Various forms of sorting problems h

Various forms of sorting problems have been studied over the years. Recently, two kinds of sorting puzzle apps are popularized. In these puzzles, we are given a set of bins filled with colored units, balls or water, and some empty bins. These puzzles allow us to move colored units from a bin to another when the colors involved match in some way or the target bin is empty. The goal of these puzzles is to sort all the color units in order. We investigate computational complexities of these puzzles. We first show that these two puzzles are essentially the same from the viewpoint of solvability. That is, an instance is sortable by ball-moves if and only if it is sortable by water-moves. We also show that every yes-instance has a solution of polynomial length, which implies that these puzzles belong to NP. We then show that these puzzles are NP-complete. For some special cases, we give polynomial-time algorithms. We finally consider the number of empty bins sufficient for making all instances solvable and give non-trivial upper and lower bounds in terms of the number of filled bins and the capacity of bins.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในช่วงหลายปีที่ผ่านมามีการศึกษาปัญหาการเรียงลำดับรูปแบบต่างๆ เมื่อเร็ว ๆ นี้แอปปริศนาการเรียงลำดับสองประเภทได้รับความนิยม ในปริศนาเหล่านี้ เราได้รับชุดถังขยะที่เต็มไปด้วยหน่วยสี ลูกบอลหรือน้ำ และถังขยะเปล่าบางส่วน ปริศนาเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถย้ายหน่วยสีจากถังขยะไปยังอีกถังหนึ่งได้เมื่อสีที่เกี่ยวข้องตรงกันในทางใดทางหนึ่งหรือถังเป้าหมายว่างเปล่า เป้าหมายของปริศนาเหล่านี้คือการเรียงลำดับหน่วยสีทั้งหมดตามลำดับ เราตรวจสอบความซับซ้อนในการคำนวณของปริศนาเหล่านี้ ก่อนอื่นเราแสดงให้เห็นว่าปริศนาทั้งสองนี้โดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกันจากมุมมองของความสามารถในการแก้ไข นั่นคือ อินสแตนซ์สามารถจัดเรียงได้โดยการเคลื่อนที่ของลูกบอล ถ้าหากสามารถจัดเรียงได้ด้วยการเคลื่อนที่ของน้ำเท่านั้น นอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่าทุกอินสแตนซ์ใช่มีคำตอบของความยาวพหุนาม ซึ่งหมายความว่าปริศนาเหล่านี้เป็นของ NP จากนั้นเราจะแสดงว่าปริศนาเหล่านี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว สำหรับกรณีพิเศษบางกรณี เราจะให้อัลกอริทึมเวลาแบบพหุนาม ในที่สุดเราจะพิจารณาจำนวนถังเปล่าที่เพียงพอสำหรับทำให้อินสแตนซ์ทั้งหมดสามารถแก้ไขได้ และให้ขอบเขตบนและล่างที่ไม่สำคัญในแง่ของจำนวนถังที่เติมและความจุของถัง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลายปีที่ผ่านมามีการศึกษาปัญหาการเรียงลําดับในรูปแบบต่าง ๆ เมื่อเร็ว ๆ นี้ แอปปริศนาสองประเภทกําลังได้รับความนิยม จากปริศนาเหล่านี้ เราได้กล่องที่เต็มไปด้วยหน่วยสี ลูกบอลหรือน้ำ และกล่องเปล่าอีกจำนวนหนึ่ง เมื่อสีที่เกี่ยวข้องตรงกับทางใดทางหนึ่ง หรือถังขยะเป้าหมายว่างเปล่า ปริศนาเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถย้ายหน่วยสีจากถังขยะหนึ่งไปยังอีกถังขยะหนึ่งได้ จุดประสงค์ของปริศนาเหล่านี้คือการเรียงลำดับหน่วยสีทั้งหมดตามลําดับ เราศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณของปริศนาเหล่านี้ เราเริ่มจากการพิสูจน์ จากมุมมองของการแก้ปริศนา ว่าปริศนาทั้งสองนั้นเหมือนกัน นั่นคือตัวอย่างสามารถเรียงลำดับโดยการเคลื่อนไหวของลูกบอลเมื่อและเฉพาะเมื่อสามารถเรียงลำดับโดยการเคลื่อนไหวของน้ำ นอกจากนี้เรายังพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกกรณี "ใช่" มีคำตอบของความยาวพหุนามซึ่งหมายความว่าปริศนาเหล่านี้เป็นของ NP จากนั้นเราก็พิสูจน์ว่าปริศนาเหล่านี้เป็นของ NP อย่างสมบูรณ์ สำหรับกรณีพิเศษบางอย่าง เราได้ให้อัลกอริทึมเวลาพหุนาม ในที่สุดเราคิดว่าจำนวนกล่องเปล่าเพียงพอสำหรับการติดตั้งทั้งหมด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลายปีที่ผ่านมาผู้คนได้ศึกษาปัญหาการจัดเรียงรูปแบบต่างๆ เมื่อเร็วๆนี้เป็นที่นิยมสองประเภทของการเรียงลําดับปริศนาแอป ในปริศนาเหล่านี้เราจะได้รับชุดของกล่องที่เต็มไปด้วยหน่วยสีลูกหรือน้ําและกล่องว่างเปล่า ปริศนาเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถย้ายหน่วยสีจากกล่องหนึ่งไปยังอีกกล่องหนึ่งได้เมื่อสีที่เกี่ยวข้องตรงกันหรือกล่องเป้าหมายว่างเปล่า เป้าหมายของปริศนาเหล่านี้คือการเรียงลําดับหน่วยสีทั้งหมด เราศึกษาความซับซ้อนในการคํานวณของปัญหาเหล่านี้ ก่อนอื่นเราแสดงให้เห็นว่าจากมุมมองของความสามารถในการแก้ปัญหาทั้งสองอย่างนี้มีความเหมือนกัน นั่นคือเมื่อและเฉพาะเมื่ออินสแตนซ์สามารถเรียงลําดับได้โดยการเคลื่อนที่ของน้ําก็สามารถเรียงลําดับได้โดยการเคลื่อนที่ของลูกบอล นอกจากนี้เรายังพิสูจน์ได้ว่าแต่ละอินสแตนซ์ของyesมีโซลูชันความยาวพหุนามซึ่งหมายความว่าปริศนาเหล่านี้เป็นของNP จากนั้นเราพิสูจน์ว่าปริศนาเหล่านี้เป็นNPสมบูรณ์ สําหรับกรณีพิเศษบางอย่างเราให้อัลกอริทึมเวลาพหุนาม สุดท้ายเราพิจารณาจํานวนกล่องที่ว่างเปล่าเพียงพอที่จะทําให้อินสแตนซ์ทั้งหมดสามารถแก้ปัญหาได้และให้ขอบเขตด้านบนและด้านล่างที่ไม่ธรรมดาขึ้นอยู่กับจํานวนกล่องที่เต็มไปด้วยและความจุของกล่อง