Set theory begins with a fundamenta

Set theory begins with a fundamental binary relation between an object o and a set A. If o is a member (or element) of A, write o ∈ A. Since sets are objects, the membership relation can relate sets as well.

A derived binary relation between two sets is the subset relation, also called set inclusion. If all the members of set A are also members of set B, then A is a subset of B, denoted A ⊆ B. For example, {1,2} is a subset of {1,2,3} , and so is {2} but {1,4} is not. From this definition, it is clear that a set is a subset of itself; for cases where one wishes to rule this out, the term proper subset is defined. A is called a proper subset of B if and only if A is a subset of B, but B is not a subset of A. Note also that 1 and 2 and 3 are members (elements) of set {1,2,3} , but are not subsets, and the subsets in turn are not as such members of the set.

Just as arithmetic features binary operations on numbers, set theory features binary operations on sets. The:

Union of the sets A and B, denoted A ∪ B, is the set of all objects that are a member of A, or B, or both. The union of {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is the set {1, 2, 3, 4} .
Intersection of the sets A and B, denoted A ∩ B, is the set of all objects that are members of both A and B. The intersection of {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is the set {2, 3} .
Set difference of U and A, denoted U A, is the set of all members of U that are not members of A. The set difference {1,2,3} {2,3,4} is {1} , while, conversely, the set difference {2,3,4} {1,2,3} is {4} . When A is a subset of U, the set difference U A is also called the complement of A in U. In this case, if the choice of U is clear from the context, the notation Ac is sometimes used instead of U A, particularly if U is a universal set as in the study of Venn diagrams.
Symmetric difference of sets A and B, denoted A △ B or A ⊖ B, is the set of all objects that are a member of exactly one of A and B (elements which are in one of the sets, but not in both). For instance, for the sets {1,2,3} and {2,3,4} , the symmetric difference set is {1,4} . It is the set difference of the union and the intersection, (A ∪ B) (A ∩ B) or (A B) ∪ (B A).
Cartesian product of A and B, denoted A × B, is the set whose members are all possible ordered pairs (a,b) where a is a member of A and b is a member of B. The cartesian product of {1, 2} and {red, white} is {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}.
Power set of a set A is the set whose members are all possible subsets of A. For example, the power set of {1, 2} is { {}, {1}, {2}, {1,2} } .
Some basic sets of central importance are the empty set (the unique set containing no elements), the set of natural numbers, and the set of real numbers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีเซตเริ่มต้น ด้วยความสัมพันธ์ไบนารีพื้นฐานระหว่างการ o วัตถุและชุดอ. ถ้า o เป็นสมาชิก (หรือองค์ประกอบ) ของ A, o ∈อ.เขียน ตั้งแต่ชุด วัตถุ ความสัมพันธ์ของสมาชิกสามารถเชื่อมโยงชุดเช่นความสัมพันธ์ไบนารีได้รับระหว่างสองชุดความสัมพันธ์ย่อย หรือที่เรียกว่าการตั้งค่าการรวม หากสมาชิกทั้งหมดของกำหนดมีการยังสมาชิกของชุด B, A เป็นเซตย่อยของ B สามารถบุ⊆ B. ตัวอย่าง, { 1, 2 } เป็นเซตย่อยของ { 1,2,3 } และดังนั้น เป็น {2} แต่ { 1,4 } ไม่ จากคำนิยามนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าชุดย่อยของตัวเอง ในกรณีที่ประสงค์กฎนี้ออก มีกำหนดชุดย่อยระยะเหมาะสม A คือเซตย่อยของ B เหมาะสมถ้า และเมื่อ A เป็นเซตย่อย ของ B, B คือไม่ย่อยตั๋ว A. ยัง ที่ 1 และ 2 และ 3 เป็นสมาชิก (องค์ประกอบ) ของตั้งค่า { 1,2,3 } แต่ไม่ย่อย ย่อยที่จะไม่เป็นสมาชิกของชุดดังกล่าวเหมือนเลขคณิตมีการดำเนินการฐานสองหมายเลข ทฤษฎีเซตมีการดำเนินการฐานสองกับชุด ใน:∪ความสามารถบุสหภาพชุด A และ B, B เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A หรือ B หรือทั้งสองอย่าง สหภาพของ {1, 2, 3 } และ {2, 3, 4 } เป็นเซ็ต {1, 2, 3, 4 }การ∩สามารถบุของชุด A และ B, B เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของทั้ง A และ b ของ {1, 2, 3 } และ {2, 3, 4 } เป็นชุด {2, 3 }ตั้งค่าผลต่างของ A, U สามารถบุ เป็นสมาชิกของ U ที่ไม่ใช่สมาชิกของชุดแบบ ตั้งค่าความแตกต่าง { 1,2,3 } { 2,3,4 } เป็น {1} ขณะที่ ในทางกลับกัน ตั้งค่าความแตกต่าง { 2,3,4 } { 1,2,3 } {4} ได้ เมื่อ A เป็นเซตย่อยของ U, U ผลต่างตั้งค่า A จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มของ A ในสหรัฐ ในกรณีนี้ ถ้าเลือก U ชัดเจนจากบริบท สัญลักษณ์ Ac เป็นบางครั้งใช้แทน U A โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเป็นชุดสากลในการศึกษาของเวนน์ไดอะแกรมชุด A และ B ผลต่างสมมาตรสามารถบุ△เป็น B หรือ B ⊖เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A ทุกประการหนึ่ง และ B (องค์ประกอบที่อยู่ ในชุดหนึ่ง แต่ไม่ทั้งสอง) สำหรับชุดตัวอย่าง { 1,2,3 } และ { 2,3,4 } ชุดผลต่างสมมาตรเป็น { 1,4 } จึงต่างตั้งสหภาพและสี่แยก, (การ∪ B) (การ∩ B) หรือ (A B) ∪ (B A)คูณคาร์ทีเซียนของ A และ B สามารถบุลอกแบบ B เป็นชุดที่มีสมาชิกเป็นไปได้ทั้งหมดสั่งคู่ (a, b) ซึ่งการเป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของบี ผลคูณคาร์ทีเซียนของ {1, 2 } และ {สีแดง สีขาว} คือ { (1 แดง), (1 สีขาว), (2 สีแดง), (2 สีขาว) }ชุดไฟชุด A เป็นชุดที่มีสมาชิกที่เป็นชุดย่อยได้ทั้งหมดของอ. ตัวอย่าง การตั้งค่าพลังงานของ {1, 2 } เป็น {{} , { 1 }, { 2 } { 1, 2 } }บางชุดพื้นฐานกลางสำคัญเซตว่าง (เฉพาะชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบไม่), ชุดตัวเลขธรรมชาติ และชุดของตัวเลขจำนวนจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีเซตเริ่มต้นด้วยฐานความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่าง o วัตถุและ A. ชุด o หากเป็นสมาชิกคนหนึ่ง (หรือองค์ประกอบ) ของเขียน o ∈ A. ตั้งแต่ชุดเป็นวัตถุความสัมพันธ์สมาชิกสามารถที่เกี่ยวข้องชุดเช่นกัน. มา ฐานความสัมพันธ์ระหว่างสองชุดคือชุดย่อยความสัมพันธ์ที่เรียกว่าชุดรวม หากสมาชิกทั้งหมดของชุดยังเป็นสมาชิกของชุด B จากนั้นเป็นส่วนหนึ่งของ B ชี้แนะ⊆บีตัวอย่างเช่น {1,2} เป็นส่วนหนึ่งของ {1,2,3}, และเพื่อเป็น {2} แต่ {1,4} ไม่ จากคำนิยามนี้เป็นที่ชัดเจนว่าชุดเป็นส่วนหนึ่งของตัวเอง; สำหรับกรณีที่ใครอยากจะออกกฎนี้ย่อยระยะที่เหมาะสมมีการกำหนด เรียกว่าชุดย่อยที่เหมาะสมของ B ถ้าหากเป็นส่วนหนึ่งของ B แต่ B ไม่ย่อยของเอหมายเหตุยังที่ 1 และ 2 และ 3 เป็นสมาชิก (องค์ประกอบ) ชุด {1,2,3} แต่ไม่ย่อยและย่อยในทางกลับกันจะไม่เป็นสมาชิกดังกล่าวของชุด. เช่นเดียวกับที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไบนารีที่หมายเลขตั้งทฤษฎีมีฐานปฏิบัติการในชุด : ยูเนี่ยนในชุด A และ B, B ∪แสดงเป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่มีสมาชิกของหรือ B หรือทั้งสองอย่าง สหภาพ {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} เป็นชุด {1, 2, 3, 4}. สี่แยกของชุด A และ B แสดง∩ B เป็นชุดของวัตถุทั้งหมด ที่เป็นสมาชิกของทั้ง A และ B แยกจาก {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} เป็นชุด {2, 3}. ความแตกต่างชุด U และชี้แนะ U เป็น ชุดของสมาชิกทุกคนของ U ที่ไม่ได้เป็นสมาชิกของ A. ชุดแตกต่าง {1,2,3} {2,3,4} เป็น {1} ขณะที่ตรงกันข้ามความแตกต่างชุด {2,3,4} {1,2,3} เป็น {4} เมื่อเป็นส่วนหนึ่งของ U ที่แตกต่างชุด U จะเรียกว่าสมบูรณ์ของในยูในกรณีนี้ถ้าทางเลือกของ U เป็นที่ชัดเจนจากบริบทสัญกรณ์ Ac บางครั้งใช้แทน U โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า U เป็นชุดสากลในขณะที่การศึกษาของแผนภาพเวนน์. ความแตกต่างสมมาตรชุด A และ B แสดง△ B หรือ B ⊖เป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่มีสมาชิกของว่าหนึ่งใน A และ B (ซึ่งเป็นองค์ประกอบหนึ่งในชุด แต่ไม่ได้อยู่ในทั้งสอง) ยกตัวอย่างเช่นสำหรับชุด {1,2,3} และ {2,3,4}, ความแตกต่างสมมาตรตั้งเป็น {1,4} มันเป็นความแตกต่างที่ชุดของสหภาพและสี่แยก (B ∪) (∩ B) หรือ ( B) ∪ (B ). ผลิตภัณฑ์ Cartesian ของ A และ B แสดง× B เป็น ชุดที่มีสมาชิกเป็นทุกคู่ที่มีคำสั่งที่เป็นไปได้ (ข) ในกรณีที่เป็นสมาชิกของ A และ B เป็นสมาชิกของบีคาร์ทีเซียนของผลิตภัณฑ์ {1, 2} และ {สีแดงสีขาวเป็น} {(1, สีแดง) , (1, สีขาว), (2, สีแดง), (2, สีขาว)}. ชุดพลังของชุดคือชุดที่มีสมาชิกเป็นส่วนย่อยเป็นไปได้ทั้งหมดของ A. ตัวอย่างเช่นชุดพลังของ {1, 2} เป็น {{}, {1}, {2}, {1,2}}. บางชุดพื้นฐานของความสำคัญของกลางเป็นชุดที่ว่างเปล่า (ชุดที่เป็นเอกลักษณ์ที่มีองค์ประกอบไม่ได้), ชุดของตัวเลขธรรมชาติและชุดของจริง หมายเลข

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีการตั้งค่าเริ่มต้นด้วยพื้นฐานความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างวัตถุ o และชุด ถ้าโอ เป็นสมาชิก ( หรือองค์ประกอบ ) ของ เขียน O ∈ . ตั้งแต่ชุดวัตถุ สมาชิกสัมพันธ์ สามารถเชื่อมโยงชุดเช่นกัน

ได้มาความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างสองชุดเป็นเซตย่อยความสัมพันธ์ที่เรียกว่าชุดรวม . ถ้าสมาชิกทุกคนในชุดยังเป็นสมาชิกของชุดแล้ว เป็นชุดย่อยของ B เขียนแทนเป็น⊆ Bตัวอย่างเช่น , { 2 } เป็นเซตย่อยของ { 1 , 2 , 3 } คือ และดังนั้น { 2 } และ { 1 , 4 } ไม่ จากคำนิยามนี้เป็นที่ชัดเจนว่าชุดเป็นเซตย่อยของตัวเอง สำหรับกรณีที่ประสงค์จะกฎนี้ออกมา คำที่เหมาะสมย่อยที่กำหนดไว้ . เป็นเรียกว่าย่อยที่เหมาะสมของ B ถ้าและเพียงถ้าเป็นสับเซตของ B แต่ B ไม่ย่อยหมายเหตุ . ที่ 1 และ 2 และ 3 สมาชิก ( องค์ประกอบ ) ของเซต { 1 , 2 , 3 } ,แต่จะไม่ย่อยและข้อมูลในการเปิดไม่ได้เช่นสมาชิกของชุด

เหมือนเลขคณิตไบนารีในคุณสมบัติการตั้งค่าคุณสมบัติการทฤษฎีตัวเลขไบนารีในชุด โดย :

( ชุด A และ B เขียนแทนเป็น∪ B เป็นเซตของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของ A หรือ B หรือทั้งสองอย่าง สหภาพของ { 1 , 2 , 3 } และ { 2 , 3 , 4 } เป็นเซต { 1 , 2 , 3 , 4 } .
แยกชุด A และ Bกล่าวคือ เป็น∩ B เป็นเซตของวัตถุทั้งหมดที่สมาชิกของทั้ง A และ B แยกของ { 1 , 2 , 3 } และ { 2 , 3 , 4 } เป็นเซต { 2 , 3 } .
ชุดความแตกต่างของ u และเขียนแทน u , คือชุดของทั้งหมด สมาชิกของ U ที่ไม่ใช่สมาชิกของ ชุด 1 , 2 , 3 } { , 0 , N ความแตกต่าง { } เป็น { 1 } , ในขณะที่ , ในทางกลับกัน , ชุด , 0 , 1 , 2 , 3 } N ความแตกต่าง { { } เป็น { 4 } เมื่อเป็นเซตย่อยของวูการตั้งค่าความแตกต่างวู N จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มของอินวู ในกรณีนี้ ถ้าเลือกของคุณเป็นที่ชัดเจนจากบริบท โน้ต เอซี บางครั้งใช้แทน u , โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณเป็นสากลตั้งเป็นในการศึกษาแผนภาพเวนน์
ผลต่างสมมาตรของชุดและ บี กล่าวคือ เป็น△ B หรือ⊖ Bเป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของตรงหนึ่งของ A และ B ( ซึ่งเป็นองค์ประกอบหนึ่งของชุด แต่ไม่ทั้งสอง ) ตัวอย่างเช่น ในเซต { 1 , 2 , 3 } และ { , 0 , } , { 1 , 4 ชุดผลต่างสมมาตรคือ } มันคือชุดความแตกต่างของสหภาพ และสี่แยก ( ∪ B ) N ( ∩ b ) หรือ ( ) B ∪ ( B )
ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B เขียนแทน a × b ,คือเซตที่มีสมาชิกเป็นทั้งหมดเป็นไปได้คู่อันดับ ( a , b ) โดยที่ a เป็นสมาชิกของ A และ B เป็น สมาชิกของ B . ปิระมิดของ { 1 , 2 } และ { } เป็น { สีแดง สีขาว ( 1 , สีแดง ) , ( 1 , ขาว ) , ( 2 , สีแดง ) ( 2 , ขาว ) } .
ชุดไฟของชุดคือเซตที่มีสมาชิกเป็นเป็นไปได้ทั้งหมด จากของ เช่น ชุดไฟของ { 1 , 2 } เป็น { { } { 1 } , { 2 } , { 2 } } .
บางชุดพื้นฐานของเซ็นทรัล ความสำคัญเป็นเซตว่าง ( เฉพาะชุดประกอบด้วยไม่มีองค์ประกอบ ) , ชุดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติ และเซตของจำนวนจริง