Forum GeometricorumVolume 16 (2016)

Forum Geometricorum
Volume 16 (2016) 347–354.

FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
Two Six-Circle Theorems for Cyclic Pentagons
Gregoire Nicollier ´
Abstract. Miquel’s pentagram theorem is true for any pentagon. We consider
the pentagram obtained by producing the sides of a pentagon and prove two further six-circle theorems, the ﬁrst for a cyclic pentagram and the second for a
cyclic pentagon. If the pentagram is cyclic, consecutive circumcircles of the ear
edges issued from the same pentagon vertex have concyclic alternate intersections. If the pentagon is cyclic, alternate intersections of the circumcircles of the
rooted ears issued from the same pentagon vertex are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon). Among related results, we also show that the circumcircle of an ear producing opposite sides of a
cyclic quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both
tangent to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral.
1. Introduction
Take any planar pentagon, not necessarily simple and convex, and consider the
pentagram obtained by producing the sides of the pentagon. By Miquel’s theorem,
the circumcircles of consecutive ears meet at ﬁve concyclic points besides the pentagon vertices (Figure 1). We prove two further six-circle theorems, the ﬁrst for a
cyclic pentagram and the second for a cyclic pentagon (Section 2). Larry Hoehn [5]
found that, for any pentagon, the circumcircles of the ear edges issued from the
same pentagon vertex have a common radical center: we show that alternate intersections of such consecutive circumcircles are concyclic when the pentagram
is cyclic (Figure 2). Dao Thanh Oai [3] discovered experimentally with dynamic
geometry software that alternate intersections of the circumcircles of the rooted
ears issued from the same vertex of a cyclic pentagon are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon): we prove this conjecture by explicit computations and show that this immediately follows from the fact
that these circumcircles have a common radical center (Figure 3). Using similar
computations, we obtain related results in Section 3. Here are two examples: the
circumcircles of Miquel’s theorem have a common radical center when the pentagon is cyclic; the circumcircle of an ear producing opposite sides of a cyclic
quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both tangent
to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral. We also
give a short computational proof of Dao’s theorem on six circumcenters associated
with a cyclic hexagon [2, 4, 1].
2. The six-circle theorems
Theorem 1. Consider a pentagon A1A2A3A4A5 (possibly nonconvex or selfintersecting) and the pentagram with ear apices Ek+0.5 = Ak−1Ak ∩ Ak+1Ak+2
Publication Date: November 3, 2016. Communicating Editor: Paul Yiu.

Forum Geometricorum
Volume 16 (2016) 347–354.

FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
Two Six-Circle Theorems for Cyclic Pentagons
Gregoire Nicollier ´
Abstract. Miquel’s pentagram theorem is true for any pentagon. We consider
the pentagram obtained by producing the sides of a pentagon and prove two further six-circle theorems, the ﬁrst for a cyclic pentagram and the second for a
cyclic pentagon. If the pentagram is cyclic, consecutive circumcircles of the ear
edges issued from the same pentagon vertex have concyclic alternate intersections. If the pentagon is cyclic, alternate intersections of the circumcircles of the
rooted ears issued from the same pentagon vertex are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon). Among related results, we also show that the circumcircle of an ear producing opposite sides of a
cyclic quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both
tangent to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral.
1. Introduction
Take any planar pentagon, not necessarily simple and convex, and consider the
pentagram obtained by producing the sides of the pentagon. By Miquel’s theorem,
the circumcircles of consecutive ears meet at ﬁve concyclic points besides the pentagon vertices (Figure 1). We prove two further six-circle theorems, the ﬁrst for a
cyclic pentagram and the second for a cyclic pentagon (Section 2). Larry Hoehn [5]
found that, for any pentagon, the circumcircles of the ear edges issued from the
same pentagon vertex have a common radical center: we show that alternate intersections of such consecutive circumcircles are concyclic when the pentagram
is cyclic (Figure 2). Dao Thanh Oai [3] discovered experimentally with dynamic
geometry software that alternate intersections of the circumcircles of the rooted
ears issued from the same vertex of a cyclic pentagon are concyclic (a rooted ear is
an ear extended by the neighboring sides of the pentagon): we prove this conjecture by explicit computations and show that this immediately follows from the fact
that these circumcircles have a common radical center (Figure 3). Using similar
computations, we obtain related results in Section 3. Here are two examples: the
circumcircles of Miquel’s theorem have a common radical center when the pentagon is cyclic; the circumcircle of an ear producing opposite sides of a cyclic
quadrilateral and the circumcircle of the corresponding rooted ear are both tangent
to the same two circles centered at the circumcenter of the quadrilateral. We also
give a short computational proof of Dao’s theorem on six circumcenters associated
with a cyclic hexagon [2, 4, 1].
2. The six-circle theorems
Theorem 1. Consider a pentagon A1A2A3A4A5 (possibly nonconvex or selfintersecting) and the pentagram with ear apices Ek+0.5 = Ak−1Ak ∩ Ak+1Ak+2
Publication Date: November 3, 2016. Communicating Editor: Paul Yiu.

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

ฟอรั่ม Geometricorumปริมาณ 16 (2016) 347-354 GEOM ฟอรั่มนอก 1534-1178สองวงกลมหก Theorems สำหรับวงจร PentagonsGregoire Nicollier แบ็คบทคัดย่อ ทฤษฎีบท pentagram Miquel's เป็นจริงสำหรับรูปห้าเหลี่ยมใด ๆ เราพิจารณาใน pentagram รับผลิตด้านของรูปห้าเหลี่ยม และพิสูจน์ theorems วงกลมหกเพิ่มเติมสอง แรกสำหรับใน pentagram ทุกรอบและที่สองสำหรับการห้าเหลี่ยมวงกลม ถ้าใน pentagram circumcircles ทุกรอบ ติดกันของหูขอบออกจากเพนตากอนจุดยอดเดียวกัน concyclic อื่นแยกได้ ถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมตัดวงจร สำรองของ circumcircles ของการรากหูออกจากเพนตากอนจุดยอดเดียวกันเป็น concyclic (หูฝังรากอยู่หูขยายด้านข้างใกล้เคียงของรูปห้าเหลี่ยม) ในบรรดาผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้อง เรายังแสดงที่ circumcircle ของหูด้านตรงข้ามของการผลิตสี่เหลี่ยมวงกลมและ circumcircle หูรากสอดคล้องกันเส้นที่สัมผัสเดียวสองวง circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม1. บทนำใช้ห้าระนาบใด ๆ ไม่จำเป็นต้องง่าย และ นูน และพิจารณาการpentagram รับผลิตด้านของรูปห้าเหลี่ยม โดยทฤษฎีบท Miquel'scircumcircles ติดต่อกันหูของตรงจุด concyclic ด้านนอกจุดเพนตากอน (รูปที่ 1) เราพิสูจน์สองเพิ่มเติมวงกลมหก theorems แรกสำหรับการpentagram ทุกรอบและที่สองสำหรับรูปห้าเหลี่ยมวงกลม (2 ส่วน) Larry Hoehn [5]พบว่า รูปห้าเหลี่ยมใด ๆ circumcircles ของขอบหูออกจากการจุดยอดของเพนตากอนที่เดียวมีศูนย์รุนแรงทั่วไป: เราแสดงว่า ตัดสำรองของ circumcircles ดังกล่าวติดต่อกันเป็น concyclic เมื่อ pentagramเป็นวงจร (รูป 2) Dao แท็งค่อน [3] ค้นพบทดลองพร้อมด้วยซอฟต์แวร์เรขาคณิตที่สลับตัดของ circumcircles ของการฝังรากหูออกจากจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมวงกลมเดียวกันคือ concyclic (หูฝังรากอยู่หูที่ขยายด้านข้างใกล้เคียงของรูปห้าเหลี่ยม): เราพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้ โดยประมวลผลที่ชัดเจน และแสดงว่า นี้ต่อจากข้อเท็จจริงที่ circumcircles เหล่านี้มีศูนย์รุนแรงทั่วไป (3 รูป) ใช้คล้ายกันประมวลผล เราได้รับผลที่เกี่ยวข้องในส่วนที่ 3 นี่คือตัวอย่างที่สอง: การcircumcircles ของทฤษฎีบท Miquel's มีศูนย์ทั่วไปรุนแรงเมื่อรูปห้าเหลี่ยมเป็นวงกลม circumcircle ของหูด้านตรงข้ามของวงจรการผลิตมีแทนเจนต์ทั้งสี่เหลี่ยมและ circumcircle หูรากสอดคล้องกันที่เดียวสองวง circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม เรายังให้หลักฐานสั้นคำนวณทฤษฎีบทของ Dao ในหก circumcenters เกี่ยวข้องกับวงจรในรูปหกเหลี่ยม [2, 4, 1]2. วงกลมหก theoremsทฤษฎีบทที่ 1 พิจารณารูปห้าเหลี่ยม A1A2A3A4A5 (อาจจะ nonconvex หรือ selfintersecting) และ pentagram กับหู apices Ek + 0.5 = Ak−1Ak ∩ Ak + 1Ak + 2วันเผยแพร่: 3 พฤศจิกายน 2016 บรรณาธิการสื่อสาร: พอลหยิ่ว

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

ฟอรั่ม Geometricorum
ปริมาณ 16 (2016) 347-354

ฟอรั่ม GEOM
ISSN 1534-1178
สองหกวงกลม Theorems สำหรับ Cyclic ห้าเหลี่ยม
Gregoire Nicollier '
บทคัดย่อ ทฤษฎีบทรูปดาวห้าแฉก Miquel เป็นจริงสำหรับเพนตากอนใด ๆ เราพิจารณา
รูปดาวห้าแฉกที่ได้จากการผลิตด้านของเพนตากอนและพิสูจน์ทฤษฎีบทอีกสองหกวงกลม RST Fi สำหรับรูปดาวห้าแฉกวงจรและครั้งที่สองสำหรับ
วงจรเพนตากอน ถ้ารูปดาวห้าแฉกคือเป็นวงกลม, circumcircles ติดต่อกันของหู
ขอบออกจากเพนตากอนจุดสุดยอดเหมือนกันมีทางแยกสลับ concyclic ถ้าเพนตากอนคือเป็นวงกลมแยกสลับ circumcircles ของ
หูฝังรากออกจากเพนตากอนจุดสุดยอดเดียวกัน concyclic (หูฝังรากเป็น
หูขยายด้านข้างใกล้เคียงของเพนตากอน) ในผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องนอกจากนี้เรายังแสดงให้เห็นว่า circumcircle ของหูผลิตด้านตรงข้ามของ
วงกลมสี่เหลี่ยมและ circumcircle ของหูฝังรากที่สอดคล้องกันทั้งสอง
สัมผัสกันไปเหมือนกันสองวงการศูนย์กลางที่ circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม
1. บทนำ
ใช้ใด ๆ ระนาบเพนตากอนไม่จำเป็นต้องง่ายและนูนและพิจารณา
รูปดาวห้าแฉกที่ได้จากการผลิตด้านข้างของเพนตากอน โดยทฤษฎีบท Miquel ของ
circumcircles หูติดต่อกันพบกันที่จุด Fi ได้ concyclic นอกเหนือจากจุดที่เพนตากอน (รูปที่ 1) เราพิสูจน์ให้เห็นอีกสองทฤษฎีหกวงกลม RST Fi สำหรับ
รูปดาวห้าแฉกวงจรและครั้งที่สองสำหรับวงจรเพนตากอน (ส่วนที่ 2) แลร์รี่ [5] ด์เฮิ
พบว่าสำหรับเพนตากอนใด ๆ circumcircles ของหูขอบออกจากที่
เพนตากอนจุดสุดยอดเดียวกันมีศูนย์รุนแรงเหมือนกัน: เราแสดงให้เห็นว่าทางแยกสลับ circumcircles ติดต่อกันดังกล่าวมี concyclic เมื่อรูปดาวห้าแฉก
คือเป็นวงกลม (รูปที่ 2) . Dao Thanh OAI [3] ค้นพบการทดลองกับแบบไดนามิก
ซอฟแวร์รูปทรงเรขาคณิตที่แยกสลับ circumcircles ของหยั่งรากที่
หูออกจากจุดสุดยอดเดียวกันของวงจรเพนตากอนมี concyclic (หูฝังรากเป็น
หูขยายด้านข้างใกล้เคียงของเพนตากอน): เราพิสูจน์ได้ว่าการคาดเดานี้โดยการคำนวณอย่างชัดเจนและแสดงให้เห็นว่านี้เป็นไปตามทันทีจากความจริงที่
ว่า circumcircles เหล่านี้มีศูนย์อนุมูลอิสระที่พบบ่อย (รูปที่ 3) การใช้คล้าย
คำนวณเราได้รับผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องในมาตรา 3 ที่นี่สองตัวอย่างคือ:
circumcircles ทฤษฎีบท Miquel มีศูนย์รุนแรงทั่วไปเมื่อเพนตากอนคือเป็นวงกลม; circumcircle ของหูผลิตด้านตรงข้ามของวงจร
รูปสี่เหลี่ยมและ circumcircle ของหูฝังรากที่สอดคล้องกันจะสัมผัสกันทั้ง
เดียวกันสองวงการศูนย์กลางที่ circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม นอกจากนี้เรายัง
ให้หลักฐานการคำนวณระยะสั้นของทฤษฎีบทของ Dao ในหก circumcenters เกี่ยวข้อง
กับหกเหลี่ยมวงกลม [2, 4, 1]
2. วงกลมหก theorems
ทฤษฎีบท 1. พิจารณาเพนตากอน A1A2A3A4A5 (อาจ nonconvex หรือ selfintersecting) และรูปดาวห้าแฉกที่มี apices หู Ek + 0.5 = Ak-1Ak ∩ Ak + 1Ak + 2
วันที่ตีพิมพ์: 3 พฤศจิกายน 2016 การสื่อสารบรรณาธิการ: พอลยู

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

บอร์ด geometricorum16 เล่ม ( 2016 ) 347 – 354 .เว็บบอร์ดกึมชื่อ 1534-1178สองหกวงทฤษฎีบทสำหรับแบบห้าเหลี่ยมเกรกอรี่ nicollier ใหม่นามธรรม มิเกลเป็นรูปดาวห้าแฉกทฤษฎีบทเป็นจริงใด ๆในเพนตาก้อน เราพิจารณาดาวห้าแฉกที่ได้จากการผลิต ด้านข้างของเพนตากอนและพิสูจน์ทฤษฎีบทวงกลมหกสองเพิ่มเติม , RST จึงเป็นรูปดาวห้าแฉกและวงกลมที่สองสำหรับเป็นวงกลมในเพนตาก้อน ถ้าดาวห้าแฉกเป็นวัฏจักรต่อเนื่อง circumcircles ของหูขอบออกจากยอดรูปห้าเหลี่ยมเดียวกันมี concyclic สำรองสูง ถ้าเป็นแบบห้าเหลี่ยม ทางแยกอื่นของ circumcircles ของรากหูออกจากยอดรูปห้าเหลี่ยมเดียวกัน concyclic ( ฝังหูหูขยายโดยเพื่อนบ้านด้านห้าเหลี่ยม ) ระหว่างที่เกี่ยวข้องกับผล เรายังแสดงให้เห็นว่า circumcircle ของหูผลิตด้านตรงข้ามของเป็นรูปสี่เหลี่ยมและ circumcircle ของที่ฝังหูทั้งคู่สัมผัสเดียวกันสองวงกลมศูนย์กลางที่ circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม .1 . แนะนำใช้ระนาบเพนตากอน , ไม่จําเป็นต้องง่ายและนูน และพิจารณารูปดาวห้าแฉกที่ได้จากการผลิตด้านของเพนตากอน โดยทฤษฎีบท มิเกล ,การ circumcircles หูติดต่อกันจึงได้พบกันที่ concyclic จุดนอกจากนี้ห้าเหลี่ยมจุด ( รูปที่ 1 ) เราพิสูจน์ทฤษฎีบทวงกลมหกสองเพิ่มเติม , RST จึงสำหรับและดาวห้าแฉกแบบที่สองเป็นแบบห้าเหลี่ยม ( ส่วนที่ 2 ) แลร์รี่โอน [ 5 ]พบว่าสำหรับเพนตากอน , circumcircles ของหูขอบออกจากจุดยอดเดียวกันมีทั่วไปศูนย์เพนตากอนหัวรุนแรง : เราแสดงให้เห็นว่าทางแยกอื่น เช่น circumcircles ติดต่อกันเป็น concyclic เมื่อดาวห้าแฉกเป็นวงกลม ( รูปที่ 2 ) ดาวแทง าย [ 3 ] ค้นพบการทดลองกับแบบไดนามิกเรขาคณิตซอฟต์แวร์ที่แยกสลับของ circumcircles ของรากหูออกจากจุดยอดเดียวกันของเพนตากอน ไซคลิกจะ concyclic ( ฝังหูหูขยายโดยเพื่อนบ้านข้างของเพนตากอน ) : เราจะพิสูจน์ข้อความคาดการณ์นี้โดยวิธีการที่ชัดเจนและแสดงให้เห็นว่านี้คือความจริงทันทีที่ circumcircles เหล่านี้มีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่รุนแรง ( รูปที่ 3 ) ใช้คล้ายวิธีการที่เราได้รับที่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ในมาตรา 3 ที่นี่สองตัวอย่าง :circumcircles ทฤษฎีบท มิเกลก็มีทั่วไปรุนแรงศูนย์เมื่อเพนตากอนเป็นวงกลม ; circumcircle ของหูผลิตด้านตรงข้ามของไซคลิกรูปสี่เหลี่ยมและ circumcircle ของรากหูทั้งสองสัมผัสกันในการเดียวกันสองวงกลมศูนย์กลางที่ circumcenter ของรูปสี่เหลี่ยม . นอกจากนี้เรายังให้หลักฐานการคำนวณสั้นของทฤษฎีบทดาวหก circumcenters เกี่ยวข้องกับแบบหกเหลี่ยม [ 2 , 4 , 1 ]2 . ทฤษฎีบทวงกลมหกทฤษฎีบทที่ 1 พิจารณาของกระทรวงกลาโหม a1a2a3a4a5 ( อาจจะ nonconvex หรือ selfintersecting ) และดาวห้าแฉกกับหู apices EK + 0.5 = AK − 1ak ∩ AK + 1ak + 2วันที่ตีพิมพ์ : 3 พฤศจิกายน 2552 . การแก้ไข : พอล หยู

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.