Theorem 3.7 Let G be a graph with c

Theorem 3.7 Let G be a graph with cycles, if all the cycles in G contains
a common non cutvertex u, then tc(G) = 2.
Proof : Let u be a common non cutvertex of the cycles in G, and let G1 = {[x, u] : [x, u] ∈ E(G)}, clearly G1 induces a tree isomorphic to K1,n, where n is the number of edges incident to u. Now let G2 = ⟨G u⟩, then u ∈/ V (G2) and since u is a non cutvertex G2 is connected. Now assume that G2 is not a tree, then G2 contains at least one cycle as a subgraph, let this cycle be C, since G2 is a subgraph of G then C is a subgraph of G, but all cycles in G contains u so u ∈ V(C), but V(C) ⊆ V(G2) so u ∈ V(G2) a contradiction because G2 = ⟨Gu⟩, thus G2 must be a tree. Hence the family FG = {G1,G2} is a tree cover of G. Thus tc(G) ≤ |FG| = 2, and since G is not a tree, tc(G) ≥ 2. Accordingly tc(G) = 2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 3.7 ให้ G เป็นกราฟ ด้วยวงจร ประกอบด้วยวงจรทั้งหมดใน Gu cutvertex ไม่ทั่วไป แล้ว tc(G) = 2หลักฐาน: ให้ u เป็น cutvertex ไม่ใช่แบบทั่วไปของวงจรใน G และให้ G1 = { [x, u]: [x, u] ∈ E(G) }, ชัดเจน G1 แท้จริงโดยที่ n คือ จำนวนของเหตุการณ์คุณขอบ isomorphic กับ K1, n ต้นไม้ ให้ G2 = ⟨G u⟩ แล้ว∈ u / V (G2) และเนื่อง จากเป็น cutvertex ไม่ใช่ที่ G2 จะเชื่อมต่อ ตอนนี้ สมมติว่า G2 เป็นไม่ แล้ว G2 ประกอบด้วยรอบน้อยเป็นการ subgraph ให้วงจรนี้มี C, G2 เป็น subgraph ของ G แล้ว C subgraph ของ G แต่วงจรใน G ทั้งหมดประกอบด้วยคุณ∈ u เพื่อ V(C) แต่ V(C) ⊆ V(G2) ∈ u เพื่อ V(G2) ความขัดแย้งเนื่องจาก G2 = ⟨Gu⟩ ดัง G2 ต้องต้นไม้ ดังนั้นครอบครัว FG = {G1, G2 } เป็นฝาครอบต้นไม้ของกรัม ดังนั้น tc(G) ≤ | FG| = 2 และเนื่อง จาก G เป็นไม่ tc(G) ≥ 2 ดังนั้น tc(G) = 2