Then again, the concept image is a

Then again, the concept image is a global property, the notion of continuity
over an interval, not continuity at a point. There are strange animals like
f (x) = x (x rational)
1- x (x irrational)
ìíî
which are formally continuous at a single point (in this case at 12
) yet conflict
with all three evoked images mentioned above. (It is not in one piece, nor given
by a single formula, nor has it a smoothly varying graph.)
If a student is presented with one of these exotic creatures and it causes
cognitive conflict with his concept image, then he may be in difficulties. When
the teacher is aware of the possible concept images it may be possible to bring
incorrect images to the surface and, by discussion, rationalise the problem.
However, parts of the concept image may be very strong, especially the idea
that the graph is all in one piece over real intervals. This latter mental picture is,
in fact, correct. Even so, it can still cause problems in the formal theory.
In a mental picture of the intermediate value theorem and the extreme value
theorem, the results are patently obvious, but the proofs of those results using
the concept definition are more subtle. Without entering too deeply into another
area, we briefly mention that current investigations are revealing the extent to
which students have problems with the meaning of “all” and “some” and the
manipulation of quantifiers. This means that many students have great difficulty
(as is well known) with manipulating the definitions of limits and continuity.
They are then in the situation where they may have a strong mental picture yet
the concept definition image is weak. They understand the statements of
theorems as being obvious, but cannot follow the proofs.
In such a situation, students who do succeed become very suspicious of ideas
in analysis. At more advanced levels it becomes far more difficult to visualise
the concepts as mental pictures and they can never be sure of the intuitions
suggested by their concept image which may be now a mixture of strong
concept images having potential conflicts with the concept definition. For
instance, how does one visualise a function which is continuous everywhere but
differentiable nowhere? Or what mental picture can one have of a function f
whose derivatives f ¢ exists yet f ¢ may not be continuous? The mental pictures
which served the students well at an earlier stage may now become an
impediment. Bruner suggested that iconic processing limited ideas and urged a
movement onto the symbolic level. But the student, saddled with his inadequate
concept image, may find such a development difficult to achieve. In these and
other ways, the difficulty of forming an appropriate concept image, and the
coercive effects of an inappropriate one having potential conflicts, can seriously
hinder the development of the formal theory in the mind of the individual
student.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

อีก ภาพแนวคิดเป็นแบบสากล แนวคิดของความต่อเนื่องช่วงช่วง ความต่อเนื่องไม่มีจุด มีสัตว์แปลก ๆ เช่นf (x) = x (x เชือด)1 - x (x จำนวนอตรรกยะ)ìíîซึ่งจะต่อเนื่องที่จุดเดียว (ในกรณีนี้ที่ 12 อย่างเป็นกิจจะลักษณะ) ความขัดแย้งได้มีทั้งหมดสาม evoked ภาพดังกล่าวข้างต้น (จึงไม่อยู่ ในชิ้นเดียว หรือให้โดยสูตรเดียว ไม่มีกราฟแตกต่างกันได้อย่างราบรื่น)ถ้านักเรียนจะนำเสนอกับสิ่งมีชีวิตแปลกใหม่เหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง และจะทำให้รับรู้ความขัดแย้งกับแนวคิดของเขาภาพ แล้วเขาอาจจะอยู่ในความยากลำบาก เมื่อครูได้ทราบถึงภาพแนวคิดเป็นไปได้ที่อาจสามารถนำไม่ถูกต้องภาพพื้นผิว และ สนทนา rationalise ปัญหาอย่างไรก็ตาม ส่วนของภาพแนวคิดอาจจะแข็งแรงมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดที่กราฟอยู่ในหนึ่งช่วงจริง ภาพนี้หลังได้ในความเป็นจริง ถูกต้อง มาก มันสามารถยังทำให้เกิดปัญหาในทางทฤษฎีในจินตภาพของทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางและค่ามากทฤษฎีบท ผลมีเหตุชัดเจน แต่หลักฐานของผลเหล่านั้นโดยใช้คำนิยามแนวความคิดลึกซึ้งยิ่งขึ้น โดยไม่ต้องเข้าไปลึกอีกที่ตั้ง เราสั้น ๆ พูดว่า สอบสวนปัจจุบันได้เปิดเผยขอบเขตการนักเรียนที่มีปัญหาเกี่ยวกับความหมายของ "ทั้งหมด" และ "บาง" และการไม่สอดคล้อง หมายความ ว่า นักเรียนหลายคนมีปัญหามาก(ตามที่เป็นรู้จักกันดี) กับการจัดการกับข้อกำหนดของข้อจำกัดและความต่อเนื่องแล้วพวกเขาอยู่ในสถานการณ์ที่อาจมีภาพที่แข็งแกร่งยังรูปภาพแนวคิดคำจำกัดความอ่อนแอได้ พวกเขาเข้าใจคำสั่งของทฤษฎีบทเป็นชัดเจน แต่ไม่ทำตามหลักฐานเช่นสถานการณ์ นักเรียนที่ประสบความสำเร็จเป็นมากสงสัยของความคิดในการวิเคราะห์ ในระดับสูงขึ้นไป นั้นยากมากที่จะ visualiseแนวความคิดที่เป็นรูปภาพทางจิตใจและพวกเขาไม่สามารถแน่ใจ intuitions คิดการแนะนำ โดยภาพของแนวคิดซึ่งตอนนี้อาจมีส่วนผสมของแข็งภาพแนวคิดที่มีความขัดแย้งอาจ มีการกำหนดแนวคิด สำหรับอินสแตนซ์ วิธีไม่หนึ่ง visualise ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุก แต่differentiable ไม่มีที่ไหน หรือว่าภาพหนึ่งได้ของ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีอนุพันธ์ f เลขอยู่ แต่เลข f ไม่ต่อเนื่องหรือไม่ รูปภาพจิตที่ทำให้นักเรียนที่ดีในขั้นตอนก่อนหน้านี้ตอนนี้อาจกลายเป็นการกรวดในรองเท้า Bruner แนะนำประมวลผลสัญลักษณ์จำกัดความคิด และกระตุ้นให้การย้ายไปยังระดับสัญลักษณ์ แต่นักเรียน saddled กับของเขาไม่เพียงพอแนวคิดภาพ อาจพบว่าการพัฒนาดังกล่าวยากที่จะบรรลุ ในเหล่านี้ และวิธีอื่น ๆ ความยากของการขึ้นรูปภาพแนวคิดที่เหมาะสม และสามารถเป็นส่วนหนึ่งไม่เหมาะสมมีความขัดแย้งอาจเกิดขึ้น ผล coercive อย่างจริงจังขัดขวางการพัฒนาของทฤษฎีทางในจิตใจของบุคคลนักเรียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จากนั้นอีกครั้งภาพคอนเซ็ปต์เป็นสถานที่ให้บริการทั่วโลกความคิดของความต่อเนื่องในช่วงระยะเวลาที่ไม่ต่อเนื่องที่จุด
มีสัตว์แปลกเช่น
f (x) = x (x เหตุผล)
1 x (x ไม่มีเหตุผล)
III
ซึ่งเป็นอย่างเป็นทางการต่อเนื่องที่จุดเดียว (ในกรณีนี้ที่
12) ยังขัดแย้งกับทั้งสาม evoked ภาพดังกล่าวข้างต้น
(มันไม่ได้อยู่ในชิ้นเดียวหรือกำหนดโดยสูตรเดียวหรือมีมันได้อย่างราบรื่นที่แตกต่างกันกราฟ.) ถ้านักเรียนจะนำเสนอกับหนึ่งของสิ่งมีชีวิตที่แปลกใหม่เหล่านี้และจะทำให้เกิดความขัดแย้งทางปัญญาที่มีภาพแนวความคิดของเขาแล้วเขาอาจจะอยู่ในความยากลำบาก เมื่อครูตระหนักถึงภาพแนวความคิดที่เป็นไปได้ก็อาจจะเป็นไปได้ที่จะนำภาพที่ไม่ถูกต้องไปยังพื้นผิวและโดยการอภิปรายเหตุผลปัญหา. แต่บางส่วนของภาพแนวความคิดอาจจะเป็นที่แข็งแกร่งมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งความคิดที่ว่ากราฟเป็นในชิ้นเดียวมากกว่าช่วงเวลาจริง ภาพจิตนี้หลังคือในความเป็นจริงที่ถูกต้อง ดังนั้นแม้จะยังสามารถก่อให้เกิดปัญหาในทฤษฎีอย่างเป็นทางการ. ในภาพจิตของทฤษฎีบทค่ากลางและค่ามากทฤษฎีบทผลลัพธ์ที่เห็นได้ชัดยะแต่พิสูจน์ผลที่ใช้นิยามแนวคิดเป็นที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น โดยไม่ต้องป้อนลึกเกินไปในอีกพื้นที่เราสั้นพูดถึงว่าการตรวจสอบในปัจจุบันมีการเปิดเผยขอบเขตที่นักเรียนมีปัญหาเกี่ยวกับความหมายของ"ทุกคน" และ "บาง" และการจัดการของปริมาณ ซึ่งหมายความว่านักเรียนหลายคนมีความยากลำบากมาก(เป็นที่รู้จักกันดี) ที่มีการจัดการกับคำจำกัดความของข้อ จำกัด และความต่อเนื่อง. พวกเขาก็อยู่ในสถานการณ์ที่พวกเขาอาจจะมีภาพจิตที่แข็งแกร่ง แต่ภาพความคมชัดเป็นแนวคิดที่อ่อนแอ พวกเขาเข้าใจงบของทฤษฎีบทเป็นที่เห็นได้ชัด แต่ไม่สามารถทำตามหลักฐานอัน. ในสถานการณ์ดังกล่าวนักเรียนที่ไม่ประสบความสำเร็จเป็นที่น่าสงสัยมากของความคิดในการวิเคราะห์ ในระดับที่สูงขึ้นมันจะกลายเป็นเรื่องยากมากขึ้นที่จะเห็นภาพแนวคิดที่เป็นภาพจิตและพวกเขาไม่สามารถตรวจสอบสัญชาติญาณของแนะนำโดยภาพแนวคิดของพวกเขาซึ่งอาจจะเป็นในขณะนี้มีส่วนผสมของการที่แข็งแกร่งภาพแนวความคิดที่มีความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้นที่มีความหมายแนวคิด สำหรับตัวอย่างเช่นวิธีการที่ไม่เห็นภาพหนึ่งฟังก์ชั่นซึ่งเป็นอย่างต่อเนื่องทุกที่แต่อนุพันธ์ได้ที่ไหน? หรือสิ่งที่ภาพจิตหนึ่งสามารถมีของฟังก์ชัน f ที่มีอนุพันธ์ฉ¢อยู่ยังฉ¢อาจจะไม่ต่อเนื่อง? ภาพจิตซึ่งทำหน้าที่นักเรียนที่ดีในขั้นตอนก่อนหน้านี้อาจจะกลายเป็นอุปสรรค บรูเนอร์ชี้ให้เห็นว่าการประมวลผลที่โดดเด่นความคิดที่ จำกัด และเร่งการเคลื่อนไหวไปยังระดับสัญลักษณ์ แต่นักเรียนแบกรับกับเขาไม่เพียงพอภาพแนวความคิดดังกล่าวอาจพบว่าการพัฒนาที่ยากที่จะบรรลุ ในเหล่านี้และวิธีการอื่น ๆ ความยากลำบากของการสร้างภาพแนวความคิดที่เหมาะสมและผลกระทบของการบีบบังคับหนึ่งที่ไม่เหมาะสมมีความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้นอย่างจริงจังสามารถขัดขวางการพัฒนาของทฤษฎีอย่างเป็นทางการในใจของแต่ละบุคคลของนักเรียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จากนั้นอีกครั้ง ภาพในแนวคิดที่เป็นทรัพย์สินส่วนกลาง แนวคิดของความต่อเนื่อง
กว่าช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องที่จุด มีสัตว์แปลก ๆเช่น
f ( x ) = x ( x เชือด )
1 X ( x เป็นจำนวนอตรรกยะ )

ìíîซึ่งเป็นการต่อเนื่องที่จุดเดียว ( ในกรณีนี้ที่ 12

) แต่ความขัดแย้งกับทั้งสาม ปรากฏภาพดังกล่าวข้างต้น ( มันไม่ได้อยู่ในชิ้นเดียว หรือให้
ด้วยสูตรเดียวหรือมันเป็นอย่างราบรื่นตามกราฟ )
ถ้านักเรียนถูกนำเสนอกับหนึ่งในสิ่งมีชีวิตที่แปลกใหม่เหล่านี้ และก่อให้เกิดความขัดแย้งทางปัญญากับภาพ
แนวคิดของเขา แล้วเขาอาจจะลำบาก เมื่อ
ครูตระหนักถึงภาพแนวคิดที่เป็นไปได้อาจเป็นไปได้ที่จะนำ
ภาพไม่ถูกต้องไปยังพื้นผิวและโดยการใช้เหตุผลตัดสินปัญหา
อย่างไรก็ตามส่วนของภาพแนวคิดอาจจะแรงมาก โดยเฉพาะความคิด
ว่ากราฟคือทั้งหมดในหนึ่งชิ้นกว่าช่วงเวลาจริง ภาพจิตหลังนี้คือ
ในความเป็นจริงที่ถูกต้อง ดังนั้นแม้ , มันยังสามารถทำให้เกิดปัญหาในทฤษฎีอย่างเป็นทางการ .
ในจินตภาพของทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางและทฤษฎีบทค่า
มาก ผลลัพธ์จะเห็นชัดเจน แต่การพิสูจน์ของผลลัพธ์เหล่านั้นใช้
แนวคิดคำจำกัดความจะละเอียดกว่า โดยไม่ต้องเข้าลึกเกินไปในพื้นที่อื่น
เราสั้น ๆกล่าวถึงการเปิดเผยว่าปัจจุบัน

ที่นักเรียนมีปัญหาเกี่ยวกับความหมายของคำว่า " ทั้งหมด " และ " บาง " และ
การจัดการของ quantifiers . ซึ่งหมายความ ว่า นักเรียนหลายคนมีปัญหามาก
( เป็นที่รู้จักกันดี ) จัดการนิยามของลิมิตและความต่อเนื่อง
พวกเขาแล้วในสถานการณ์ที่พวกเขาอาจจะแข็งแรงทางจิตภาพยัง
แนวคิดความหมายของภาพที่อ่อนแอ พวกเขาเข้าใจงบ
ทฤษฎีบทเป็นที่ชัดเจน แต่ไม่สามารถตามปรู๊ฟ .
ในสถานการณ์เช่นนี้ นักเรียนที่ทำสำเร็จ กลายเป็นที่น่าสงสัยของความคิด
ในการวิเคราะห์ ในระดับที่สูงขึ้นจะกลายเป็นห่างไกลมากขึ้นยากที่จะเห็นภาพ
แนวคิดเป็นภาพทางจิต และพวกเขาไม่เคยมั่นใจในสัญชาตญาณ
แนะนำโดยแนวคิดภาพซึ่งอาจเป็นภาพตอนนี้เป็นส่วนผสมของแนวคิดที่แข็งแกร่งมีความขัดแย้งกับแนวคิดนิยาม สำหรับ
อินสแตนซ์ แล้วจะเห็นภาพการทำงานที่ต่อเนื่อง แต่ทุก
Differentiable ที่ไหน ? หรือมีภาพจิตสามารถหนึ่งของฟังก์ชัน f
ที่มีอนุพันธ์ F ¢มีอยู่แต่ F ¢อาจไม่ต่อเนื่อง ? ภาพจิต
ซึ่งทำหน้าที่นักเรียนที่ดีในช่วงก่อนหน้านี้ ตอนนี้อาจกลายเป็น
ไม่ได้อีกเลย บรูเนอร์แนะนำว่าการประมวลผลสัญลักษณ์จำกัด ความคิดและกระตุ้นเป็น
เคลื่อนไหวสู่ระดับสัญลักษณ์ แต่นักเรียนผูกติดกับภาพแนวคิดของเขาไม่เพียงพอ
, อาจพบพัฒนาการดังกล่าวยากที่จะบรรลุ ในเหล่านี้และ
วิธีอื่น ๆความยากของการสร้างภาพที่เหมาะสม แนวคิด และการให้ผลของ
ไม่เหมาะสมหนึ่งมีความขัดแย้งที่อาจเกิดขึ้นสามารถอย่างจริงจัง
ขัดขวางการพัฒนาทางทฤษฎีในความคิดของนักเรียนแต่ละคน