The quadratic formula for the gener

The quadratic formula for the general degree two equation is one of the most familiar
equations in mathematics. Surely every college mathematics teacher can quote it and
derive it without efiort. In contrast, the corresponding equation for the solution of the
general cubic is quite obscure. We are all aware that such a formula exists, but it is
an uncommon mathematician who can quote the result, let alone derive it from flrst
principles. Imagine the surprise, therefore, of discovering a simple algebraic derivation
in the middle of looking for something else. Even more surprising, when we reviewed
the literature, we discovered (or rediscovered) other derivations that are just as simple.
Indeed, Oglesby [9] came up with a closely related approach 75 years ago. In retrospect,
the solution of the cubic seems direct enough that we ought to have been more familiar
with it. We hope the reader will experience a similar reaction as we share the derivation
we found so serendipitously, and sketch the more usual approach.
Before proceeding, we should recall that an arbitrary cubic equation can be reduced to
one of the form
x3
+ px + q = 0 (1)
by a linear change of variable. So in what follows, we will only consider this kind of cubic
equation.
The derivation that we will present depends on the following identity.
(!a + b + c)(a + !b + c)(a + b + !c)=(a3
+ b3
+ c3
)! ¡ 3abc!2
(2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สูตรกำลังสองสำหรับสมการสองระดับทั่วไปเป็นหนึ่งในความคุ้นเคยมากที่สุดสมการในวิชาคณิตศาสตร์ แน่นอน ทุกครูคณิตศาสตร์วิทยาลัยสามารถอ้างอิงได้ และได้รับ โดย efiort ในทางตรงข้าม การแก้ปัญหาของสมการที่เกี่ยวข้องลูกบาศก์ทั่วไปจะค่อนข้างคลุมเครือ เราจะทราบทั้งหมดว่า สูตรดังกล่าวมีอยู่ แต่ก็นักคณิตศาสตร์เป็นเรื่องแปลกที่สามารถเสนอผล นับ ประสามาจาก flrstหลักการ จินตนาการแปลกใจ ดังนั้น ของการค้นพบมาเป็นพีชคณิตอย่างง่ายระหว่างมองหาอย่างอื่น ยิ่งน่าแปลกใจ เมื่อเราได้ตรวจสอบวรรณกรรม เราค้นพบ (หรือ rediscovered) รากศัพท์อื่น ๆ ที่เพียงเป็นง่าย ๆจริง ๆ Oglesby [9] มากับวิธีการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดเมื่อ 75 ปีที่ผ่านมา ใน retrospectโซลูชั่นของลูกบาศก์ดูเหมือนว่า ตรงพอที่เราควรจะได้คุ้นเคยกับมัน เราหวังว่า ผู้อ่านจะพบปฏิกิริยาคล้ายกับเราแบ่งปันมาที่เราพบเพื่อ serendipitously และร่างวิธีปกติมากขึ้นก่อน เราควรนึกว่า สามารถลดสมการลูกบาศก์ที่กำหนดให้แบบฟอร์มอย่างใดอย่างหนึ่งx 3px + q = 0 (1)โดยเปลี่ยนตัวแปรเชิงเส้น ดังนั้น ในสิ่งต่อไปนี้ เราจะเพียงพิจารณานี้ชนิดของลูกบาศก์สมการมาที่เราจะนำเสนอขึ้นอยู่กับรหัสต่อไปนี้(! เป็น b + c)(เป็น + ! b + c)(แบบ + b + ! c) = (a3+ b3+ c3)! ¡ 3abc ! 2(2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สูตรสมการกำลังสองสำหรับการศึกษาระดับปริญญาทั่วไปสองสมการเป็นหนึ่งในผู้ที่คุ้นเคยมากที่สุด
สมการทางคณิตศาสตร์ แน่นอนทุกวิทยาลัยครูคณิตศาสตร์สามารถเสนอราคามันและ
ได้รับมาได้โดยไม่ต้องอี Fi ดื่มเกลือแร่ ในทางตรงกันข้ามสมการที่สอดคล้องกันสำหรับการแก้ปัญหาของ
ทั่วไปลูกบาศก์ค่อนข้างคลุมเครือ เราทุกคนตระหนักว่าเช่นสูตรที่มีอยู่ แต่มันก็เป็น
เรื่องแปลกที่นักคณิตศาสตร์ที่สามารถอ้างผลให้อยู่คนเดียวได้รับมาจากชั้นแรก
หลักการ นึกแปลกใจจึงของการค้นพบมาพีชคณิตง่าย
ในช่วงกลางของการมองหาสิ่งอื่น ยิ่งน่าแปลกใจเมื่อเราตรวจสอบ
วรรณกรรมที่เราค้นพบ (หรือค้นพบ) การพิสูจน์อื่น ๆ ที่เป็นเพียงง่ายๆเป็น.
แท้จริง Oglesby [9] ขึ้นมาด้วยวิธีการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด 75 ปีที่ผ่านมา ในการหวนกลับ
แก้ปัญหาของลูกบาศก์ที่ดูเหมือนว่าโดยตรงพอที่เราควรจะได้รับคุ้นเคย
กับมัน เราหวังว่าผู้อ่านจะได้สัมผัสกับปฏิกิริยาที่คล้ายกันในขณะที่เราร่วมกันมา
เราพบเพื่อ serendipitously และร่างแนวทางปกติมากขึ้น.
ก่อนที่จะดำเนินการต่อไปเราควรจะจำได้ว่าสมลูกบาศก์โดยพลการจะลดลงถึง
หนึ่งในรูปแบบ
x3
+ px + Q = 0 (1)
จากการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของตัวแปร ดังนั้นในสิ่งต่อไปนี้เราจะพิจารณาชนิดของลูกบาศก์นี้
สม.
มาที่เราจะนำเสนอขึ้นอยู่กับตัวตนต่อไป.
(! + b + c) (+! b + c) (A + B + C! ) = (A3
+ b3
+ c3
)! ¡ 3ABC 2
(2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สูตร Quadratic สำหรับระดับทั่วไปสองสมการเป็นสมการที่คุ้นเคย
ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ แน่นอนทุกครูคณิตศาสตร์วิทยาลัยสามารถอ้างอิงและ
สืบทอดโดยไม่ E จึงสถาน . ในทางตรงกันข้าม สมการที่สอดคล้องกันสำหรับโซลูชั่นของ
ลูกบาศก์ทั่วไปค่อนข้างคลุมเครือ เราทุกคนทราบว่า เป็นสูตรมีอยู่จริง แต่เป็นนักคณิตศาสตร์ที่
ฉีกแนวสามารถอ้างผลอย่าว่าแต่สืบทอดมาจากหลักการแรก
fl . นึกแปลกใจ จึงค้นพบ
รากศัพท์พีชคณิตง่ายในกลางของการมองหาสิ่งอื่น ก็น่าแปลกใจเมื่อเราตรวจสอบ
วรรณคดีที่เราค้นพบ หรือค้นพบ ) derivations อื่นที่แค่ง่าย .
แน่นอน Oglesby [ 9 ] มาด้วยวิธีการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดเมื่อ 75 ปีก่อน ในการหวนกลับ ,
โซลูชั่นของลูกบาศก์ดูตรงเพียงพอที่เราควรจะคุ้นเคยมากกว่า
ด้วย เราหวังว่าผู้อ่านจะได้รับปฏิกิริยาที่คล้ายกับเราใช้รากศัพท์
เราเจอแล้ว serendipitously และร่างแบบปกติมากกว่า
ก่อนดำเนินการ เราต้องระลึกว่าสมการลูกบาศก์โดยพลการจะลดลงไปหนึ่งรูป

3
% Q = 0 ( 1 )
โดยการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นของ ตัวแปรดังนั้น สิ่งที่ตามมา เราก็จะพิจารณาชนิดของสมการลูกบาศก์
.
% ที่เราจะนำเสนอขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ต่อไปนี้ .
! A B C ) ( ! B C ( B C ) = ( A3
B3
3
) ¡ 3abc ! 2
( 2 )