Numerically Stable Method for Solvi

Numerically Stable Method for Solving Quadratic Equations
The commonly used formula for the solutions of a quadratic does not
provide for the most accurate computation of both roots when faced with
the limitations of finite precision arithmetic. One of the two roots is found
with lower precision than the other due to round-off when two quantities
of the same sign and similar magnitude are subtracted from one another.
By multiplying
ax2 + bx + c = 0 (1)
by 4a and completing the square one gets
(2ax + b)2 + (4ac − b2) = 0 (2)
and so finds
x = −b ± √
b2 − 4ac
2a
(3)
By instead completing the square in
a + b 1
x
+ c
1
x2 = 0 (4)
one finds
1
x = −b ∓ √
b2 − 4ac
2c
(5)
or
x = 2c
−b ∓ √
b2 − 4ac
(6)
Given limitations of computer arithmetic, one or the other of these (eq. (3)
or eq. (6)) may provide more accuracy for a particular root. When quantities
of the same sign are subtracted, some loss in precision may be expected.
This is a particular concern here if ac is relatively small compared
to b2, in which case b has about the same magnitude as √
b2 − 4ac.
This suggests that one use one of the above equations for one root,
and use the other equation for the other root:
x1 = −b − √
b2 − 4ac
2a
& x2 = 2c
−b − √
b2 − 4ac
when b ≥ 0 (7)
and
x1 = 2c
−b + √
b2 − 4ac
& x2 = −b + √
b2 − 4ac
2a
when b < 0 (8)
We can check these results by noting that x1x2 = c/a and x1+x2 = −b/a.
Note that no more work is involved using eq. (7) or eq. (8) than blindly
using either eq. (3) or eq. (6) for both solutions of the quadratic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรียงตามตัวเลขมีวิธีการแก้สมการกำลังสองไม่มีสูตรที่ใช้กันทั่วไปในวิธีกำลังสองสำหรับการคำนวณที่แม่นยำของรากทั้งสองเมื่อประสบกับข้อจำกัดของจำกัดความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ รากสองอย่างใดอย่างหนึ่งอยู่มีความแม่นยำต่ำกว่ากำหนดการปัดเศษเมื่อปริมาณทั้งสองเครื่องเดียวกันและขนาดที่คล้ายกันออกจากกันโดยการคูณax2 + bx + c = 0 (1)4a และสองสมบูรณ์ หนึ่งรับ(2ax + b) 2 + (4ac − b2) = 0 (2)และเพื่อค้นหาx = −b ± √b2 − 4ac2a(3)โดยสองในสมบูรณ์แทนแบบ b 1 +x+ c1x 2 = 0 (4)คุณได้พบ1x = −b ∓ √b2 − 4ac2c(5)หรือx = 2c−b ∓ √b2 − 4ac(6)กำหนดข้อจำกัดของเลขคณิตคอมพิวเตอร์ หนึ่ง หรืออื่น ๆ ของเหล่านี้ (eq. (3)หรือ eq. (6)) อาจมีความแม่นยำมากขึ้นสำหรับรากเฉพาะได้ เมื่อปริมาณเดียวกันมีลบเครื่องหมาย อาจต้องสูญเสียบางในความแม่นยำนี่คือความกังวลเฉพาะนี่ถ้า ac จะค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบb2 ที่ บีมีเกี่ยวกับขนาดเดียวกันเป็น√b2 − 4 acนี้แนะนำว่า หนึ่งใช้สมการข้างต้นสำหรับรากหนึ่งและใช้สมการอื่น ๆ รากอื่น ๆ:x 1 = −b −√b2 − 4ac2aและ x 2 = 2 c−b − √b2 − 4acเมื่อ b ≥ 0 (7)และx 1 = 2 c−b + √b2 − 4acและ x 2 = −b + √b2 − 4ac2aเมื่อบี < 0 (8)เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์เหล่านี้ได้ โดยสังเกตที่ x 1 x 2 = c /และ x 1 + x 2 = −b/aหมายเหตุว่า ไม่เกี่ยวข้องใช้ eq. (7) หรือ (8) eq. กว่าอย่างคนตาบอดใช้ eq. (3) หรือ (6) eq. สำหรับทั้งสองวิธีการกำลังสอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วิธี Stable
ตัวเลขสำหรับการแก้สมการกำลังสองนิยมใช้สูตรในการแก้ปัญหาของสมการกำลังสองไม่ได้จัดให้มีการคำนวณที่ถูกต้องที่สุดของรากทั้งเมื่อต้องเผชิญกับข้อจำกัด ของการคำนวณที่มีความแม่นยำแน่นอน หนึ่งในสองรากพบที่มีความแม่นยำต่ำกว่าที่อื่น ๆ เนื่องจากการปัดเศษเมื่อทั้งสองปริมาณของสัญญาณเดียวกันและขนาดใกล้เคียงกันจะถูกหักออกจากอีกคนหนึ่ง. โดยคูณax2 + BX + c = 0 (1) โดย 4a และเสร็จสิ้น ที่ตารางหนึ่งที่ได้รับ(2AX + ข) 2 + (4AC - b2) = 0 (2) และอื่น ๆ พบว่าx = -b ±√ b2 - 4AC 2a (3) โดยแทนจบในตารางb + 1 x + ค1 x 2 = 0 (4) หนึ่งที่พบว่า1 x = -b ∓√ b2 - 4AC 2c (5) หรือx = 2c -b ∓√ b2 - 4AC (6) ข้อ จำกัด ได้รับการคำนวณของคอมพิวเตอร์หนึ่งหรืออื่น ๆ เหล่านี้ ( อีคิว. (3) หรืออีคิว. (6)) อาจจัดให้มีความถูกต้องมากขึ้นสำหรับรากโดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อปริมาณ. ของป้ายเดียวกันจะถูกหักออก, การสูญเสียในความแม่นยำที่บางคนอาจจะคาดหวังนี้เป็นกังวลโดยเฉพาะที่นี่หากac มีขนาดค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับการb2 ซึ่งในกรณีที่ขมีประมาณขนาดเดียวกับ√ b2 -. 4AC นี้แสดงให้เห็นว่า หนึ่งในการใช้งานอย่างใดอย่างหนึ่งของสมการข้างต้นสำหรับรากหนึ่ง, และใช้สมการอื่น ๆ สำหรับรากอื่น ๆx1 = -b - √ b2 - 4AC 2a และ x2 = 2c -b - √ b2 - 4AC เมื่อข≥ 0 (7) และx1 = 2c -b + √ b2 - 4AC และ x2 = -b + √ b2 - 4AC 2a เมื่อข <0 (8) เราสามารถตรวจสอบผลเหล่านี้โดยการสังเกตว่า x1x2 = c / และ x1 + x2 = -b / a . ทราบว่าไม่มีการทำงานมากขึ้นมีส่วนร่วมโดยใช้อีคิว (7) หรืออีคิว (8) กว่าสุ่มสี่สุ่มห้าโดยใช้อีคิว (3) หรืออีคิว (6) สำหรับการแก้ปัญหาทั้งสองกำลังสอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วิธีแก้สมการเชิงตัวเลขเสถียรภาพ
มักใช้สูตรสำหรับโซลูชั่นของกำลังสองไม่
ให้สำหรับการคำนวณที่ถูกต้องที่สุดของทั้งราก เมื่อต้องเผชิญกับข้อจำกัดของเลขคณิต
แม่นยำจำกัด หนึ่งสองรากพบ
แม่นยำกว่าอื่น ๆ เนื่องจากเมื่อปริมาณ
2 รอบของสัญลักษณ์เดียวกันและขนาดคล้ายกันจะหักออกจากที่อื่น โดยคูณ

ax2 BX c = 0 ( 1 )
โดย 4A และเสร็จสิ้นตารางหนึ่งได้รับ
( 2ax B ) 2 ( 4ac − 2 ) = 0 ( 2 )

แล้วเจอ X = −−√
2 B ± 4ac
2a

( 3 ) โดยแทนการกรอกตารางใน
B 1
x
C
1
x2 = 0 ( 4 )
1
1
x = −พบ B ∓√
2 − 4ac
2c
( 5 )

x = 2 หรือ−∓√
B
2 − 4ac

( 6 )ระบุข้อจำกัดของคณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ หรืออื่น ๆ เหล่านี้ ( อีคิว ( 3 )
หรืออีคิว ( 6 ) อาจให้ความถูกต้องมากขึ้นสำหรับรากโดยเฉพาะ เมื่อปริมาณของสัญลักษณ์เดียวกัน
หักออก บางคนสูญเสียความแม่นยำอาจจะคาด
นี้เป็นกังวลโดยเฉพาะที่นี่ถ้า AC มีขนาดค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับ B2
ซึ่งใน B มีประมาณขนาดเดียวกับ√

2 − 4ac .นี้แสดงให้เห็นว่าหนึ่งใช้หนึ่งของสมการข้างต้นสำหรับรากหนึ่ง
และใช้สมการอื่น ๆสำหรับรากอื่น ๆ :
b X1 = −−−√
B2 4ac
2A
& x2 = 2c
−−− 4ac B2 B √

เมื่อ B ≥ 0 ( 7 )

x1 และ = 2c

b √−− 4ac B2
& x2 = −− 4ac B2 B √

2a
เมื่อ b < 0 ( 8 )
เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์เหล่านี้ โดยสังเกตว่า x1x2 = C / A และ x1 x2 = − B / A .
หมายเหตุว่า ไม่มีงานเกี่ยวข้องกับอีคิว ( ใช้ 7 ) หรืออีคิว( 8 ) มากกว่าสุ่มสี่สุ่มห้า
ใช้อีคิว ( 3 ) หรืออีคิว ( 6 ) ทั้งโซลูชั่นของกำลังสอง .