INTEGERS: ELECTRONIC JOURNAL OF COM

INTEGERS: ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORIAL NUMBER THEORY 5 (2005), #A18
TWO VERY SHORT PROOFS OF A COMBINATORIAL IDENTITY
Roberto Anglani
Dipartimento Interateneo di Fisica “Michelangelo Merlin”, Universit`a degli Studi di Bari,
Via Amendola 173, 70126 Bari, Italy
[e-mail]
Margherita Barile1
Dipartimento di Matematica, Universit`a degli Studi di Bari, Via E. Orabona 4, 70125 Bari, Italy
[e-mail]
Received: 3/21/05, Accepted: 7/31/05, Published: 8/8/05
Abstract
We give two quick elementary proofs of a well-known additive formula for the factorial
which arises from the calculus of finite differences. The first one is purely analytical, the
second one purely combinatorial.
1. Introduction
In Chapter I of his work on the calculus of finite differences [1], Boole defines, for all real
valued function of one real variable f(x), the first difference of f(x) (with respect to the
increment 1) as ∆f(x) = f(x+1)−f(x). He then defines, for all integers n ≥

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เต็ม: สมุดอิเล็กทรอนิกส์ของปัญหาทฤษฎีจำนวน 5 (2005), #A18สองหลักฐานสั้น ๆ ของตัวปัญหาRoberto AnglaniDipartimento Interateneo di Fisica "Michelangelo เมอร์ลิน" Universit'a degli Studi di บาผ่าน Amendola 173, 70126 บา อิตาลี[e-mail]มาร์เกริตา Barile1ทางคณิตศาสตร์ดี Dipartimento, Universit'a degli Studi di บา ผ่าน E. Orabona 4 บารี อิตาลี [e-mail]รับ: 3/21/05 ยอมรับ: 7/31/05 ประกาศ: 8/8/05บทคัดย่อเราให้หลักฐานประถมด่วนสองของแฟกทอเรียลสูตร additive รู้จักซึ่งเกิดขึ้นจากแคลคูลัสของความแตกต่างแน่นอน คนแรกก็คือวิเคราะห์เพียงอย่างเดียว การสองหนึ่งปัญหาเพียงอย่างเดียว1. บทนำในบทผมงานของเขาในแคลคูลัสของจำกัดความแตกต่าง [1], หญิงปูเล่กำหนด การจริงทั้งหมดมูลค่าฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรจริง f(x), f(x) ต่างครั้งแรก (กับ respect เพื่อเพิ่ม 1) เป็น ∆f(x) = f(x+1)−f(x) เขาแล้วกำหนด สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนเต็ม: อิเล็กทรอนิวารสาร Combinatorial ทฤษฎีจำนวน 5 (2005), # A18
สองสั้นมากพิสูจน์ Combinatorial IDENTITY
โร Anglani
Dipartimento Interateneo ดิ Fisica "เกลันเจโลเมอร์ลิน" Universit`a degli Studi di Bari,
Via Amendola 173, 70126 บารี, อิตาลี
[e-mail]
Margherita Barile1
Dipartimento ดิ Matematica, Universit`a degli Studi di Bari, ทางอี Orabona 4 70125 บารี, อิตาลี
[e-mail]
ที่ได้รับ: 3/21/05, ได้รับการยอมรับ: 7/31/05, เผยแพร่: 8/8/05
บทคัดย่อ
เราให้ทั้งสองพิสูจน์ประถมอย่างรวดเร็วของสูตรสารเติมแต่งที่รู้จักกันดีสำหรับปัจจัย
ที่เกิดจากแคลคูลัสของความแตกต่างแน่นอน คนแรกคือการวิเคราะห์อย่างหมดจด
สอง combinatorial หมดจด.
1 บทนำ
ในบทที่ผมงานของเขาในแคลคูลัสของความแตกต่างแน่นอน [1], Boole กำหนดสำหรับทุกจริง
ฟังก์ชั่นมูลค่าของหนึ่งตัวแปร f จริง (x), ความแตกต่างแรกของ f (x) (เกี่ยวกับการ
เพิ่มขึ้น 1) เป็นΔf (x) = f (x + 1) -f (x) จากนั้นเขาก็กำหนดสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด n ≥

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนเต็ม : วารสารอิเล็กทรอนิกส์จำนวน 5 เชิงทฤษฎี ( 2005 ) , # a18
สองสั้นมากพิสูจน์เอกลักษณ์

dipartimento เยอรมนี โรแบร์โต้ anglani interateneo di fisica " Michelangelo เมอร์ลิน " มหาวิทยาลัย " degli การศึกษา di Bari
ผ่าน amendola , 173 , 70126 บารี , อิตาลี
Roberto anglani @ BA . infn .

dipartimento barile1 Margherita di คณิตศาสตร์ , มหาวิทยาลัย ' degli การศึกษา di Bari , Via E . orabona 470125 บารี , อิตาลี barile DM
@
uniba มันได้รับ : 3 / 21 / 05 ยอมรับ : 7 / 31 / 05 เผยแพร่ : 8 / 8 / 05

เราให้ด่วนสองนามธรรมเบื้องต้นพิสูจน์สูตรการบวกที่รู้จักกันดีสำหรับแฟกทอเรียล
ที่เกิดจากแคลคูลัสความแตกต่างจำกัด แรกหนึ่งคือหมดจดวิเคราะห์
2 อันหมดจดเชิง .
1 บทนำ
ในบทที่ 1 ของงานของเขาในแคลคูลัสของขอบเขตความแตกต่าง [ 1 ] , บูลกำหนด สำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรที่แท้จริง
f ( x ) , ความแตกต่างของ f ( x ) ( ด้วยความเคารพ
เพิ่ม 1 ) ∆ f ( x ) = f ( x 1 ) บริษัท เวสเทิร์น f ( x ) จากนั้นเขาก็กำหนด สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥