1. IntroductionThe conics passing t

1. Introduction
The conics passing through the vertices A,B,C of a triangle and its orthocenter
H is the Poncelet pencil; any conic of this pencil is an equilateral hyperbola. The
isogonal transform of a line through the circumcenter O gives a conic of this pencil
and conversely. We described this pencil in [1] and used it to solve some triangle
constructions in [2].
Here is a brief review of some properties of the conics in this pencil. For a
triangle Δ and an equilateral hyperbola K passing through the vertices of Δ, let C
be the circumcircle of Δ and S the fourth point of intersection of these two conics.
Let S
be the antipodal of S on C. Let L be the line through O parallel to the
Wallace-Simson line of S
. Then the isogonal transform of L is K. The center of
K is denoted Z. The nine point circle of any triangle on the equilateral hyperbola
passes through Z since the same equilateral hyperbola serves for any triangle on it.
Garc´ ıa [4] has recently introduced some elementary triangle constructions which
we will use to give some alternate constructions of some of the data of the conics
in the Poncelet pencil. This provides some new insights into the properties of the
conics in Poncelet’s pencil.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำเกี่ยวกับภาคตัดกรวยที่ผ่านจุดยอด A, B, C ของสามเหลี่ยมและ orthocenter ของH คือ ดินสอ Poncelet ใด ๆ conic ดินสอนี้จะเป็นรูปไฮเพอร์โบลา ที่แปลง isogonal บรรทัดผ่าน circumcenter O ให้ conic ของดินสอนี้และในทางกลับกัน เรากล่าวถึงนี้ดินสอใน [1] และใช้ในการแก้สามเหลี่ยมบางก่อสร้าง [2]นี่คือสรุปย่อบางคุณสมบัติของเกี่ยวกับภาคตัดกรวยในดินสอนี้ สำหรับการδยอดสามเหลี่ยมและเป็นรูปไฮเพอร์โบลา K ผ่านจุดยอดของδยอด ให้ Ccircumcircle δยอดและ S จุดสี่สี่แยกของเกี่ยวกับภาคตัดกรวยสองเหล่านี้ได้ให้ Sมี antipodal ของ S ในซี ให้ L เป็นเส้นผ่าน O ขนานไปสาย S Wallace Simson. แล้วคุณจะแปลง isogonal ของ L ศูนย์กลางของสามารถระบุ K Z เก้าจุดวงกลมสามเหลี่ยมใด ๆ บนไฮเพอร์โบลารูปผ่านผ่าน Z เนื่องจากบริการไฮเพอร์โบลารูปเดียวในสามเหลี่ยมใด ๆ บนGarc´ ıa [4] ล่าสุดได้แนะนำก่อสร้างสามเหลี่ยมประถมบางที่เราจะใช้เพื่อให้การก่อสร้างบางอย่างทดแทนบางส่วนของข้อมูลเกี่ยวกับภาคตัดกรวยใน Poncelet ดินสอ ให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่างใหม่เป็นคุณสมบัติของการเกี่ยวกับภาคตัดกรวยในดินสอของ Poncelet

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
conics ผ่านจุด A, B, C ของรูปสามเหลี่ยมและ orthocenter ของ
H เป็นดินสอ Poncelet; รูปกรวยของดินสอนี้เป็น hyperbola ด้านเท่ากันหมด
isogonal เปลี่ยนสายผ่านวงล้อม O
จะช่วยให้มีรูปกรวยของดินสอนี้และตรงกันข้าม เราอธิบายดินสอนี้ [1]
และใช้มันเพื่อแก้ปัญหาบางรูปสามเหลี่ยมก่อสร้างใน[2].
นี่คือรีวิวสั้น ๆ ของคุณสมบัติบางส่วนของ conics ในดินสอนี้ สำหรับรูปสามเหลี่ยมΔและ K hyperbola สามเหลี่ยมด้านเท่าผ่านจุดของΔให้ C จะ circumcircle ของΔ S และจุดที่สี่แยกของทั้งสอง conics ได้. Let S? เป็นตรงกันข้ามกับเท้าของเอสซีในการให้ L เป็น เส้นผ่าน O ขนานไปกับวอลเลซSimson สายของ S? จากนั้นเปลี่ยน isogonal ของแอลเคเป็นศูนย์กลางของK จะแสดงซีวงกลมเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยมบน hyperbola สามเหลี่ยมด้านเท่าใด ๆผ่าน Z ตั้งแต่ hyperbola สามเหลี่ยมด้านเท่าเดียวกันทำหน้าที่ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ . Garc' IA [4] มี ที่เพิ่งเปิดตัวบางก่อสร้างสามเหลี่ยมประถมที่เราจะใช้ในการก่อสร้างให้บางส่วนอื่นของข้อมูลบางส่วนของconics ที่ในดินสอPoncelet นี้จะให้ข้อมูลเชิงลึกใหม่ในคุณสมบัติของconics ดินสอ Poncelet ของ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
ภาคตัดกรวยผ่านจุด A , B , C ของสามเหลี่ยม และอ ์โทเซนเตอร์
H เป็นดินสอ poncelet รูปกรวย ; ใด ๆของดินสอนี้เป็นไฮเพอร์โบลาซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน .
isogonal แปลงของเส้นผ่าน circumcenter O ให้รูปกรวยนี้ดินสอ
และในทางกลับกัน . เราอธิบายดินสอใน [ 1 ] และใช้มันเพื่อแก้ไขปัญหาบางอย่างที่ดินในสามเหลี่ยม

[ 2 ]มาทบทวนบางคุณสมบัติของภาคตัดกรวยในแท่งนี้ สำหรับ
Δสามเหลี่ยมและ K ของปาสกาล ไฮเพอร์โบลาผ่านจุดของΔให้ C
เป็น circumcircle ของΔและ S จุดที่สี่แยกของทั้งสองให้  ภาคตัดกรวย .

เป็นแอนติโพแดลของ s C ไปเป็นเส้นผ่าน O ขนานกับเส้นของซิมพ์ซัน
วอลเลซ s 

แล้ว isogonal แปลงของ L Kศูนย์
k เขียน Z เก้าจุดวงกลมมีสามเหลี่ยมบน
ไฮเพอร์โบลาซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านผ่าน Z ตั้งแต่ไฮเพอร์โบลาซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านเดียวกันให้รูปสามเหลี่ยมบน .
garc ใหม่ı [ 4 ] ได้แนะนำบางอย่างที่ดินสามเหลี่ยมเบื้องต้นซึ่ง
เราจะใช้ให้บางส่วนของบางส่วนของที่ดินอื่น ข้อมูลของภาคตัดกรวย
ในดินสอ poncelet .นี้จะให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่างใหม่ในคุณสมบัติของ
ภาคตัดกรวยใน poncelet ของดินสอ