Finding the largest planar subgraph

Finding the largest planar subgraph[edit]
Using incremental planarization for graph drawing is most effective when the first step of the process finds as large a planar graph as possible. Unfortunately, finding the planar subgraph with the maximum possible number of edges is NP-hard, and MaxSNP-hard, implying that there probably does not exist a polynomial time algorithm that solves the problem exactly or that approximates it arbitrarily well.[3]

In an n-vertex connected graph, the largest planar subgraph has at most 3n − 6 edges, and any spanning tree forms a planar subgraph with n − 1 edges. Thus, it is easy to approximate the maximum planar subgraph within an approximation ratio of one-third, simply by finding a spanning tree. A better approximation ratio, 9/4, is known, based on a method for finding a large partial 2-tree as a subgraph of the given graph.[1][3] Alternatively, if it is expected that the planar subgraph will include almost all of the edges of the given graph, leaving only a small number k of non-planar edges for the incremental planarization process, then one can solve the problem exactly by using a fixed-parameter tractable algorithm whose running time is linear in the graph size but non-polynomial in the parameter k.[4] The problem may also be solved exactly by a branch and cut algorithm, with no guarantees on running time, but with good performance in practice.[1][5]

There has also been some study of a related problem, finding the largest planar induced subgraph of a given graph. Again, this is NP-hard, but fixed-parameter tractable when all but a few vertices belong to the induced subgraph.[6] Edwards & Farr (2002) proved a tight bound of 3n/(Δ + 1) on the size of the largest planar induced subgraph, as a function of n, the number of vertices in the given graph, and Δ, its maximum degree; their proof leads to a polynomial time algorithm for finding an induced subgraph of this size.[7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หา subgraph ภาพถ่ายที่ใหญ่ที่สุด [แก้ไข]
การใช้ planarization ที่เพิ่มขึ้นสำหรับการวาดภาพกราฟที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเมื่อขั้นตอนแรกของกระบวนการที่มีขนาดใหญ่พบว่ากราฟระนาบที่เป็นไปได้ แต่น่าเสียดายที่การหา subgraph ภาพถ่ายที่มีจำนวนเป็นไปได้สูงสุดของขอบเป็น NP-หนักและ MaxSNP ยากหมายความว่าอาจไม่ได้อยู่ขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาที่แก้ปัญหาตรงหรือใกล้เคียงกับมันโดยพลกัน. [3] ใน รูป n เชื่อมต่อจุดสุดยอดกราฟ subgraph ภาพถ่ายที่ใหญ่ที่สุดมีมากที่สุด 3n - 6 ขอบและรูปแบบใด ๆ ซึ่งประกอบไปด้วยต้นไม้ subgraph ระนาบกับ n - 1 ขอบ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะใกล้เคียงกับระนาบ subgraph สูงสุดภายในอัตราส่วนประมาณหนึ่งในสามโดยเพียงแค่การหาต้นไม้ทอด อัตราส่วนประมาณดีกว่า 9/4 เป็นที่รู้จักกันโดยขึ้นอยู่กับวิธีการสำหรับการค้นหาที่มีขนาดใหญ่บางส่วน 2 ต้นเป็น subgraph ของกราฟที่กำหนดได้. [1] [3] หรือถ้ามันเป็นที่คาดว่า subgraph ระนาบจะรวมถึง เกือบทั้งหมดของขอบของกราฟที่กำหนดให้เหลือเพียงจำนวนน้อย k ขอบที่ไม่ได้ระนาบสำหรับกระบวนการ planarization ที่เพิ่มขึ้นแล้วหนึ่งสามารถแก้ปัญหาได้ตรงโดยใช้การแก้ไขพารามิเตอร์ขั้นตอนวิธีการซูฮกที่มีเวลาทำงานเป็นเส้นตรงในกราฟ ขนาด แต่ที่ไม่พหุนามในพารามิเตอร์ k. [4] ปัญหานอกจากนี้ยังอาจได้รับการแก้ไขตรงจากสาขาและขั้นตอนวิธีการตัดที่มีการค้ำประกันไม่เกี่ยวกับเวลาการทำงาน แต่มีผลงานที่ดีในการปฏิบัติ. [1] [5] นอกจากนี้ยังมี รับการศึกษาที่เกี่ยวข้องกับปัญหาบางอย่างหาภาพถ่ายที่ใหญ่ที่สุด subgraph เหนี่ยวนำของกราฟที่กำหนด อีกครั้งนี้เป็นรุ่น NP-ยาก แต่คงพารามิเตอร์เวไนยเมื่อทั้งหมด แต่จุดไม่กี่อยู่ใน subgraph ชักนำ. [6] เอ็ดเวิร์ดส์และฟาร์ (2002) ได้รับการพิสูจน์ผูกพันแน่นของ 3n / (Δ + 1) กับขนาดของ ภาพถ่ายที่ใหญ่ที่สุด subgraph เหนี่ยวนำให้เกิดเป็นฟังก์ชั่นของ n จำนวนของจุดในกราฟที่กำหนดและΔระดับสูงสุดของตน หลักฐานของพวกเขานำไปสู่ขั้นตอนวิธีเวลาพหุนามสำหรับการหา subgraph เหนี่ยวนำขนาดนี้. [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การค้นหาที่ใหญ่ที่สุดในระนาบ subgraph [ แก้ไข ]
ใช้ planarization เพิ่มขึ้นสำหรับวาดกราฟที่มีประสิทธิภาพที่สุดเมื่อขั้นตอนแรกของกระบวนการค้นหาขนาดใหญ่เป็นกราฟเชิงระนาบที่สุด แต่น่าเสียดายที่การหาวิธีที่เป็นไปได้สูงสุด subgraph กับจำนวนของขอบเป็น NP อย่างหนัก และ maxsnp อย่างหนักจะบอกว่ามันอาจจะไม่ได้อยู่ในเวลาพหุนามขั้นตอนวิธีที่แก้ปัญหาตรงหรือใกล้เคียงกับมันตามอำเภอใจด้วย [ 3 ]

ใน n-vertex กราฟที่เชื่อมต่อ , subgraph ระนาบที่ใหญ่ที่สุดมี 3N ที่สุด− 6 ขอบและมีต้นไม้ทอดข้ามรูปแบบระนาบ subgraph n − 1 ขอบ ดังนั้นมันง่ายที่จะประมาณ subgraph ระนาบสูงสุดภายในการประมาณอัตราส่วนของหนึ่งในสามโดยเพียงแค่การหาต้นไม้ทอดข้าม . อัตราส่วนประมาณกว่า 9 / 4 เป็นที่รู้จักตามวิธีการในการหา 2-tree บางส่วนใหญ่เป็น subgraph ของให้กราฟ [ 1 ] [ 2 ] หรือถ้าคาดว่าจะรวมถึงเกือบทุก subgraph ระนาบของขอบของให้กราฟเหลือเพียงจํานวนน้อย K นอกระนาบขอบสำหรับกระบวนการ planarization เพิ่มขึ้น , จากนั้นหนึ่งสามารถแก้ไขปัญหาตรง โดยใช้พารามิเตอร์คงที่ควบคุมได้ง่ายวิธีที่ใช้เวลาเป็นเชิงเส้นในกราฟขนาด แต่ไม่ใช่พหุนามในตัวแปร K . [ 4 ] ปัญหาอาจจะตรงตามสาขา และตัดด้วยวิธีแก้ ไม่รับประกันในงานเวลาแต่ด้วยผลงานที่ดีในการปฏิบัติ [ 1 ] [ 2 ]

นอกจากนี้มีการศึกษาบางส่วนของปัญหาที่เกี่ยวข้องในการหาวิธีให้ใหญ่ที่สุดนดิวซดสับกราฟของกราฟ อีกครั้งนี้เป็นปัญหายาก แต่แก้ไขพารามิเตอร์ที่ควบคุมได้ง่าย เมื่อ ทั้งหมด แต่ไม่กี่จุดเป็นของนดิวซดสับกราฟ [ 6 ] เอ็ดเวิร์ด&ฟาร์ ( 2002 ) พิสูจน์ไว้แน่น 3N / ( Δ 1 ) บนระนาบนดิวซดสับกราฟของขนาดใหญ่ ,เป็นฟังก์ชันของ n , จำนวนของจุดยอดในให้กราฟ Δ , ปริญญาสูงสุด ; หลักฐานของพวกเขาไปสู่เวลาพหุนามขั้นตอนวิธีสำหรับการหานดิวซดสับกราฟของขนาดนี้ [ 7 ]