P r o o f. For n = 1 the condition

P r o o f. For n = 1 the condition (9) is true.
For n ≥ 2 let us consider the minor
B3 =
"
ci,k ci,l
cr,k cr,l #
of the matrix C with arbitrarily fixed indices i, r, k, l such that 1 ≤ i < r ≤ n
and 1 ≤ k < l ≤ n.
Let us consider the generalization permutation matrix B4 ∈ Mn(F) with
entries 1 on positions
(1, σ(1)),(2, σ(2)), . . . ,(i − 1, σ(i − 1)),(i, k),(i + 1, σ(i + 1)), . . .
. . . ,(r − 1, σ(r − 1)),(r, l),(r + 1, σ(r + 1)), . . . ,(n, σ(n))
and entries 0 on all other positions.
Let B5 ∈ Mn(F) be the matrix obtained from B4 by interchanging
the i-th and r-th columns. Then the determinants det(B4) = (−1)Iq and
det(B5) = (−1)Iq+1, where Iq denotes the number of inverses of the permutation
σ(1), σ(2), . . . , σ(i − 1), k, σ(i + 1), . . . , σ(r − 1), l, σ(r + 1), . . . , σ(n)
of the integer numbers 1, 2, . . . , n.
The F(B4) and F(B5) are generalized permutation matrix. The determinants

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

P r o o f สำหรับ n = 1 (9) สภาพเป็นจริงสำหรับ n ≥ 2 ให้เราพิจารณาผู้เยาว์B3 ="ci, k ci, lcr, k cr, l #ของเมตริกซ์ C กับดัชนีโดยถาวรผม r, k, l เช่น≤ 1 ที่ฉัน < r ≤ nและ 1 ≤ k < l ≤ nให้เราพิจารณา generalization เรียงสับเปลี่ยนเมตริกซ์ B4 ∈ Mn(F) ด้วยรายการ 1 ในตำแหน่ง(1, σ(1)), (2, σ(2)),..., (ฉัน− 1, σ(i − 1)), (i, k), (ฉัน + 1 σ (i + 1)),......, (r − 1 σ (r − 1)), (r, l), (r + 1 σ (r + 1)), ..., (n, σ(n))และรายการ 0 ในตำแหน่งอื่น ๆให้ B5 ∈ Mn(F) เป็นเมตริกซ์ที่ได้จาก B4 โดย interchangingคอลัมน์ i th และ r-th แล้ว det(B4) ดีเทอร์มิแนนต์ =ไอคิว (−1) และdet(B5) =ไอคิว (−1) + 1 ที่ไอคิวแสดงหมายเลขของ inverses ของการเรียงสับเปลี่ยนΣ(1), σ(2),..., σ(i − 1), k σ (i + 1), ..., σ (r − 1), l σ (r + 1), ..., σ(n)ของจำนวนเต็มเลข 1, 2,..., nF(B4) และ F(B5) เป็นเมทริกซ์เมจแบบทั่วไปเรียงสับเปลี่ยน ดีเทอร์มิแนนต์การ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

P รู้ฉ สำหรับ n = 1 เครื่อง (9) เป็นความจริง.
สำหรับ n ≥ 2 ให้เราพิจารณาเล็กน้อย
B3 =
"
CI, CI K, L
CR, CR K, L #
C ของเมทริกซ์ที่มีดัชนีการแก้ไขโดยพล i, R, k , L เช่นที่ 1 ≤ฉัน <R ≤ n
และ 1 ≤ k <ลิตร≤ n.
ขอให้เราพิจารณาลักษณะทั่วไปเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง B4 ∈ Mn (F) กับ
รายการที่ 1 ในตำแหน่ง
(1, σ (1)), (2, σ (2))... (i - 1, σ (i - 1)...) (i, k) (i + 1, σ (i + 1))
... ( R - 1, σ (R - 1)), (R, L) (r + 1, σ (r + 1)), (n, σ (n))...
และรายการที่ 0 ในตำแหน่งอื่น ๆ .
ขอ B5 ∈ Mn (F) เป็นเมทริกซ์ที่ได้รับจาก B4 โดยสับเปลี่ยน
i-th และคอลัมน์ R-th. แล้วปัจจัยเดชอุดม (B4) = (-1) และไอคิว
เดชอุดม (B5) = (-1) ไอคิว 1 ที่ไอคิวหมายถึงจำนวนของแปรผกผันของการเปลี่ยนแปลง
σ (1), σ (2), σ (i - 1)......, k, σ (i + 1), σ (R - 1), L, σ (r + 1), σ (n)...
ของตัวเลขจำนวนเต็ม 1, 2, n....
F (B4) และ F (B5) จะมีการเปลี่ยนแปลงเมทริกซ์ทั่วไป ปัจจัย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

P r o O F . n = 1 ภาพ ( 9 ) เป็นจริง .
n ≥ 2 ให้เราพิจารณาเล็กน้อย
=
" B3
L
k CI , CI , CR , K ( , L #
ของเมทริกซ์ C โดยพลการแก้ไขดัชนี I , R , K , L เช่น ที่ 1 ≤ < R ≤ n
1 ≤ K < L ≤ N .
ให้เราพิจารณาการตัดแต่งเมทริกซ์ B4 ∈ Mn ( F )

รายการ 1 ตำแหน่ง ( 1 σ ( 1 ) , ( 2 , σ ( 2 ) ) . . . . . . . ( ฉัน− 1 , σ ( − 1 ) ( i , k ) ( 1 , σ ( ชั้น 1 ) ) . . . . . . .

. . , ( r − 1 , σ ( r − 1 ) ) , ( R , l ( R ) , 1 , σ ( R ) ) . . . . . . . ( n σ ( n )
0 ในรายการและตำแหน่งอื่น ๆทั้งหมด .
ให้ B5 ∈ MN ( F ) เป็นเมทริกซ์ที่ได้รับจาก B4 โดย interchanging
i-th และคอลัมน์ r-th . แล้วปัจจัยเดช ( B4 ) = ( − 1 ) IQ และ
เดช ( B5 ) = ( − 1 ) ไอคิวไอคิว 1 ที่แสดงหมายเลขของตรงกันข้ามของการเปลี่ยนแปลง
σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . . . . . σ , ( − 1 ) , K , σ ( ชั้น 1 ) . . . . . . . σ , ( r − 1 ) , Lσ ( R 1 ) . . . . . . . σ , ( n )
ของจำนวนเต็มตัวเลข 1 , 2 , . . . . . . . . N .
F ( B4 ) และ f ( B5 ) มีการเปลี่ยนแปลงแบบเมทริกซ์ ปัจจัย