Mixed integer programming formulati

Mixed integer programming formulations for unions of polyhedra or (polyhedral) disjunctive constraints
can be divided into extended formulations that use both 0-1 and continuous auxiliary variables, and non-
extended formulations that only use the 0-1 variables that are strictly necessary to construct a valid formula-
tion. Standard extended formulations have sizes that are linear on the sizes of the polyhedra and have linear
programming relaxations with extreme points that naturally satisfy the appropriate integrality constraints
(such formulations are usually denoted ideal and are as strong as possible). In contrast, for non-extended
formulation there usually is an important trade-o between strength and size. However, a
exible use of
the 0-1 variables that signal the selection among the polyhedra can lead to non-extended formulations that
are ideal and smaller than the best extended alternative. Furthermore, these formulations have been shown
to provide a signicant computation advantage. This paper attempts to explain and expand the success
of such formulations by introducing a geometric characterization of them. This characterization is based
on an embedding of the polyhedra in a higher dimensional space and provides a systematic procedure to
construct ideal formulations. Furthermore, the characterization naturally leads to two notions of formulation
complexity for unions of polyhedra: 1) the size of the smallest non-extended formulation, and 2) the size of
the smallest ideal non-extended formulations. We analyze such measures for various disjunctions of practical
interest by providing (nearly) matching upper and lower bounds, with special emphasis on the number of
general inequalities (i.e. those that are not variable bounds). In particular, when analyzing Special Order
Sets of type 2 (SOS2) we show optimality with respect to the number of general inequalities of an existing
ideal formulation and introduce a non-ideal formulation that only uses a constant number of of general
inequalities. Finally, we consider how adding redundancy to the disjunction can simplify the construction of
ideal formulations and compare the formulation complexity measures to other complexity notions such as
the size of the convex hull of the union of the polyhedra and the extension complexity of this convex hull

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผสมเต็มสูตรสำหรับสหภาพของ polyhedra หรือข้อจำกัด disjunctive (polyhedral) การเขียนโปรแกรมสามารถแบ่งสูตรขยายที่ใช้ 0-1 และตัวแปรเสริมอย่างต่อเนื่อง และ -ขยายตัวแปรใช้ 0-1 นั้นเท่าที่จำเป็นอย่างเคร่งครัดเพื่อสร้างการใช้สูตร - สูตรสเตรชัน สูตรขยายมาตรฐานมีขนาด ที่เป็นเชิงเส้นในขนาดของ polyhedra มีเส้นrelaxations เขียนโปรแกรมจุดมากที่ธรรมชาติตอบสนองข้อจำกัด integrality ที่เหมาะสม(สูตรดังกล่าวที่มักจะสามารถบุเหมาะ แล้วแข็งแกร่งที่สุด) ในทางตรงกันข้าม การไม่ขยายกำหนดมีมักจะเป็นสำคัญทางการค้า o ระหว่างความแข็งแรงและขนาด อย่างไรก็ตาม การ ใช้ exible0-1 ตัวแปรที่สัญญาณเลือกระหว่าง polyhedra สามารถนำไปขยายไม่ใช่สูตรที่ได้สะดวก และมีขนาดเล็กกว่าส่วนขยายทางเลือก นอกจากนี้ มีการแสดงสูตรเหล่านี้ให้คำนวณประโยชน์ signi ต้อน กระดาษนี้พยายามอธิบาย และขยายความสำเร็จของสูตรดังกล่าวโดยการแนะนำการจำแนกรูปทรงเรขาคณิตของพวกเขา นี้จำแนกอยู่ในการฝัง polyhedra ในช่องว่างมิติที่สูงกว่า และมีขั้นตอนอย่างมีระบบเพื่อสร้างสูตรเหมาะ นอกจากนี้ การจำแนกเป้าหมายกับกำลังสองของกำหนดธรรมชาติความซับซ้อนในสหภาพของ polyhedra: 1) ขนาดเล็กที่สุดไม่ใช่ขยายกำหนด และ 2) ขนาดของที่เล็กที่สุดเหมาะไม่ขยายสูตร เราวิเคราะห์ disjunctions ต่าง ๆ ของทางปฏิบัติมาตรการดังกล่าวดอกเบี้ย โดยให้ (เกือบ) ตรงด้านบนและขอบเขตล่าง เน้นจำนวนทั่วไปความเหลื่อมล้ำทาง (เช่นผู้ที่ไม่มีขอบเขตตัวแปร) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อวิเคราะห์ตามใบสั่งพิเศษชุดชนิด 2 (SOS2) เราแสดง optimality กับหมายเลขของความเหลื่อมล้ำทางทั่วไปของที่มีอยู่กำหนดห้อง และแนะนำที่กำหนดไม่เหมาะที่ใช้จำนวนคงที่ของทั่วไปเท่านั้นความเหลื่อมล้ำทางการ สุดท้าย เราพิจารณาวิธีเพิ่มซ้ำ disjunction ที่สามารถทำการก่อสร้างสูตรที่เหมาะและเปรียบเทียบความซับซ้อนกำหนดมาตรการอื่น ๆ ความเข้าใจความซับซ้อนเช่นขนาดของตัวเรือนูนของสหภาพของ polyhedra และความซับซ้อนของส่วนขยายของฮัลล์นูนนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนเต็มผสมสูตรการเขียนโปรแกรมสำหรับสหภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือ (polyhedral) จำกัด disjunctive
สามารถแบ่งออกเป็นสูตรที่ใช้ขยายทั้ง 0-1
และตัวแปรเสริมอย่างต่อเนื่องและไม่สูตรขยายที่จะใช้0-1 ตัวแปรที่เป็นอย่างเคร่งครัดจำเป็นที่จะต้องสร้าง
สูตรยาที่ถูกต้องการ สูตรมาตรฐานมีการขยายขนาดการเชิงเส้นที่มีขนาดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและมีการเชิงเส้น
relaxations การเขียนโปรแกรมที่มีจุดที่เป็นธรรมชาติมากตอบสนองข้อ จำกัด integrality ที่เหมาะสม
(สูตรดังกล่าวจะแสดงมักจะเหมาะและเป็นที่แข็งแกร่งเป็นไปได้) ในทางตรงกันข้ามสำหรับการไม่ขยายกำหนดมักจะเป็นค้า o ความสำคัญ?
ระหว่างความแข็งแรงและขนาด
อย่างไรก็ตามการใช้ความยืดหยุ่นของ
0-1
ตัวแปรที่ส่งสัญญาณเลือกระหว่างรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถนำไปสู่สูตรที่ไม่ขยายที่เหมาะและมีขนาดเล็กกว่าทางเลือกที่ดีที่สุดในการขยาย
นอกจากนี้สูตรเหล่านี้ได้รับการแสดงเพื่อให้ความได้เปรียบในการคำนวณลาดเทนัยสำคัญ
บทความนี้พยายามที่จะอธิบายและขยายความสำเร็จของสูตรดังกล่าวโดยการแนะนำลักษณะทางเรขาคณิตของพวกเขา ลักษณะนี้จะขึ้นอยู่กับการฝังของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ในมิติที่สูงขึ้นและมีขั้นตอนที่เป็นระบบในการสร้างสูตรที่เหมาะ นอกจากนี้ลักษณะตามธรรมชาติจะนำไปสู่ความคิดที่สองของการกำหนดความซับซ้อนสำหรับสหภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยม: 1) ขนาดของสูตรที่ไม่ขยายที่เล็กที่สุดและ 2) ขนาดของสูตรที่ไม่ขยายเหมาะที่เล็กที่สุด เราวิเคราะห์มาตรการดังกล่าวสำหรับ disjunctions ต่างๆของการปฏิบัติที่น่าสนใจโดยการให้(เกือบ) ตรงกับขอบเขตบนและล่างที่มีความสำคัญเป็นพิเศษกับจำนวนของความไม่เท่าเทียมกันทั่วไป(เช่นผู้ที่ไม่ได้ขอบเขตตัวแปร) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อวิเคราะห์การสั่งซื้อพิเศษชุดชนิดที่ 2 (SOS2) เราจะแสดง optimality ที่เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันจำนวนทั่วไปของที่มีอยู่สูตรที่เหมาะและแนะนำสูตรที่ไม่เหมาะที่จะใช้เป็นจำนวนคงที่ของทั่วไปของความไม่เท่าเทียมกัน สุดท้ายเราพิจารณาวิธีการเพิ่มความซ้ำซ้อนกับร้าวฉานสามารถลดความซับซ้อนของการก่อสร้างสูตรที่เหมาะและเปรียบเทียบการกำหนดมาตรการความซับซ้อนในการคิดซับซ้อนอื่น ๆ เช่นขนาดของเรือนูนของสหภาพของรูปทรงหลายเหลี่ยมและความซับซ้อนของการขยายตัวของเรือนูนนี้