This expansion can be specialized b

This expansion can be specialized by replacing the variables (x, z) by the pair
(i
δxk, iδ+2xl
), respectively, to give the four two-parameter, single-variable functions
T (k,l)=T0(k,l), T1(k,l), T2(k,l), and T3(k,l), written generally as T2δ+(k,l).
Here, as elsewhere in this paper, we assume that δ,  ∈ {0, 1}.
Definition 1. For (k,l) ∈ {( i
2 , j
2 ):(i, j) ∈ Z+×Z, i ≡ j ( mod 2 )},
T2δ+(k,l; x) = T2δ+(k,l)
def
= Y∞
n=1
[1 − (−1)δnx2kn][1 + (−1)δn+
x2kn−k+l
][1 + (−1)δn+δ+
x2kn−k−l
]
= X∞
−∞
(−1)δ n(n+1)
2 +nxkn2+ln.
(3)
The series in (3) is a Laurent series with a finite number of negative-degree terms,
which is a power series iff l ∈ [−k, k].
It is worth mentioning that the expansions for T0(k,l) and T1(k,l) appear in
[8, p. 283 (19.9.1), (19.9.2)]. The four T expansions are also directly related to
Ramanujan’s function
f(a, b) def
= X∞
−∞
a
n(n+1)
2 b
n(n−1)
2
by the equation
T2δ+(k,l) = f

(−1)δ+
xk+l
,(−1)
xk−l

(see [1, p. 29]). Note that T0, T1, T2, and T3 correspond to the functions f(a, b),
f(−a, −b), f(−a, b), and f(a, −b), respectively.
Definition 2. We say that T2δ+(k,l) is in reduced form whenever 0 ≤ l ≤ k.
The next two formulas allow us to put any T2δ+(k,l) into reduced form (cf. [4,
p. 780]).
Theorem 1. We have that
T2δ+(k, −l) = T2δ++(−1) (4) δ(k,l)
and
T2δ+(k,l)=(−1)
xk−l (5) T2δ+(k, 2k − l).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ขยายตัวนี้สามารถความ โดยการเปลี่ยนตัวแปร (x, z) โดยการจับคู่(iΔxk, iδ + 2 xl), ตามลำดับ เพื่อให้ฟังก์ชันสองพารามิเตอร์ ตัว แปรเดี่ยวสี่T (k,l)=T0(k,l), T1(k,l), T2(k,l) และ T3(k,l) เขียนโดยทั่วไปเป็น T2δ + (k, l)ที่นี่ เป็นอื่นในกระดาษนี้ เราสมมติว่าδ ∈ {0, 1 }นิยามที่ 1 สำหรับ (k, l) ∈ {(i2, j2):(i, j) ∈ Z + × Z ผม≡ j (สมัย 2) },T2δ + (k, l, x) = T2δ + (k, l)def= Y∞n = 1[1 − (− 1) δnx2kn] [1 + (− 1) δn +x2kn−k + l] [1 + (− 1) δn + δ +x2kn−k−l]= X∞−∞N(n+1) δ (− 1)2 + nxkn2 + ln(3)ชุดใน (3) เป็นชุด Laurent กับเงื่อนไขเชิงลบองศา จำนวนจำกัดซึ่งเป็น∈ l การ iff ของอนุกรมกำลัง [−k, k]มันเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่า การขยายตัวสำหรับ T0(k,l) และ T1(k,l) ที่ปรากฏอยู่ใน[8, p. 283 (19.9.1), (19.9.2)] การขยายตัวทีสี่ยังเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของวาสะรามานุจันความละเอียด f (a, b)= X∞−∞มีn(n+1)2 bn(n−1)2โดยสมการT2δ + (k, l) = fΔ (− 1) +xk + l,(−1)xk−l(ดู [1 หนา 29]) หมายเหตุที่ t 0, T1, T2, T3 และสอดคล้องกับฟังก์ชั่น f (a, b),f (−a, −b), f (−a, b), และ f (a, −b), ตามลำดับนิยามที่ 2 เราบอกว่า T2δ + (k, l) เป็นแบบที่ลดลงเมื่อใดก็ ตามที่ 0 ≤ l ≤ kถัดจากสองสูตรช่วยให้เราสามารถใส่ใด ๆ T2δ + (k, l) ลงในแบบฟอร์มที่ลดลง (เทียบ [4p. 780])ทฤษฎีบทที่ 1 เรามีที่T2δ + (k, −l) = T2δ + δ(k,l) +(−1) (4)และT2δ + (k,l)=(−1)xk−l (5) T2δ + (k, 2 k − l)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การขยายตัวนี้สามารถเฉพาะโดยการเปลี่ยนตัวแปร (x, z) โดยทั้งคู่
(i
δxk, iδ + 2? XL
) ตามลำดับเพื่อให้สี่สองพารามิเตอร์ฟังก์ชั่นเดียวตัวแปร
T (K, L) = T0 (K, L), T1 (K, L), T2 (K, L) และ T3 (K, L) เขียนโดยทั่วไปเป็นT2δ +? (K, L).
ที่นี่เป็นที่อื่น ๆ ในบทความนี้เราจะถือว่า ที่δ? ∈ {0, 1}.
นิยาม 1. (K, L) ∈ {(i
2 J
2) :( I, J) ∈ Z + Z ×ผม≡ J (สมัยที่ 2)}
T2δ +? (k , L? x) = T2δ + (K, L)
def
= Y∞
n = 1
[1 - (-1) δnx2kn] [? 1 + (-1) δn +
x2kn-K + L
] [1 + (- 1) δn + δ +
x2kn-K-L
]
= X∞
-∞
(-1) δ n (n + 1)
2 +? nxkn2 + LN.
(3)
ชุดใน (3) เป็นซีรีส์ที่มีองค์ จำนวน จำกัด ของแง่ลบองศา
ซึ่งเป็น∈ชุดไฟ IFF L [-k, k].
เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าการขยายสำหรับ T0 (K, L) และ T1 (K, L) ปรากฏใน
[8 P 283 (19.9.1), (19.9.2)] สี่ T ขยายยังจะเกี่ยวข้องโดยตรงกับ
Ramanujan ฟังก์ชัน
f (A, B) def
= X∞
-∞ N (N + 1) 2 B n (n-1) 2 โดยสมการT2δ +? (K, L) = f ? (-1) δ + XK + L (- 1) XK-L ? (ดู [. 1, p 29]) โปรดทราบว่า T0, T1, T2, T3 และสอดคล้องกับฟังก์ชั่น F (A, B), f (-a, -b), f (-a b) และ F (A, -b) ตามลำดับ. ความหมาย 2. เราบอกว่าT2δ +? (K, L) อยู่ในรูปแบบที่ลดลงเมื่อใดก็ตามที่ 0 ≤≤ L k. ทั้งสองสูตรต่อไปช่วยให้เราสามารถใส่ใด ๆ T2δ +? (K, L) ลดลงในแบบฟอร์ม (cf [4, . p. 780]) ทฤษฎีบท 1. เรามีที่? T2δ + (K, -l) = T2δ + + (- 1)? (4) δ (K, L) และT2δ + (K, L) = (- 1) XK-L (5) T2δ + (K, 2K - L)?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การขยายตัวนี้สามารถเฉพาะโดยการแทนตัวแปร ( x , z ) โดยคู่( ฉันδ XK 2XL + ผมδ) ตามลำดับ เพื่อให้สี่สองพารามิเตอร์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวt ( K ( , L ) = t0 ( K ( , L ) T1 ( K ( , L ) , T2 ( K ( , L ) และ T3 ( K ( , L ) ที่เขียนโดยทั่วไปเป็น T2 δ + ( K ( , L )ที่นี่ ที่อื่น ๆ ในกระดาษนี้เราสมมติว่าδ∈ , { 0 , 1 }ความละเอียด 1 ( K , L ) { ( ∈2 , เจ2 ) : ( i , j ) Z + ∈×ซี ผม≡ J ( mod ) 2 } ,δ + T2 ( K , L ; x ) = T2 δ + ( K ( , L ).∞ = YN = 1[ 1 − ( − 1 ) δ nx2kn ] [ 1 + ( − 1 ) δ N +x2kn − K + l] [ 1 + ( − 1 ) δ N + δ +x2kn K −− l]∞ = x−∞( − 1 ) δ n ( n + 1 )2 + nxkn2 + LN .( 3 )ชุด ( 3 ) เป็น Laurent ชุดที่มีจํานวนจํากัดลบระดับเงื่อนไขซึ่งเป็นอำนาจแบบ IFF ฉัน∈ [ − K , K ]เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญที่ขยายสำหรับ t0 ( K ( , L ) และ T1 ( K ( , L ) ปรากฏใน[ 8 , หน้า 283 ( 19.9.1 ) , ( 19.9.2 ) ] 4 t ขยายยังเกี่ยวข้องโดยตรงกับRamanujan ฟังก์ชันf ( A , B ) } .∞ = x−∞เป็นn ( n + 1 )2 Bn ( n − 1 )2โดยสมการδ + T2 F ( K ( , L ) = -δ + ( − 1 )XK + l( − 1 )XK − l( ดู [ 1 ] หน้า 29 ) ทราบว่า t0 , T1 , T2 และ T3 สอดคล้องกับฟังก์ชัน f ( A , B )F ( − , − ( − ) B , F , B ) และ F ( , − 2 ) ตามลำดับนิยาม 2 เราว่าδ + T2 ( K ( , L ) อยู่ในรูปแบบ≤ผม≤ลดลงเมื่อใดก็ตามที่ 0 Kอีก 2 สูตร ให้เราใส่δ + T2 ( K ( , L ) เป็นรูปแบบ ( CF . [ 4 , ลดลงหน้า 780 ] )ทฤษฎีบทที่ 1 เราได้ว่าδ + T2 ( K − 1 ) = 2 δ + + ( − 1 ) ( 4 ) δ ( K ( , L )และδ + T2 ( K ( , L ) = ( − 1 )XK − l ( 5 ) T2 δ + ( K , 2K − l )