The Hilbert basis of the polyhedral

The Hilbert basis of the polyhedral cone of 8 x 8 Franklin squares is generated by the action of the group G on the three squares Tl, T2, and T3 in Figure 8 and their counterclockwise rotations through 90 degree angles. Not all squares generated by these operations are distinct. Let R denote the operation of rotating a square 90 degrees in the counterclockwise direction. Observe that R2 • Tl is the same as Tl and R3 ■ Tl coincides with R • Tl. Similarly, R1 • T2 is just T2, and R3 • T2 is the same as R • T2. Also Tl and R • Tl are invariant under the action of the group G. Therefore the Hilbert basis of the polyhedral cone of 8 x 8 Franklin squares consists of the following ninety-eight Franklin squares: Tl and R ■ Tl; the thirty-two squares generated by the action of G on T2 and R T2; the sixty-four squares generated by the action of G on T3 and its three rotations R • T3, R2 • T3, and R3 ■ T3.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฮิลแบร์ทพื้นฐานของกรวย polyhedral ของสี่เหลี่ยม 8 x 8 แฟรงคลินถูกสร้างขึ้น โดยการกระทำของกลุ่ม G บนสี่เหลี่ยมสาม Tl, T2 และ T3 ในรูปที่ 8 และการหมุนทวนเข็มนาฬิกาผ่านมุม 90 องศา สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่สร้างขึ้น โดยการดำเนินการเหล่านี้จะแตกต่างกัน ให้ R ที่แสดงการหมุน 90 องศาในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาสี่เหลี่ยม สังเกตว่า R2 • Tl เป็นเหมือน Tl และ R3 ■ Tl ที่สอดคล้องกับ R • Tl ในทำนองเดียวกัน R1 • T2 T2 เพียง และ R3 • T2 จะเหมือนกับ R • T2 ยังไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่ม G. • Tl และ R Tl ดังนั้น พื้นฐานของฮิลแบร์ทของกรวย polyhedral ของแฟรงคลิน 8 x 8 ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมแฟรงคลินเก้าสิบแปดต่อไปนี้: ■ Tl และ R Tl สามสิบสองเหลี่ยมที่สร้างขึ้น โดยการกระทำของ G T2 และ R T2 หกสิบสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้น โดยการกระทำของ G ใน T3 และสามหมุน R • T3, R2 • T3 และ R3 ■ T3

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พื้นฐานของฮิลแบร์ตกรวย polyhedral 8 x 8 แฟรงคลินสแควร์จะถูกสร้างขึ้นโดยการกระทำของกลุ่ม G ในสามสี่เหลี่ยม Tl, T2 และ T3 ในรูปที่ 8 และการหมุนทวนเข็มนาฬิกาของพวกเขาผ่านทาง 90 องศามุม ไม่สี่เหลี่ยมทั้งหมดที่เกิดจากการดำเนินการเหล่านี้มีความแตกต่าง Let R หมายถึงการดำเนินงานของการหมุนตาราง 90 องศาในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา สังเกตว่า R2 • Tl เป็นเช่นเดียวกับ Tl และ R3 ■ Tl สอดคล้องกับ R • Tl ในทำนองเดียวกัน R1 • T2 เป็นเพียง T2 และ R3 • T2 เป็นเช่นเดียวกับ R • T2 นอกจากนี้ยัง Tl และ R • Tl คงที่ภายใต้การกระทำของกลุ่มจีดังนั้นพื้นฐานของฮิลแบร์ตกรวย polyhedral 8 x 8 แฟรงคลินสแควร์ประกอบด้วยดังต่อไปแปดเก้าแฟรงคลินสแควร์: Tl และ R ■ Tl; สามสิบสองสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการกระทำของ G บน T2 และ R T2 นั้น หกสิบสี่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการกระทำของ G บน T3 และสามผลัดของ R • T3, R2 • T3 และ R3 ■ T3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยพื้นฐานที่แท้จริงของซึ่งมีกรวย 8 x 8 Franklin สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นโดยการกระทำของกลุ่ม G ในสามสี่เหลี่ยม TL , T2 และ T3 ในรูปที่ 8 และทวนเข็มนาฬิกาหมุนไป 90 องศา ไม่ทั้งหมดสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการดำเนินการเหล่านี้จะแตกต่างกัน ให้ R แทนการหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา เป็นสี่เหลี่ยมในทิศทาง สังเกตว่า อาร์ทู - TL ก็เหมือน TL R3 ■ TL และสอดคล้องกับ R - tl. ในทํานองเดียวกัน แค่ R1 - T2 T2 และ R3 A4 T2 เป็นเช่นเดียวกับ R - T2 นอกจากนี้ TL และ R - TL จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของกลุ่ม จี ดังนั้น ฮิลเบิร์ตพื้นฐานของซึ่งมีกรวย 8 x 8 แฟรงคลินแฟรงคลินสี่เหลี่ยมกับสี่เหลี่ยมประกอบด้วยต่อไปนี้ : TL และ R ■ TL ; 32 สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยการกระทำของ G ใน T2 T2 r ; หกสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดย การกระทำของ G ใน T3 และ 3 รอบ - - T3 r T3 , R2 และ R3 ■ T3 .