Proposition 3.25. Let X be an subtr

Proposition 3.25. Let X be an subtraction algebra. Then M(X) is a subtraction algebra
with the above binary operation “◦”.
Proof. It is easy to prove that M(X) is a subtraction algebra with the above binary operation
“◦”.
Let S(X) be the set of all simple multipliers on X, i.e.,
S(X) = {αp ∈M(X) | p ∈ X}
and M(X) = {f | f : X → X : multiplier}. Then It is clear that S(X) ⊆M(X).
Proposition 3.26. Let X be a subtraction algebra. If θ : X → M(X) is map defined by
θ(p) = αp for all p ∈ X, where αp is a simple map on X, then θ is a homomorphism of X.
Proof. Let f ∈ M(X) and p, q ∈ H. Then we have θ(p − q) = αp¡q. But αp¡q(x) =
(p−q)−x = (p−x)−(q−x) = αp(x)−αq(x) = (αp−αq)(x). Hence we have αp¡q = αp−αq,
i.e., θ(p − q) = θ(p) − θ(q). This completes the proof.
Proposition 3.27. Let X be a subtraction algebra andM(X) = {f | f is a multiplier on X}.
If θ : X →M(X) is map defined by θ(p) = αp for all p ∈ X, where αp is a simple map on
X, then θ is an isotone mapping.
Proof. Let p ≤ q. Then we have p − q = 0, and θ(p) − θ(q) = θ(p − q) = θ(0) = 0 since θ is
an homomorphism from Proposition 3.26. Hence θ(p) − θ(q) = 0, that is, θ(p) ≤ θ(q). This
completes the proof.
References
[1] J. C. Abbott, Sets, Lattices and Boolean Algebras, Allyn and Bacon, Boston 1969.
[2] G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott, A Compendium
of Continuous Lattices, Springer-Verlag, New York, 2003.
[3] K. H. Kim and Y. H .Yon, On derivations of subtraction algebras (to be submitted)
[4] R. Larsen, An Introduction to the Theory of Multipliers, Berlin: Springer-Verlag, 1971.
[5] B. M. Schein, Difference Semigroups, Comm. in Algebra 20 (1992), 2153–2169.
[6] B. Zelinka, Subtraction Semigroups, Math. Bohemica, 120 (1995), 445–447.
Yong Ho Yon
Department of Mathematics, Chungbuk National University
Cheongju 361-763, Korea
[e-mail]
Kyung Ho Kim
Department of Mathematics, Chungju National University
Chungju 380-702, Korea
[e-mail]
corresponding author

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อเสนอที่ 3.25 ให้ X เป็นลบพีชคณิตการ แล้ว M(X) พีชคณิตลบข้างไบนารีการดำเนินการ "◦"หลักฐานการ ง่ายต่อการพิสูจน์ว่า M(X) พีชคณิตลบการดำเนินการฐานสองข้าง“◦”.ให้ S(X) เป็นชุดของ multipliers เรื่องทั้งหมดใน X เช่นS(X) = { αp ∈M(X) | p ∈ X }และ M(X) = { f | f: X → X: ตัวคูณ} แล้ว มันจะล้างที่ ⊆M(X) S(X)เสนอสวย 3.26 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ ถ้าθ: M(X) X →เป็นแผนที่กำหนดโดยΘ(p) = αp สำหรับทั้งหมด p ∈ X, αp แผนที่ง่าย ๆ บน X แล้วθเป็น homomorphism ของ Xหลักฐานการ ให้ f ∈ M(X) และ p, q ∈ H. แล้วเราได้θ (p − q) = αp¡q แต่ αp¡q(x) =−x (p−q) = (p−x)−(q−x) = αp(x)−αq(x) = (αp−αq)(x) ดังนั้น เรามี αp¡q = αp−αqเช่น θ (p − q) = θ(p) − θ(q) เสร็จสิ้นการพิสูจน์ข้อเสนอที่ 3.27 AndM(X) พีชคณิตเป็นลบจะให้ X = { f | f เป็นตัวคูณบน X }ถ้าθ: X →M(X) เป็นแผนที่กำหนด โดย θ(p) = αp สำหรับทั้งหมด p ∈ X, αp แผนที่ง่าย ๆ บนX แล้วθเป็นการแม็ป isotoneหลักฐานการ ให้ p ≤ q แล้วเรามี p − q = 0 และ θ(p) − θ(q) =θ (p − q) = θ(0) = 0 เนื่องจากθการ homomorphism จากสวย 3.26 เสนอ ดังนั้น θ(p) − θ(q) = 0 คือ θ(p) ≤ θ(q) นี้ทำหลักฐานการการอ้างอิง[1] J. C. Abbott ชุด Lattices และบู Algebras, Allyn และ เบคอน บอสตัน 1969Gierz กรัม [2] คุณ H. Hofmann คุณ Keimel, J. D. ลอว์สัน Mislove เมตร สก็อต S. D. ย่อของต่อเนื่อง Lattices, Springer Verlag นิวยอร์ก 2003[3] คุณ H. Kim และ Y. H แข็งแรง เกี่ยวกับรากศัพท์ algebras ลบ (การส่ง)[4] อาร์ Larsen บทนำทฤษฎีของ Multipliers เบอร์ลิน: Springer Verlag, 1971[5] บีม.อย่างไร Schein ต่าง Semigroups สื่อในพีชคณิต 20 (1992), 2153-2169[6] B. Zelinka, Semigroups ลบ คณิตศาสตร์ Bohemica, 120 (1995), 445-447โฮจิมินห์ Yong Yonภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Chungbukชอง 361-763 เกาหลี[e-mail]คิมโฮ Kyungภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแห่งชาติของอาหารอาหาร 380-702 เกาหลี[e-mail]ผู้เขียนที่สอดคล้องกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 3.25 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ จากนั้น M (X)
เป็นพีชคณิตลบกับการดำเนินการดังกล่าวข้างต้นไบนารี"◦."
หลักฐาน มันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่า M (X) เป็นพีชคณิตลบกับการดำเนินการดังกล่าวข้างต้นไบนารี
"◦".
ให้ S (X) เป็นชุดของตัวคูณง่ายทั้งหมดใน X คือที่
S (X) = {αp∈M ( X) | พี∈ X}
และ M (X) = {F | f: X → X: คูณ} จากนั้นก็เป็นที่ชัดเจนว่า S (X) ⊆M (X).
โจทย์ 3.26 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ ถ้าθ: X → M (X)
คือแผนที่กำหนดโดยθ (P) = αpสำหรับทุกพี∈ X ที่αpเป็นแผนที่ง่ายใน X แล้วθคือ homomorphism
ของเอ็กซ์หลักฐาน ให้ f ∈ M (X) และ p, q ∈เอชแล้วเรามีθ (พี - ด) = αp¡q แต่αp¡q (x) =
(พีคิว) -x = (P-x) - (Q-x) = αp (x) -αq (x) = (αp-αq) (x) ดังนั้นเรามีαp¡q = αp-αq,
คือθ (พี - ด) θ = (P) - θ (ด) เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน.
โจทย์ 3.27 ให้ X เป็นพีชคณิตลบ andM (X) = {F | ฉเป็นตัวคูณในเอ็กซ์}.
ถ้าθ: X → M (X) คือแผนที่กำหนดโดยθ (P) = αpสำหรับทุกพี∈ X ที่αpคือ แผนที่ง่ายใน
X แล้วθคือการทำแผนที่ isotone.
หลักฐาน ให้คิวพี≤ แล้วเรามีพี - คิว = 0 และθ (พี) - θ (ด) θ = (พี - ด) θ = (0) = 0 ตั้งแต่θคือ
homomorphism จากโจทย์ 3.26 ดังนั้นθ (พี) - θ (ด) = 0, ที่อยู่, θ (P) ≤θ (ด) นี้เสร็จสมบูรณ์หลักฐาน. อ้างอิง[1] JC แอ็บบอทชุดประดับประดาและบูลีน Algebras, Allyn และเบคอน, บอสตัน 1969 [2] G. Gierz, KH Hofmann พ Keimel เจลอว์สัน, M. Mislove เอสก็อตต์ บทสรุปของการประดับประดาอย่างต่อเนื่อง, Springer-Verlag, นิวยอร์ก, 2003 [3] KH คิมและเอชวาย .Yon บน derivations ของ algebras ลบ (ที่จะส่ง) [4] อาร์เสนรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีของ คูณ, เบอร์ลิน: Springer-Verlag 1971 [5] BM Schein, Semigroups แตกต่าง Comm ในพีชคณิต 20 (1992), 2153-2169. [6] บี Zelinka, ลบ Semigroups คณิตศาสตร์ bohemica, 120 (1995), 445-447. ยงโฮ Yon ภาควิชาคณิตศาสตร์ Chungbuk มหาวิทยาลัยแห่งชาติCheongju 361-763 เกาหลี[e-mail] คยองโฮคิมภาควิชาคณิตศาสตร์ชังมหาวิทยาลัยแห่งชาติชุงจู380-702 เกาหลีghkim @ cjnu.ac.kr ผู้เขียนที่สอดคล้องกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อเสนอ 3.25 . ให้ x เป็นลบพีชคณิต แล้ว m ( X ) คือการลบพีชคณิต
กับข้างต้นการดำเนินการทวิภาค " ◦ " .
พิสูจน์ มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า M ( X ) คือการลบพีชคณิตกับข้างต้นการดำเนินการทวิภาค

" ◦ " Let s ( x ) เป็นชุดของตัวคูณง่ายทั้งหมดใน X , I ,
( X ) = { α P ∈ m ( X ) | P ∈ x }
M ( ( X ) = { F | F : x ตัวคูณ→ keyboard - key - name X : } แล้วมันเป็นที่ชัดเจนว่า S ( x )
⊆ m ( X )ข้อเสนอ 3.26 . ให้ x เป็นลบพีชคณิต ถ้าθ→ keyboard - key - name M : x ( x ) เป็นแผนที่กำหนดโดย
θ ( P ) = α P P ∈ x ทั้งหมดที่α P เป็นแผนที่ง่ายใน x แล้วθเป็น homomorphism X
พิสูจน์ ให้ f ( x ) และ∈ M P , Q ∈ชั่วโมง เราก็θ ( r − Q ) P = α¡ Q แต่α P ¡ Q ( x ) =
( P = −− Q ) x ( p −− ( − 1 ) ( x ) = α P ( x ) Q −α ( ( X ) = ( α P −α q ) ( x ) ดังนั้นเราต้องα P ¡ Q = α P −α Q ,
( θ ( P = − Q ) θ ( P ) −θ ( q )นี้ได้รับการพิสูจน์เรียบร้อยแล้ว
ข้อเสนอ 3.27 . ให้ x เป็นลบพีชคณิตในการบำรุงรักษา ( X ) = { F | F ตัวคูณใน X } .
ถ้าθ→ keyboard - key - name M : x ( x ) เป็นแผนที่กำหนดโดยθ ( P ) = α P P ∈ x ทั้งหมดที่α P เป็นแผนที่ง่าย
x แล้วθเป็น ไอโซโทนแผนที่ .
พิสูจน์ ให้ P ≤คิว แล้วเราได้ P − Q = 0 และθ ( P ) −θ ( q ) θ ( P = − q ) = θ ( 0 ) = 0 เนื่องจากθคือ
เป็น homomorphism จากข้อเสนอ 3.26 .ดังนั้นθ ( P ) −θ ( q ) = 0 นั่นคือ θ ( P ) ≤θ ( q ) นี้ได้รับการพิสูจน์เรียบร้อยแล้ว
.
อ้างอิง
[ 1 ] J . C . Abbott , ชุด , และพีชคณิตบูลลีน ลลี่นหน้า , เบคอน , บอสตัน 1969
[ 2 ] . gierz . เอช ฮอฟมันน์ , K . keimel , J . D . Lawson , ม. mislove ดี. เอส. สก็อต เป็นบทสรุปของ Springer Verlag
หน้าอย่างต่อเนื่อง , New York , 2546 .
[ 3 ] เค. เอช. คิมและ Y . H . ยอนในการลบพีชคณิต Derivations ( แสดงความคิดเห็น )
[ 4 ] R . Larsen , รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีของตัวคูณ เบอร์ลิน : Springer Verlag , 2514 .
[ 5 ] พ. ม. SCHEIN กรุป , ความแตกต่าง , การสื่อสารในพีชคณิต 20 ( 1992 ) , 1418 ) 1550 .
[ 6 ] B zelinka กรุป การลบ คณิตศาสตร์ . bohemica 120 ( 1995 ) , 445 – 555 .

ยองโฮ ยอน ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยแห่งชาติ 361-763
Chungbuk ชองจู ,เกาหลี

yhyonkr @ hanmail สุทธิ คยุง โฮ คิม

ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแห่งชาติที่ชุงจูที่ชุงจู 380-702 เกาหลี
ghkim @ cjnu . ac.kr
ที่ผู้เขียน