม่สามารถสันนิษฐานเพิ่ม
จะสับเปลี่ยนในลาเป็นลา แหวนแหวน
( r , ⋅ ) กล่าวว่า จะลาครบถ้วน
โดเมนถ้า AB = 0 เพื่อทั้งหมด A , B ∈ R แล้ว = 0 หรือ b = 0
ให้ ( R , ⋅ ) เป็นลา แหวน และ S เป็นเซตย่อยของ R และ S คือตัวเอง

และ La แหวนภายใต้การดำเนินการทวิภาคที่ชักนำด้วย r , s เรียกว่า
la subring ของ R ,