be the K−algebra map such that '(Xu

be the K−algebra map such that '(Xu) = tMu, with Xu := Xu1
11 · · ·X
umnpq
mn pq and tv := tv1
1 · · · t
vmn+pq
mn+pq .
Then X = (xij) has rank 1 if and only if vec(X)⊤ is a zero of ker 'M (see, e.g. [2, Section 2]).
Therefore, by Theorem 3, the set of mn × pq matrices which factor into the Kronecker product of an
m × n matrix and a p × q matrix is the following algebraic set
V(ker 'M) = nA ∈ Kmn×pq | vec(vec(p×q)(A))⊤ ∈ ker 'Mo.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มีแผนที่ K−algebra ที่ ' (Xu) = tMu กับสี: = Xu111 ···Xumnpqmn pq และทีวี: = tv11 · · · tvmn + pqmn และ pqแล้ว X = (xij) ได้อันดับ 1 ถ้าและเดียวว่า vec (X) ⊤ ศูนย์ของโคเคอร์มา (ดู เช่น [2, 2 ส่วน])ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 3 ชุดของเมทริกซ์ pq mn ซื้อซึ่งปัจจัยลงในผลิตภัณฑ์ Kronecker ของการเมตริกซ์ n × m และ p × q เมทริกซ์คือ ชุดพีชคณิตดังต่อไปนี้V(ker 'M) =นา∈ Kmn × pq | โคเคอร์∈⊤ vec(vec(p×q)(A)) ' เดือน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เป็นแผนที่ของ K-พีชคณิตเช่นนั้น '(Xu) = TMU กับเสี่ยว = Xu1
11 ···เอ็กซ์
umnpq
ล้าน PQ และทีวี = TV1
1 ···เสื้อ
VMN + PQ
ล้าน + PQ.
แล้ว X = (xij ) มีอันดับ 1 และถ้าหาก vec (X) ⊤เป็นศูนย์ของเค 'M (ดูเช่น [2 มาตรา 2]).
ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 3 ชุดของล้าน×เมทริกซ์ PQ ซึ่งเป็นปัจจัย Kronecker ผลิตภัณฑ์ของ
ม. × n เมทริกซ์และ AP ×เมทริกซ์คิวเป็นชุดต่อไปพีชคณิต
V (เคอ 'M) = nA ∈ Kmn × PQ | vec (vec (P ×ด) (A)) ⊤∈เค' โม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็น K −พีชคณิตแผนที่ดังกล่าวว่า ' ( ซอ ) = tmu กับ Xu : = 11 · · · xu1
x

) umnpq PQ และโทรทัศน์ : tv1
= 1 · · · T
vmn pq
MN PQ .
แล้ว x = ( xij ) ได้อันดับ 1 ถ้าและเพียงถ้าอีซี ( x ) ⊤เป็นศูนย์ของเคอร์ ' M ( ดูเช่น [ 2 มาตรา 2 ] )
ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 3 ชุด ) × PQ เมทริกซ์ปัจจัยซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ของ kronecker
m × n เมทริกซ์และ P × Q เมทริกซ์ชุด
พีชคณิตดังต่อไปนี้V ( เคอร์ ' ) = na ∈ kmn × PQ | โลกร้อนโลกร้อน ( P × q ) ( 1 ) ⊤∈ Ker ' โม