In this paper we have presented sev

In this paper we have presented several theoretical results and an algorithm for properly plotting curves parametrized by rational functions in polar form. Our results allow to algorithmically identify phenomena which are typical of these curves, like the existence of infinitely many self-intersections, spiral branches, limit points or limit circles. Furthermore, the algorithm has been implemented in Maple 15, with good results. Natural extensions of the study here are space curves which are rational in spherical or cylindrical coordinates, curves which are algebraic, although non-necessarily rational, in polar coordinates (i.e. fulfilling h(r,θ)=0, with h algebraic), and similar phenomena for the case of surfaces. It would be also interesting to analyze the curves defined by (implicit) expressions of the type f (r,sin(θ),cos(θ)) = 0, where f is algebraic, since this class contains, and in fact extends, the class of algebraic curves; also, it includes the important subclass of curves defined by equations rn = g(θ), with g(θ) a rational function, which often appear in Geometry and Physics. Some of these questions will be explored in the future.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในเอกสารนี้ เราได้นำเสนอผลหลายทฤษฎีและอัลกอริทึมสำหรับการพล็อตเส้นโค้ง parametrized โดยฟังก์ชันตรรกยะในขั้วฟอร์มอย่างถูกต้อง ผลของเราอนุญาตให้ algorithmically ระบุปรากฏการณ์ซึ่งเป็นปกติของเส้นโค้งเหล่านี้ เช่นการดำรงอยู่ของหลายอย่างมากมายแยกตนเอง สาขาเกลียว จำกัดจุด หรือวงกลมจำกัด นอกจากนี้ อัลกอริทึมมีการใช้ในเมเปิ้ล 15 มีผลดี ส่วนขยายของธรรมชาติของการศึกษามีพื้นที่โค้งซึ่งมีเหตุผลในพิกัดทรงกลม หรือทรงกระบอก เส้นโค้งซึ่งเป็นพีชคณิต แม้ว่าไม่จำเป็นต้องเชือด ในพิกัดเชิงขั้ว (เช่นทำ h (r ค่าθ) = 0, h ทางพีชคณิต), และปรากฏการณ์คล้ายกรณีของพื้นผิว มันจะยังน่าสนใจในการวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนด โดยนิพจน์ (นัย) ของ f ชนิด (r,sin(θ),cos(θ)) = 0, f เกี่ยวกับพีชคณิต ตั้งแต่ชั้นนี้ประกอบด้วย และ ขยายในความเป็นจริง ระดับของเส้นโค้งทางพีชคณิต มันมีย่อยสำคัญของเส้นโค้งที่กำหนด โดยสมการ rn = g(θ) กับ g(θ) ฟังก์ชันตรรกยะ ที่มักปรากฏในรูปทรงเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางส่วนของคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในบทความนี้เราได้นำเสนอผลทฤษฎีหลายแห่งและอัลกอริทึมสำหรับเส้นโค้งที่ถูกต้องวางแผน parametrized โดยฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลในรูปแบบขั้วโลก ผลของเราช่วยให้การอัลกอริทึมระบุปรากฏการณ์ซึ่งเป็นปกติของเส้นโค้งเหล่านี้เช่นการดำรงอยู่ของหลายอย่างมากมายแยกตัวเองสาขาเกลียวจุด จำกัด หรือแวดวง จำกัด นอกจากนี้ขั้นตอนวิธีการที่ได้รับการดำเนินการในเมเปิล 15 ที่มีผลดี ส่วนขยายธรรมชาติของการศึกษาที่นี่มีเส้นโค้งพื้นที่ที่มีเหตุผลในพิกัดทรงกลมหรือทรงกระบอกโค้งซึ่งเป็นพีชคณิตแม้จะไม่ใช่จำเป็นต้องมีเหตุผลในพิกัดเชิงขั้ว (เช่นการตอบสนอง h (R, θ) = 0 กับ H พีชคณิต) และ ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันสำหรับกรณีของพื้นผิว มันจะเป็นที่น่าสนใจในการวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนดโดย (นัย) การแสดงออกประเภท f (R บาป (θ) cos (θ)) = 0 ที่ F คือพีชคณิตตั้งแต่ระดับนี้มีและในความเป็นจริงขยาย ระดับของ curves เกี่ยวกับพีชคณิต; นอกจากนี้ยังรวมถึงคลาสย่อยที่สำคัญของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสม rn = G (θ) กับ G (θ) ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลซึ่งมักจะปรากฏในเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางส่วนของคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในกระดาษนี้เราได้นำเสนอหลายทฤษฎี ผลลัพธ์และวิธีการอย่างถูกต้องโดยเข้าแง่ parametrized วางแผนเส้นโค้งฟังก์ชันในรูปแบบขั้วโลก ผลของเราให้ algorithmically ระบุปรากฏการณ์ซึ่งเป็นปกติของเส้นโค้งเหล่านี้เช่นเดียวกับการดำรงอยู่ของอนันต์แยกตนเองหลายเกลียว สาขา จำกัด หรือ จำกัด จุดวงกลม นอกจากนี้ขั้นตอนวิธีนี้ได้ถูกพัฒนาในเมเปิลกับผลลัพธ์ที่ดี ส่วนขยายของธรรมชาติของการศึกษาที่นี่มีพื้นที่เส้นโค้งซึ่งมีเหตุผลในพิกัดทรงกลมหรือทรงกระบอก ซึ่งเป็นเส้นโค้งพีชคณิต , แม้ว่า ไม่จําเป็นต้องมีเหตุผล ในพิกัด ( เช่นการตอบสนอง h ( r , θ ) = 0 มี H พีชคณิต ) , และปรากฏการณ์ที่คล้ายกัน สำหรับกรณีของพื้นผิว มันจะน่าสนใจที่จะวิเคราะห์เส้นโค้งที่กำหนดโดย ( โดยนัย ) การแสดงออกของประเภท F ( R , บาป ( θ ) cos ( θ ) = 0 ที่ F คือ พีชคณิต เนื่องจากชั้นนี้ประกอบด้วยและในความเป็นจริงขยาย ชั้นเรียนของเส้นโค้งทางพีชคณิต นอกจากนี้ก็มีคลาสที่สำคัญของ เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ Rn = g ( θ ) , G ( θ ) ฟังก์ชันเศษส่วน ซึ่งมักปรากฏในเรขาคณิตและฟิสิกส์ บางส่วนของคำถามเหล่านี้จะได้รับการสำรวจในอนาคต