Proposition 20.In any triangle two

Proposition 20.

In any triangle two sides taken together in any manner are greater than the remaining one.
For let ABC be a triangle; I say that in the triangle ABC two sides taken together in any manner are greater than the remaining one, namely
BA, AC greater than BC, AB, BC greater than AC, BC, CA greater than AB.
For let BA be drawn through to the point D, let DA be made equal to CA, and let DC be joined.

Then, since DA is equal to AC, the angle ADC is also equal to the angle ACD; [I. 5]

therefore the angle BCD is greater than the angle ADC. [C.N. 5]
And, since DCB is a triangle having the angle BCD greater than the angle BDC,

and the greater angle is subtended by the greater side, [I. 19] therefore DB is greater than BC.
But DA is equal to AC;

therefore BA, AC are greater than BC.
Similarly we can prove that AB, BC are also greater than CA, and BC, CA than AB.

Therefore etc.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรื่องที่ 20ในสามเหลี่ยมใดๆ สองข้างนำมารวมกันในลักษณะใดจะสูงกว่าเหลือสำหรับให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ผมบอกว่า ใน ABC รูปสามเหลี่ยม ทั้งสองด้านนำมารวมกันในลักษณะใดมีมากกว่าหนึ่งที่เหลือ คือBA, AC มากกว่า BC, AB, BC มากกว่า AC, BC, CA มากกว่า AB.สำหรับให้ BA วาดผ่านไปจุด D ให้ดาทำเท่ากับ CA และให้ DC ที่สามารถเข้าร่วมแล้ว ตั้งแต่ดาเท่ากับ AC มุม ADC ก็เท่ากับมุม ACD [I. 5]ดังนั้น มุม BCD มีค่ามากกว่ามุม ADC [C.N. 5]และ ผิดเป็น รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมใหญ่กว่ามุม BDC, BCDและมุมขึ้นเป็นระนาบข้างขึ้น [I. 19] DB จึงมากกว่า BCแต่ DA จะเท่ากับ ACดังนั้น บา AC ได้มากกว่า BCในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ว่า AB, BC เป็นยังมากกว่า CA และ BC, CA มากกว่า AB.ฯลฯ ดังนั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

20. ข้อเสนอในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ทั้งสองฝ่ายนำมารวมกันในลักษณะใดมากกว่าส่วนที่เหลืออีกหนึ่ง. สำหรับให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม; ผมบอกว่าในรูปสามเหลี่ยม ABC ทั้งสองฝ่ายนำมารวมกันในลักษณะใดมากกว่าส่วนที่เหลืออีกหนึ่งคือBA, AC มากกว่า BC, AB, BC มากกว่า AC, BC, CA มากกว่า AB. สำหรับอนุญาตบริติชแอร์เวย์ได้รับการวาดผ่านไป จุด D ให้อัยการจะทำเท่ากับ CA และปล่อยให้ซีจะเข้าร่วม. แล้วตั้งแต่ DA เท่ากับ AC, ADC มุมที่ยังมีค่าเท่ากับมุม ACD นั้น [ผม. 5] ดังนั้น BCD มุมมากกว่า ADC มุม [CN 5] และเนื่องจาก DCB เป็นรูปสามเหลี่ยมมี BCD มุมสูงกว่ามุม BDC ที่และมุมที่สูงกว่า subtended โดยด้านข้างมากขึ้น [ I. 19] ดังนั้น DB มีค่ามากกว่า BC. แต่ DA เท่ากับ AC; จึง BA, AC มากกว่า BC. ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า AB, BC นอกจากนี้ยังมีมากกว่าแคลิฟอร์เนียและ BC, CA กว่า AB. ดังนั้น ฯลฯ