AbstractThe three parameter log-nor

Abstract
The three parameter log-normal distribution is a popular non-regular model, but surprisingly, whether the local maximum likelihood estimator (MLE) for parameter estimation is consistent or not has been speculated about since the 1960s. This note gives a rigorous proof for the existence of a consistent MLE for the three parameter log-normal distribution, which solves a problem that has been recognized and unsolved for 50 years. Our results also imply a uniform local asymptotic normality condition for the three parameter log-normal distribution. In addition, we give results on the asymptotic normality and the uniqueness of the local MLE.

Keywords
Consistency; Local maximum; Maximum likelihood; Non-regular model; Uniform local asymptotic normality
1. Introduction
A random variable Y has the three parameter log-normal distribution if

equation(1)
Z=log(Y−A)∼N(μ,σ2),
Turn MathJax on

in which μ, σ and A are unknown parameters. This model has been widely used in applications and its estimation approaches have been studied by many, including Cohen (1951), Hill (1963), Harter and Moore (1966), Munro and Wixley (1970), Giesbrecht and Kempthorne (1976), Cohen and Whitten (1980), Crow and Shimizu (1998) and Basak et al. (2009), among others. But the theoretical properties of the proposed methods were not fully addressed rigorously in these papers.
Cohen (1951) first considered using the method of maximum likelihood to estimate parameters in Model (1). He derived the maximum likelihood equations and the Fisher information matrix without noting that the likelihood function was unbounded and that the solutions to the likelihood equations were not the global maximizer of the likelihood function. Aitchison and Brown (1957) gave a comprehensive summary of estimation methods developed up to that time, including the method of maximum likelihood. Hill (1963) pointed out that the likelihood function for Model (1) is unbounded and derived a sequence of parameter values along which the likelihood went to infinity. He then suggested using a Bayesian approach for parameter estimation. A strong restriction on his proposed method is that the priors used must “assign negligible prior probability in the vicinity of the singularity”. Harter and Moore (1966) then suggested using the solution to the likelihood equation instead of using the global maximizer to estimate the unknown parameters and termed this local MLE. They also considered fitting the three parameter log-normal model from censored data. The likelihood equations were derived and a modified iterative procedure was proposed to find the estimates numerically. However, whether the local MLE is consistent or not was not discussed and this problem remained unsolved since then. Cohen and Whitten (1980) proposed modifying the local MLE by using the extreme order statistics to estimate the boundary parameter A. Giesbrecht and Kempthorne (1976) studied the three parameter log-normal distribution by assuming that data observed were subject to a grouping error. They defined the likelihood function in this setting for which an explicit expression was not available.

Cheng and Amin (1979) proposed the maximum product spacings estimation method and proved that it produced consistent estimators for the three parameter log-normal model. The maximum product spacings estimation method uses the cumulative distribution function for construction, so the target functions are always bounded. But there is no closed form for the cumulative distribution function for the three parameter log-normal distribution so the computation burden is heavy when finding the numerical solution. Cheng and Amin (1983) derived the asymptotic normality of the maximum product spacings estimator and the local MLE for the log-normal distribution. However, the normality of the local MLE was obtained based on the assumption of the existence of a consistent MLE and a rigorous proof for the consistency of the local MLE was not provided. For a class of non-regular models, Smith (1985) derived the asymptotic properties of the local MLE’s. However, as shown in Section 2, a key requirement in Smith (1985)’s proof is not met for Model (1).

In this note, we conquer the obstacle in proving the consistency of the local MLE for Model (1). We also study the uniqueness of the local maximizer of the likelihood function and a theorem similar to Theorem 2 in Smith (1985) is provided to help choose a consistent solution when multiple solutions exist. The asymptotic normality of the local MLE is proved under contiguous alternatives. We briefly review the literature about the MLE in non-regular models in Section 2 and present our main results in Section 3. Proofs are given in Section 4.

2. Maximum likelihood estimation in non-regular models
When some of the classical regularity conditions required in Cramér (1946) and Wald (1949) are not true, examples can be found in which desirable results of MLE’s fail (e.g., Le Cam,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อการแจกแจงล็อกปกติสามพารามิเตอร์เป็นแบบไม่ประจำที่นิยม แต่น่าแปลกที่ ว่าโอกาสท้องถิ่นสูงสุดประมาณ (MLE) สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์จะสอดคล้องกัน หรือไม่มีการสันนิษฐานเกี่ยวกับตั้งแต่ปี 1960 หมายเหตุนี้ให้หลักฐานเข้มงวดสำหรับการดำรงอยู่ของพื้นฐานสอดคล้องสำหรับการพารามิเตอร์สามล็อกการแจกแจงปกติ ช่วยแก้ปัญหาที่ได้รับการยอมรับ และไม่สำหรับ 50 ปี ผลของเรายังบ่งบอกถึงสภาพเครื่อง asymptotic ท้องถิ่นเหมือนกันสำหรับการแจกแจงปกติบันทึกพารามิเตอร์ที่สาม นอกจากนี้ เราสามารถให้ผลลัพธ์บนเครื่อง asymptotic และเอกลักษณ์ของพื้นฐานท้องถิ่นคำสำคัญความสอดคล้องกัน สูงสุดท้องถิ่น โอกาสสูงสุด แบบจำลองแบบไม่ประจำ เครื่อง asymptotic ท้องถิ่นเหมือนกัน1. บทนำตัวแปรสุ่ม Y มีการแจกแจงปกติบันทึกพารามิเตอร์สามถ้าequation(1)Z=log(Y−A)∼N(μ,σ2)เปิด MathJaxซึ่งμ σ A ด้วยพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก รุ่นนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งาน และวิธีการประเมินมีการศึกษามาหลาย รวมทั้งโคเฮน (1951), ฮิลล์ (1963), กิจการ และมัวร์ (1966), มันโร และ Wixley (1970), Giesbrecht และ Kempthorne (1976), โคเฮน และ Whitten (1980), อีกา และซุ (1998) และ Basak et al. (2009), หมู่คนอื่น ๆ แต่คุณสมบัติทางทฤษฎีของวิธีการนำเสนอไม่ครบถ้วนได้รับการแก้ไขอย่างจริงจังในเอกสารเหล่านี้โคเฮน (1951) ถือเป็นครั้งแรกที่ใช้วิธีการของความเป็นไปได้สูงสุดประมาณพารามิเตอร์ในแบบจำลอง (1) เขาพัฒนาสมการความน่าเป็นสูงสุดและเมตริกซ์ Fisher ข้อมูลโดยไม่ได้สังเกตว่า ฟังก์ชันโอกาสไม่ และว่า การแก้ปัญหาสมการโอกาสไม่ maximizer สากลของฟังก์ชันความน่าเป็น Aitchison และน้ำตาล (1957) ให้สรุปครอบคลุมของวิธีการประเมินที่พัฒนาถึงเวลา รวมทั้งวิธีการโอกาสสูงสุด ฮิลล์ (1963) ชี้ให้เห็นว่า ฟังก์ชันความน่าเป็นรุ่น (1) ไม่ และลำดับของค่าพารามิเตอร์ตามโอกาสไปว่ายมา เขาแล้วแนะนำให้ใช้แนวทางทฤษฎีสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ ข้อจำกัดความในวิธีที่เขาเสนอคือ ว่า priors ที่ใช้ต้อง "กำหนดเล็กน้อยจะใกล้ความเป็นเอกเทศ" กิจการและมัวร์ (1966) แล้วแนะนำให้ใช้วิธีการแก้สมการโอกาสแทนที่จะใช้ maximizer สากลการประมาณพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก และเรียกว่าพื้นฐานท้องถิ่นนี้ นอกจากนี้พวกเขายังถือว่าเหมาะสมแบบล็อกปกติสามพารามิเตอร์จากเซ็นเซอร์ข้อมูล สมการแนวโน้มที่ได้มา และแก้ไขกระบวนการซ้ำถูกเสนอเพื่อค้นหาการประเมินตัวเลข อย่างไรก็ตาม ว่าพื้นฐานท้องถิ่นจะสอดคล้องกัน หรือไม่มีการกล่าวถึงไม่ได้ และปัญหานี้ยังคงไม่ตั้งแต่นั้น โคเฮนและ Whitten (1980) เสนอปรับเปลี่ยนพื้นฐานในท้องถิ่น โดยใช้สถิติการสั่งซื้อมากในการประเมินขอบเขตของพารามิเตอร์ A. Giesbrecht และ Kempthorne (1976) ศึกษาการแจกแจงปกติบันทึกพารามิเตอร์สามโดยสมมติว่าข้อมูลที่สังเกตได้อาจมีข้อผิดพลาดการจัดกลุ่ม พวกเขาสามารถกำหนดฟังก์ชันโอกาสในการตั้งค่านี้ซึ่งนิพจน์ชัดเจนไม่มีเชงและ Amin (1979) ระยะปลูกสูงสุดผลิตภัณฑ์ที่นำเสนอวิธีการประเมิน และพิสูจน์ว่า มันผลิต estimators สอดคล้องกันสำหรับรุ่นปกติบันทึกพารามิเตอร์ที่สาม วิธีการประเมินระยะปลูกผลิตภัณฑ์สูงสุดใช้ฟังก์ชันสำหรับงานก่อสร้าง ดังนั้นฟังก์ชันเป้าหมายล้อมรอบเสมอ แต่มีไม่มีแบบฟอร์มปิดฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการแจกแจงปกติบันทึกพารามิเตอร์ที่สามจึงคำนวณภาระหนักเมื่อหาวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลข เชงและ Amin (1983) ได้มาเครื่อง asymptotic ของผลิตภัณฑ์สูงสุดระยะปลูกประมาณและพื้นฐานท้องถิ่นสำหรับการแจกแจงปกติบันทึก อย่างไรก็ตาม เครื่องของท้องถิ่นพื้นฐานมาอิงสมมติฐานของการดำรงอยู่ของพื้นฐานสอดคล้องกัน และหลักฐานเข้มงวดสำหรับความสอดคล้องของ MLE ท้องถิ่นไม่ได้รับ สำหรับชั้นไม่ประจำรุ่น สมิธ (1985) มาคุณสมบัติ asymptotic ของของพื้นฐานท้องถิ่น อย่างไรก็ตาม ตามที่แสดงในส่วนที่ 2 ข้อกำหนดคีย์ในสมิธ (1985) ของหลักฐานไม่ตรงตามรุ่น (1)ในหมายเหตุนี้ เราพิชิตอุปสรรคในการพิสูจน์ความสอดคล้องของ MLE ท้องถิ่นสำหรับรุ่น (1) นอกจากนี้เรายังศึกษาเอกลักษณ์ของ maximizer ถิ่นของฟังก์ชันความน่าเป็น และทฤษฎีบทที่คล้ายกับทฤษฎีบท 2 ในสมิธ (1985) มีไว้เพื่อช่วยในการเลือกโซลูชันสอดคล้องกันเมื่อหลายโซลูชั่นที่มีอยู่ เป็นเครื่องพิสูจน์เครื่อง asymptotic ของ MLE ท้องถิ่นภายใต้ทางเลือกที่อยู่ติดกัน สั้น ๆ เราทบทวนวรรณกรรมเกี่ยวกับพื้นฐานในรูปแบบไม่ประจำในส่วนที่ 2 และแสดงผลหลักของเราในส่วนที่ 3 พิสูจน์ได้ใน 4 ส่วน2. การประเมินโอกาสสูงสุดในรุ่นไม่ประจำเมื่อบางเงื่อนไขคลาสสิกสม่ำเสมอที่จำเป็นใน Cramér (1946) และวอลด์ (1949) ไม่มีจริง ตัวอย่างสามารถพบได้ในผลลัพธ์ที่พึงปรารถนาของความล้มเหลวของ MLE (เช่น เลอ Cam

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
การกระจายระบบปกติสามพารามิเตอร์เป็นที่นิยมรูปแบบที่ไม่ปกติ แต่ที่น่าแปลกใจไม่ว่าจะเป็นโอกาสในท้องถิ่นประมาณการสูงสุด (MLE) สำหรับประมาณค่าพารามิเตอร์มีความสอดคล้องหรือไม่ได้รับการสันนิษฐานเกี่ยวกับการมาตั้งแต่ปี 1960 หมายเหตุนี้จะช่วยให้หลักฐานอย่างเข้มงวดสำหรับการดำรงอยู่ของความสอดคล้อง MLE สำหรับการกระจายระบบปกติสามพารามิเตอร์ซึ่งจะช่วยแก้ปัญหาที่ได้รับการยอมรับและยังไม่แก้สำหรับ 50 ปีที่ผ่านมา ผลของเรายังบ่งบอกถึงท้องถิ่นสภาพปกติเครื่องแบบ asymptotic สำหรับการกระจายระบบปกติสามพารามิเตอร์ นอกจากนี้เรายังให้ผลในเชิงภาวะปกติและเป็นเอกลักษณ์ของท้องถิ่น MLE ได้.

คำสำคัญ
สอดคล้อง; สูงสุดท้องถิ่น ความน่าจะเป็นสูงสุด รูปแบบที่ไม่ปกติ; เครื่องแบบปกติท้องถิ่น asymptotic
1 บทนำ
ตัวแปรสุ่ม Y มีการกระจายระบบปกติสามพารามิเตอร์ถ้า

สมการ (1)
Z = เข้าสู่ระบบ (Y-A) ~N (μ, σ2)
เปิด MathJax ใน

ที่μ, σและ A เป็นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก รุ่นนี้ได้รับการใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานและวิธีการประมาณค่าที่ได้รับการศึกษาโดยจำนวนมากรวมทั้งโคเฮน (1951), ฮิลล์ (1963) Harter และมัวร์ (1966) มันโรและ Wixley (1970) Giesbrecht และ Kempthorne (1976) โคเฮนและ Whitten (1980), อีกาและชิมิซุ (1998) และ Basak et al, (2009) อื่น ๆ ในกลุ่ม แต่คุณสมบัติทางทฤษฎีของวิธีการที่นำเสนอไม่ได้รับการแก้ไขอย่างเต็มที่อย่างจริงจังในเอกสารเหล่านี้.
โคเฮน (1951) ก่อนพิจารณาใช้วิธีการของโอกาสสูงสุดในการประมาณค่าพารามิเตอร์ในรูปแบบ (1) เขาได้มาสมโอกาสสูงสุดและข้อมูลเมทริกซ์ฟิชเชอร์โดยไม่ต้องสังเกตว่าฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นที่มากมายและโซลูชั่นเพื่อสมการความเป็นไปไม่ได้ Maximizer ทั่วโลกของฟังก์ชั่นความน่าจะเป็น Aitchison และบราวน์ (1957) ให้เป็นบทสรุปที่ครอบคลุมของวิธีการประเมินการพัฒนาถึงเวลานั้นรวมถึงวิธีการของความน่าจะเป็นสูงสุด ฮิลล์ (1963) ชี้ให้เห็นว่าการทำงานของโอกาสสำหรับรูปแบบ (1) เป็นมากมายและได้รับลำดับของค่าพารามิเตอร์ตามที่น่าจะเป็นไปอินฟินิตี้ จากนั้นเขาก็แนะนำให้ใช้วิธีการแบบเบส์สำหรับประมาณค่าพารามิเตอร์ ข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งในวิธีที่นำเสนอเขาก็คือไพรเออร์ที่ใช้จะต้องกำหนด "ความน่าจะเป็นก่อนเล็กน้อยในบริเวณใกล้เคียงของภาวะเอกฐานที่" Harter และมัวร์ (1966) แล้วแนะนำให้ใช้วิธีการแก้สมการความเป็นไปได้แทนการใช้ Maximizer ทั่วโลกในการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักและเรียกว่านี้ MLE ท้องถิ่น พวกเขายังถือว่าเหมาะสมกับรูปแบบของระบบปกติสามพารามิเตอร์จากข้อมูลการตรวจสอบ ความน่าจะเป็นสมการได้มาและขั้นตอนการย้ำการแก้ไขที่ถูกเสนอเพื่อหาตัวเลขประมาณการ อย่างไรก็ตามไม่ว่าจะเป็นเอมิลี่ในท้องถิ่นมีความสอดคล้องหรือไม่ก็ไม่ได้กล่าวถึงและปัญหานี้ยังไม่ถูกคลี่คลายตั้งแต่นั้นมา โคเฮนและ Whitten (1980) ได้เสนอการปรับเปลี่ยน MLE ท้องถิ่นโดยใช้สถิติการสั่งซื้อมากในการประมาณค่าพารามิเตอร์ A. เขตแดน Giesbrecht และ Kempthorne (1976) การศึกษาการกระจายของระบบปกติสามพารามิเตอร์โดยสมมติว่าข้อมูลที่สังเกตเป็นเรื่องที่ผิดพลาดในการจัดกลุ่ม พวกเขากำหนดฟังก์ชั่นความเป็นไปได้ในการตั้งค่านี้ที่การแสดงออกอย่างชัดเจนก็ไม่สามารถใช้ได้.

เฉิงและอามิน (1979) นำเสนอผลิตภัณฑ์ระยะปลูกวิธีการประมาณค่าสูงสุดและได้รับการพิสูจน์ว่ามันผลิตประมาณค่าที่สอดคล้องกันสำหรับรูปแบบของระบบปกติสามพารามิเตอร์ วิธีการประมาณค่าความยาวสินค้าสูงสุดใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการก่อสร้างเพื่อให้ฟังก์ชั่นที่มีเป้าหมายที่สิ้นสุดเสมอ แต่ไม่มีรูปแบบปิดสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการกระจายระบบปกติสามพารามิเตอร์เพื่อให้ภาระการคำนวณหนักเมื่อหาทางออกที่เป็นตัวเลข เฉิงและอามิน (1983) ที่ได้รับปกติ asymptotic ของระยะปลูกสินค้าประมาณการสูงสุดและ MLE ท้องถิ่นสำหรับการกระจายระบบปกติ อย่างไรก็ตามปกติของ MLE ท้องถิ่นที่ได้รับอยู่บนสมมติฐานของการดำรงอยู่ของความสอดคล้อง MLE และหลักฐานอย่างเข้มงวดเพื่อความมั่นคงของ MLE ท้องถิ่นที่ไม่ได้ให้ สำหรับการเรียนของรุ่นที่ไม่ปกติสมิ ธ (1985) ที่ได้มาคุณสมบัติเชิงของท้องถิ่นของเอมิลี่ อย่างไรก็ตามในขณะที่แสดงอยู่ในหมวด 2 ความต้องการที่สำคัญในสมิ ธ (1985) 's หลักฐานไม่ได้พบกับรุ่น (1).

ในบันทึกนี้เราเอาชนะอุปสรรคในการพิสูจน์ความสอดคล้องของ MLE ท้องถิ่นสำหรับรุ่นนี้ (1) นอกจากนี้เรายังศึกษาเอกลักษณ์ของ Maximizer ท้องถิ่นของฟังก์ชั่นและความน่าจะเป็นทฤษฎีบทที่คล้ายกับทฤษฎีบท 2 ในสมิ ธ (1985) ที่มีให้เลือกที่จะช่วยให้การแก้ปัญหาที่สอดคล้องกันเมื่อการแก้ปัญหาหลายอยู่ ปกติ asymptotic ของ MLE ท้องถิ่นพิสูจน์ภายใต้ทางเลือกที่อยู่ติดกัน เราสั้นทบทวนวรรณกรรมเกี่ยวกับเอมิลี่ในรูปแบบที่ไม่ปกติในส่วนที่ 2 และนำเสนอผลงานหลักของเราในส่วนที่ 3 จะได้รับการพิสูจน์ในมาตรา 4

2 การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดในรูปแบบที่ไม่ปกติ
เมื่อบางส่วนของเงื่อนไขระเบียบคลาสสิกที่จำเป็นในการCramér (1946) และ Wald (1949) จะไม่เป็นความจริงตัวอย่างที่สามารถพบได้ในผลที่พึงประสงค์ของ MLE ล้มเหลว (เช่น Le Cam,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อสามพารามิเตอร์เข้าสู่ระบบปกติกระจายเป็นที่นิยมไม่ใช่รุ่นปกติ แต่จู่ ๆ ไม่ว่าจะเป็นท้องถิ่น ความเป็นไปได้สูงสุดประมาณ ( mle ) เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ที่สอดคล้อง หรือไม่ได้รับการสันนิษฐานเกี่ยวกับตั้งแต่ 1960 หมายเหตุนี้ให้หลักฐานอย่างเข้มงวดเพื่อการดำรงอยู่ของ mle สอดคล้องกับสามพารามิเตอร์เข้าสู่ระบบของการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งจะเป็น ปัญหาที่ได้รับการยอมรับและติดใจสำหรับ 50 ปี ผลของเรายังหมายถึงชุดท้องถิ่นเฉลี่ยปกติเงื่อนไขสามพารามิเตอร์เข้าสู่ระบบปกติกระจาย นอกจากนี้เรายังให้ผลในภาวะปกติเฉลี่ยและเอกลักษณ์ของ mle ท้องถิ่นคำสำคัญความสอดคล้อง ; สูงสุดท้องถิ่น โอกาสสูงสุด ; ไม่ใช่รุ่นปกติ ; เครื่องแบบท้องถิ่นเฉลี่ยปกติ1 . แนะนำตัวแปรสุ่ม Y ที่มีสามพารามิเตอร์การแจกแจงปกติถ้าเข้าสู่ระบบสมการ ( 1 )Z = log ( y − ) ∼ N ( μσ , 2 )เปิด mathjax บนซึ่งในμσ , และเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก รุ่นนี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการใช้งานและวิธีการของการได้รับการศึกษาโดยมาก ได้แก่ โคเฮน ( 1951 ) , ฮิลล์ ( 1963 ) , มะเขือเทศ และ มัวร์ ( 1966 ) , wixley Munro ( 1970 ) และ giesbrecht kempthorne ( 1976 ) , Cohen และ Whitten ( 1980 ) , กา และ ชิมิ ( 1998 ) และ Basak et al . ( 2009 ) , หมู่คนอื่น ๆ แต่คุณสมบัติเชิงทฤษฎีของวิธีที่เสนอนี้ไม่ได้ให้ความสนใจอย่างจริงจังเต็มที่ ในเอกสารเหล่านี้โคเฮน ( 1951 ) ถือเป็นครั้งแรกโดยใช้วิธีความควรจะเป็นสูงสุดเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ในแบบจำลอง ( 1 ) เขาได้รับโอกาสสูงสุดของสมการและข้อมูล ฟิชเชอร์ เมทริกซ์ โดยไม่สังเกตว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นได้ไม่จำกัด และโซลูชั่นเพื่อโอกาสสมการไม่ได้เพิ่มระดับโลกของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เอชีสัน และสีน้ำตาล ( 1957 ) ให้สรุปครอบคลุมของวิธีการประมาณที่พัฒนาขึ้นนั้น รวมถึงวิธีความควรจะเป็นสูงสุด เนินเขา ( 1963 ) ชี้ให้เห็นว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นสมการ ( 1 ) และมีความสำคัญลำดับของค่าพารามิเตอร์ตามซึ่งโอกาสไปไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นเขาก็แนะนำให้ใช้วิธีการแบบเบส์สำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ มีข้อกำหนดที่แข็งแกร่งของเขาวิธีการที่เริ่มใช้ต้อง " กำหนดเล็กน้อยก่อนที่ความน่าจะเป็นในบริเวณใกล้เคียงของเอกพจน์ " ค่า และ มัวร์ ( 1966 ) แล้วแนะนำให้ใช้วิธีการแก้สมการแทนการใช้เพิ่มโอกาสทั่วโลกประมาณพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักและ termed mle ท้องถิ่นนี้ ยังพิจารณาที่เหมาะสมเข้าสู่ระบบปกติสามพารามิเตอร์โมเดลจาก เซ็นเซอร์ข้อมูล ความน่าจะเป็นสมการและการแก้ไขซ้ำขั้นตอนที่เสนอเพื่อหาประมาณการตัวเลข อย่างไรก็ตาม ไม่ว่า mle ท้องถิ่นสอดคล้องหรือไม่ก็ไม่กล่าวถึง และปัญหายังไม่คลี่คลายแล้ว Cohen และ Whitten ( 1980 ) ได้เสนอการปรับเปลี่ยน mle ท้องถิ่นโดยใช้สถิติเพื่อการประมาณค่าขอบเขตมาก . giesbrecht kempthorne ( 1976 ) และศึกษาสามพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปกติ โดยสมมติว่าบันทึกข้อมูลการปฏิบัติเป็นเรื่อง การจัดกลุ่มข้อมูล พวกเขากำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นในการตั้งค่านี้ที่แสดงออกอย่างชัดเจน คือ ไม่สามารถใช้ได้เฉิงและอามิน ( 1979 ) ได้เสนอวิธีการประมาณค่าที่มีผลิตภัณฑ์สูงสุด และพิสูจน์ให้เห็นว่ามันผลิตประมาณสอดคล้องกับสามพารามิเตอร์เข้าสู่ระบบปกติแบบ การปลูก ใช้ผลิตภัณฑ์สูงสุด วิธีการประมาณค่าฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับการก่อสร้าง ดังนั้น เป้าหมายการทำงานอยู่เสมอจำกัด แต่ไม่มีปิดแบบฟอร์มสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงสะสมสำหรับสามพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปกติเพื่อเข้าสู่ระบบการคำนวณภาระหนักเมื่อการหาผลเฉลยเชิงตัวเลข . เฉิงและอามิน ( 1983 ) ซึ่งได้มาปกติเฉลี่ยของผลิตภัณฑ์สูงสุดการประมาณการและ mle ท้องถิ่นเพื่อเข้าสู่ระบบปกติกระจาย อย่างไรก็ตาม ปกติวิสัยของ mle ท้องถิ่นได้รับขึ้นอยู่กับสมมติฐานของการดำรงอยู่ของสอดคล้อง mle และหลักฐานเคร่งครัดสำหรับความสอดคล้องของ mle ท้องถิ่นก็ไม่มีให้ สำหรับชั้นเรียนที่ไม่ใช่รูปแบบปกติ สมิธ ( 1985 ) ได้คุณสมบัติการหมุนเวียนของท้องถิ่น mle . อย่างไรก็ตาม ดังที่ปรากฏในมาตรา 2 ของคีย์ สมิธ ( 1985 ) หลักฐานไม่ตรงรุ่น ( 1 )ในบันทึกนี้ เราเอาชนะอุปสรรคในการพิสูจน์ความสอดคล้องของ mle ท้องถิ่นสำหรับรุ่น ( 1 ) นอกจากนี้เรายังศึกษาเอกลักษณ์ของท้องถิ่นและเพิ่มฟังก์ชันความน่าจะเป็นทฤษฎีบทคล้ายกับทฤษฎีบท 2 ในสมิธ ( 1985 ) ให้ช่วยเลือกโซลูชั่นที่สอดคล้องกันเมื่อโซลูชั่นหลายอยู่ ภาวะปกติเฉลี่ยของ mle ท้องถิ่นพิสูจน์ภายใต้ทางเลือกที่ต่อเนื่องกัน . เราสั้นทบทวนวรรณกรรมเกี่ยวกับ mle ในรูปแบบไม่ปกติในมาตรา 2 และปัจจุบันผลลัพธ์หลักของเราในส่วนที่ 3 หลักฐานที่ได้รับในส่วนที่ 42 . การเกิดในรูปแบบปกติที่ไม่สูงสุดเมื่อบางส่วนของคลาสสิกระเบียบเงื่อนไขที่ต้องการในกวดé r ( 1946 ) และเดิน ( 1949 ) ไม่จริง ตัวอย่างสามารถพบได้ในที่พึงปรารถนาผล mle ล้มเหลว ( เช่นของ