When both σ21 and σ22 are known, th

When both σ2
1 and σ2
2 are known, the following z statistic can be used:
Z =
¯ Y1 − ¯ Y  2 − μ0
σ2
1
n1
+
σ2
2
n2
.
Under H0, Z follows a standard normal distribution and that makes the test very straightforward.
However, if the two variances are unknown but equal, one can use the pooled t statistic
T1 =
Y¯1 − Y¯2 − μ0 
S2
pool

1
n1
+ 1
n2
,
where S2
pool = {(n1−1)S2
1 +(n2−1)S2
2 }/(n1+n2−2) is the pooled estimate of the common variance.
It is known that under H0, T1 has an exact t distribution with n1 + n2 − 2 degrees of freedom. A
more general situation arises when the two variances are unknown and unequal. This is known as the
‘‘Behrens–Fisher’’ problem [5,1]. In 1938, Welch suggested using
T2 =
Y¯1 − Y¯2 − μ0 
S2
1
n1
+
S2
2
n2
,
and proposed an approximate t test with the estimated number of degrees of freedom
d.f. =

(S2
1/n1)2
n1 − 1
+
(S2
2/n2)2
n2 − 1
−1 
S2
1
n1
+
S2
2
n2
2
.
It is of interest that the above Welch’s approximate t test has been proposed by other researchers in
different contexts [6,3,4].
In addition to the above situations, another interesting scenario arises when one variance is known
but the other one unknown. This situation occurs, for instance, when a new drug is compared to a
routinely used standard drug. Given the amount of historical data, the variance of the standard drug
can be treated as known, while for the new drug, the variance is assumed to be unknown because of
insufficient data. Additionally, it cannot be assumed that the two drugs have a common variance due
to possible formulation differences. This situation was first studied by Maity and Sherman [2] who
proposed a new test statistic for the comparison. Specifically, a method analogous to
Welch’s t test was used to establish an approximate t distribution for the null hypothesis (see more
detail in Section 2).
This note revisits Maity and Sherman’s two-sample testing problem with one variance known but
the other one unknown. In Section 2, we review Maity and Sherman’s testing method. Inspired by the
fact that the number of degrees of freedom used in their testing method is overestimated, we propose
in Section 3 a new testing method by introducing an unbiased estimator of the number of degrees of
freedom. We then conclude the note in Section 4 with a simulation study that verifies the superiority
of the proposed method.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เมื่อทั้งสอง σ21 และ σ22 เป็นที่รู้จักกัน สามารถใช้สถิติ z ต่อไปนี้:Z =ชื่อ Y1 −ชื่อ Y  2 − Μ0Σ21n1+Σ22n2.ภายใต้ H0, Z ตามการแจกแจงปกติมาตรฐาน และให้การทดสอบตรงมากอย่างไรก็ตาม ถ้าผลต่างของสองเท่า แต่ไม่รู้จัก หนึ่งสามารถใช้สถิติ pooled tT1 =Y¯1 − Y¯2 − Μ0 S2สระว่ายน้ำ1n1+ 1n2ที่ S2สระ = {(n1−1) S21 + S2 (n2−1)2 } /(n1+n2−2) เป็นการประเมิน pooled ของความแปรปรวนร่วมเป็นที่ทราบกันว่า ภายใต้ H0, T1 มีการกระจายแน่นอน t กับ n1 + n2 − 2 องศาของเสรีภาพ Aสถานการณ์ทั่วไปเกิดขึ้นเมื่อผลต่างของสองจะไม่รู้จัก และไม่เท่ากัน นี้เรียกว่าการ'' Behrens – Fisher'' ปัญหา [5,1] ในปี 1938 เวลช์แนะนำใช้T2 =Y¯1 − Y¯2 − Μ0 S21n1+S22n2,และเสนอการทดสอบ t ที่ใกลเคียงกับจำนวนองศาอิสระd.f. =(S21/n1) 2n1 − 1+(S22/n2) 2n2 − 1−1 S21n1+S22n22.มันเป็นที่น่าสนใจว่า ทดสอบ t โดยประมาณของเวลช์ข้างต้นได้รับการเสนอ โดยนักวิจัยอื่น ๆ ในบริบทแตกต่างกัน [6,3,4]นอกจากสถานการณ์ข้างต้น สถานการณ์อื่นที่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อหนึ่งต่างเป็นที่รู้จักกันแต่อื่นไม่รู้จักที่หนึ่ง สถานการณ์นี้เกิดขึ้น เช่น เมื่อยาใหม่ถูกเปรียบเทียบกับการเป็นประจำใช้ยามาตรฐาน กำหนดจำนวนของข้อมูลในอดีต ความแปรปรวนของยามาตรฐานสามารถถือว่าเป็นที่รู้จักกัน ในขณะที่สำหรับยาใหม่ ผลต่างจะถือว่าเป็นที่รู้จักเนื่องจากการข้อมูลไม่เพียงพอ นอกจากนี้ มันไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่า ยาทั้งสองมีผลต่างการทั่วไปเนื่องจากเพื่อสามารถกำหนดความแตกต่าง สถานการณ์นี้เป็นศึกษา โดย Maity และเชอร์แมน [2] ครั้งแรกที่นำเสนอสถิติทดสอบใหม่สำหรับการเปรียบเทียบ เฉพาะ คล้ายกับวิธีทดสอบ t ของเวลช์ถูกใช้เพื่อสร้างการกระจายประมาณ t สำหรับสมมติฐาน null (ดูเพิ่มเติมรายละเอียดในส่วนที่ 2)หมายเหตุนี้ช่าง Maity และของ Sherman สองตัวอย่างทดสอบปัญหาหนึ่งต่างรู้จัก แต่อื่น ๆ หนึ่งที่ไม่รู้จัก ในส่วนที่ 2 เราตรวจ Maity และวิธีการทดสอบของ Sherman แรงบันดาลใจความจริงที่ว่า จำนวนองศาความเป็นอิสระที่ใช้ในวิธีการทดสอบเป็นนการ เรานำเสนอในส่วนที่ 3 ใหม่วิธีการทดสอบ โดยการนำการประมาณกลางจำนวนขององศาของเสรีภาพ เราสรุปแล้วหมายเหตุในส่วนที่ 4 กับการศึกษาของจำลองที่สามารถตรวจสอบความของวิธีการนำเสนอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เมื่อทั้งสองσ2
ที่ 1 และσ2
2 เป็นที่รู้จักกันดังต่อไปนี้สถิติ Z สามารถนำมาใช้:
Z =
¯ Y1 - ¯ Y  2 - μ0
σ2
1
N1
+
σ2
2
N2
.
ภายใต้ H0, Z ต่อไปนี้การกระจายปกติมาตรฐานและที่ทำให้ . การทดสอบตรงไปตรงมามาก
แต่ถ้าทั้งสองแปรปรวนไม่เป็นที่รู้จัก แต่เท่ากับหนึ่งสามารถใช้รวบรวมสถิติ T
T1 =
Y1 - Y2 - μ0
S2
สระว่ายน้ำ

1
N1
+ 1
N2
,
ที่ S2
สระว่ายน้ำ = {( n1-1) S2
1 + (n2-1) S2
2} / (N1 + n2-2) เป็นประมาณการสำรองของความแปรปรวนที่พบบ่อย.
เป็นที่รู้จักกันว่าภายใต้ H0, T1 มีการจัดจำหน่ายเสื้อที่แน่นอนกับ N1 + N2 - 2 องศาอิสระ
สถานการณ์ทั่วไปมากขึ้นเกิดขึ้นเมื่อทั้งสองแปรปรวนไม่เป็นที่รู้จักและไม่เท่ากัน นี้เป็นที่รู้จักกัน
'' Behrens-ฟิชเชอร์ '' ปัญหา [5,1] ในปี 1938 เวลช์แนะนำให้ใช้
T2 =
Y1 - Y2 - μ0
S2
1
N1
+
S2
2
N2
,
และเสนอการทดสอบ T ตัวอย่างที่มีจำนวนประมาณองศาอิสระ
D.F. =

(S2
1 / N1) 2
N1 - 1
+
(S2
2 / N2) 2
N2 - 1
-1 
S2
1
N1
+
S2
2
N2
2
.
มันเป็นที่น่าสนใจว่าข้างต้นของเวลช์ทดสอบ T ตัวอย่างได้รับ ที่เสนอโดยนักวิจัยอื่น ๆ ใน
บริบทที่แตกต่าง [6,3,4].
นอกจากสถานการณ์ข้างต้นอีกสถานการณ์ที่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อหนึ่งความแปรปรวนเป็นที่รู้จักกัน
แต่อีกคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก สถานการณ์เช่นนี้เกิดขึ้นตัวอย่างเช่นเมื่อยาเสพติดใหม่จะถูกเมื่อเทียบกับ
ยามาตรฐานที่ใช้เป็นประจำ ได้รับปริมาณของข้อมูลทางประวัติศาสตร์ความแปรปรวนของยาเสพติดมาตรฐาน
สามารถจะถือว่าเป็นที่รู้จักกันในขณะที่สำหรับยาเสพติดใหม่แปรปรวนจะถือว่าไม่รู้จักเพราะ
ข้อมูลไม่เพียงพอ นอกจากนี้ก็ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่ายาทั้งสองมีความแปรปรวนร่วมกันเนื่องจาก
ความแตกต่างสูตรที่เป็นไปได้ สถานการณ์นี้ได้รับการศึกษาแรกโดย Maity และเชอร์แมน [2] ที่
เสนอสถิติทดสอบใหม่สำหรับการเปรียบเทียบ โดยเฉพาะวิธีการคล้ายคลึงกับ
ของเวลช์ทดสอบ T ถูกใช้ในการสร้างการกระจาย T ประมาณสำหรับสมมติฐาน (ดูรายละเอียดเพิ่มเติม
รายละเอียดในส่วนที่ 2).
บันทึกนี้เน้นหนักไป Maity และปัญหาการทดสอบสองตัวอย่างของเชอร์แมนกับหนึ่งความแปรปรวนที่รู้จักกัน แต่
คนอื่น ๆ ที่ไม่รู้จัก . ในส่วนที่ 2 เราจะตรวจสอบวิธีการทดสอบ Maity และเชอร์แมน แรงบันดาลใจจาก
ความเป็นจริงว่าจำนวนขององศาอิสระใช้ในวิธีการทดสอบของพวกเขาจะถูกเกินไปเราเสนอ
ในส่วนที่ 3 วิธีการทดสอบใหม่โดยการแนะนำเป็นกลาง estimator ของจำนวนองศาของ
เสรีภาพ แล้วเราสรุปได้บันทึกไว้ในมาตรา 4 ที่มีการศึกษาแบบจำลองที่สามารถตรวจสอบเหนือกว่า
ของวิธีการที่นำเสนอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เมื่อทั้งสองσ 21 σ 22 ทราบว่า ตามสถิติ z สามารถใช้ :Z =¯ y1 y −¯ 2 −μ 0σ 21N1+σ 222.ภายใต้ H0 Z ตามมาตรฐานปกติ และการทำแบบตรงไปตรงมาแต่ถ้าทั้งสองแบบจะไม่รู้จัก แต่เท่ากับ หนึ่งสามารถใช้ Pooled t สถิติT1 =Y Y ¯¯ 1 − 2 − 0 μS2สระ1N1+ 12 ,ที่ S2สระว่ายน้ำ = { ( N1 − 1 ) S21 + ( N2 − 1 ) S22 } / ( N1 + N2 − 2 ) รวมประมาณความแปรปรวนของทั่วไปมันเป็นที่รู้จักกันว่าภายใต้ H0 , T1 มีแน่นอนไม่กระจายกับ N1 + N2 − 2 องศาของอิสรภาพ เป็นสถานการณ์ทั่วไปที่เกิดขึ้นเมื่อทั้งสองแบบจะไม่รู้จัก และไม่เท่ากัน นี้เป็นที่รู้จักกันเป็น" "behrens – Fisher " " ปัญหา [ 5 , 1 ] ในปี 1938 เวลช์แนะนำใช้T2 =Y Y ¯¯ 1 − 2 − 0 μS21N1+S222,และเสนอประมาณทดสอบกับโดยประมาณจำนวนองศาของอิสรภาพd.f. =( S21 / 1 ) 21 − 1+( S22 / 2 ) 22 − 1− 1 S21N1+S222 2.มันน่าสนใจว่าข้างต้น เวลช์ เป็นประมาณทดสอบได้ถูกเสนอโดยนักวิจัยอื่น ๆในบริบทที่แตกต่างกัน [ 6,3,4 ]จากสถานการณ์ข้างต้น สถานการณ์อื่นที่น่าสนใจเกิดขึ้นเมื่อหนึ่งแปรปรวนเป็นที่รู้จักกันแต่อีกคนที่ไม่รู้จัก สถานการณ์นี้เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นเมื่อเทียบกับยาใหม่คือตรวจใช้ยามาตรฐาน ให้ปริมาณของข้อมูลทางประวัติศาสตร์ ความแปรปรวนของยามาตรฐานสามารถถือว่าเป็นที่รู้จักกันในขณะที่สำหรับยาใหม่ จะถือว่าเป็น ความที่ไม่รู้จัก เพราะข้อมูลไม่เพียงพอ นอกจากนี้ยังไม่สามารถสันนิษฐานว่ายาทั้งสองมีความแปรปรวนร่วมกันเนื่องจากความแตกต่างของการเป็นไปได้ สถานการณ์นี้เป็นครั้งแรกที่ใช้ไมตี้ [ 2 ] ใครและ เชอร์แมนเสนอสถิติใหม่สำหรับการเปรียบเทียบ โดยเฉพาะวิธีที่คล้ายคลึงกับเวลช์ t test ใช้เพื่อสร้างการกระจาย T โดยประมาณสำหรับสมมติฐานนัล ( ดูเพิ่มเติมรายละเอียดในส่วนที่ 2 )บันทึกนี้ revisits ไมตี้และ เชอร์แมน สองตัวอย่างทดสอบความรู้แต่ปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งอีกคนที่ไม่รู้จัก ในส่วนที่ 2 เราทบทวนและไมตี้ Sherman วิธีการทดสอบ . แรงบันดาลใจจากความจริงที่ว่าจำนวนองศาอิสระ ใช้วิธีการทดสอบของพวกเขาเกินไปแล้ว เราเสนอในส่วนที่ 3 การทดสอบวิธีการใหม่โดยอาศัยแบบกำลังสองของจำนวนองศาเสรีภาพ จากนั้นเราได้ทราบในส่วน 4 กับการจำลองที่พิสูจน์ความเหนือกว่าของวิธีการที่ได้นำเสนอ