General Power FunctionsDefining Gen

General Power Functions
Defining General Power Functions
In previous lectures, we discussed the properties and derivatives of positive power functions and negative
power functions. Today, we discuss power functions in general.
A power function is a function of the form
f(x) = x
a
,
where a is any real number. We understand intuitively what it means to raise x to the power of a natural
number n: we just multiply n copies of x together. We know what it means to raise x to the −n power:
just divide 1 by x
n. Now we are asked to raise x to the power of a, where a is any real number, but what
does, say, 3π mean? It does not make sense to multiply π copies of 3 together. We have been ignoring this
question since we defined exponential functions, but now we intend to give you an answer.
First, restrict x to the positive real numbers and consider the exponential function ex and the natural
logarithmic function ln x. There is a great relationship built into ex and ln x: if we compose these two
functions with each other in either order, the resulting function is x:
e
ln x = x and ln(ex
) = x.
This relationship is built into the definition of the natural logarithmic function: the quantity ln x is defined
to be the number such that e raised to the power of that number is x. Thus we get the first equation above
automatically. The second equation comes from asking the question: to what number must we raise e to get
e
x
? Obviously, the answer to this question is x, and thus the natural logarithm of ex
is x. We say the the
functions ex and ln x are inverse functions of each other: if we take x and first apply ex
, then ln x, or the
other way around, then the result is the same as if we did nothing to x at all. In a sense, ex and ln x cancel
each other out.
Still considering only positive real number x, consider the power function x
a
, where a is any real number.
We can use the fact that ex and ln x are inverses of each other to rewrite the power function x
a
:
x
a =
¡
e
ln x
¢a
= ea ln x
.
This last expression, ea ln x
is what we will use to define x
a
for positive real numbers x. That is, we define
the quantity x
a
for positive real numbers x and all real numbers a to be e raised to the power of the quantity
a times the natural logarithm of x. In this way, we know how to compute, say, 3π
, because we know what
it means to take the natural logarithm of 3, multiply it by π, and then raise e to the power of that number.
Thus, to the nearest thousandth, we have that
3
π = eπ ln 3 = e3.142·1.099 = e3.451 = 31.544.
You may be thinking at this point that we merely shifted the problem from understanding how to raise
x to the power of a to understanding how to raise e to some power. How do we know how to calculate ea
,
where a is any real number? There is an answer to this question, which is somewhat beyond the scope of
this course, but here it is anyway: there is another way to write ea
. Specifically, we can write ea as
e
a = 1 + a +
a
2
2
+
a
3
6
+
a
4
24
+ · · · +
a
n
n!
+ · · · .
We will not tell you why ea
is equal to this infinite sum, this series as mathematicians would say, but it is
true, and you can verify it using any calculator. Specifically, you can show that
e = e1 = 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+ · · · +
1
n!
+ · · · ,
and, in fact, this is where the mysterious number e comes from. You do need to know all of this for this
course, but it does justify why we know how to raise e to any power a: we can compute the infinite sum
above (or, at least, approximate it) and get the same number.
So, at this point, we know how to define x
a when x is a positive real number. What about when x equals
0? To define 0a
, we take the right limit of x
a as x approaches 0. There are three cases:
1
• If a > 0, then a ln x approaches negative infinity as x approaches 0 from the right. Therefore
lim
x→0+
x
a = lim
x→0+
e
a ln x = 0,
since ex has a left horizontal asymptote at y = 0. Thus we say that 0a = 0 when a > 0.
• If a = 0, then x
0
equals 1 for all positive values of x. Therefore the limit as x approaches 0 of x
0
is 1,
so we define 00 = 1.
• If a < 0, then a ln x approaches positive infinity as x approaches 0 from the right. Therefore
lim
x→0+
x
a = lim
x→0+
e
a ln x = +∞,
which means that the limit, for our purposes, is undefined. Therefore 0a
is undefined for a < 0.
So, to summarize:
0
a =



0 a > 0
1 a = 0
undefined a < 0
.
Now for the difficult part: how do we define x
a when x is a negative number? The answer depends very
strongly on the value of a, for reasons well beyond the scope of this class having to do with complex numbers.
We state the definitions of (−x)
a
for x > 0 in terms of x
a
, which we already know how to define, below:
• if a is an even integer, then (−x)
a = x
a
, so x
a
is an even function (as we already know).
• if a is an odd integer, then (−x)
a = −(x
a
), making x
a an odd function.
• if a is a rational number, and, when we write a as a reduced fraction, the denominator of a is even,
then (−x)
a
is undefined.
• if a is a rational number, and, when we write a as a reduced fraction, the denominator of a is odd,
then there are two possibilities:
– if the numerator of the reduced fraction is even, then (−x)
a = x
a
.
– if the numerator of the reduced fraction is odd, then (−x)
a = −(x
a
).
• if a is an irrational number, then x
a
is undefined.
So, for example:
• (−2)−4 = 2−4 =
1
16 .
• (−2)−3 = −(2−3
) = −
1
8
.
• to find (−2) 10
16 , we write 10
16 as a reduced fraction:
10
16
=
5
8
.
The denominator of 5
8
is even, so (−2) 10
16 is undefined.
• to find (−2) 8
18 , we write 8
18 as a reduced fraction:
8
18
=
4
9
.
The denominator of 4
9
is odd, and its numerator is even, so (−2) 8
18 =
³
2
8
18 ´
, whatever that number
might be.
2
• to find (−2)−4.6
, we write −4.6 as a reduced fraction:
−4.6 = −
46
10
= −
23
5
.
The denominator of −
23
5
is odd, and so is the numerator, so (−2)−4.6 = −(24.6
).
• (−2)π
is undefined, since π is an irrational number.
Now that we have fully defined the power functions, we will learn how to differentiate them.
Differentiating General Power Functions
Let f(x) = x
a
, where a is any real number. Then, where f(x) has a derivative, we have the formula:
df
dx
= axa−1
.
The difficulty here is not in the formula, with which we should be familiar by now. The question of interest
is: at what points is the derivative of a power function defined?
Suppose p is a value of x in the domain of x
a
, as determined in the previous section. If p 6= 0, then
automatically x
a has a derivative at p, and the formula above for the derivative applies. If p = 0, then the
situation is a bit more complicated:
• if a < 0, then x
a does not have a derivative at 0, since x
a
is not defined at 0.
• if a = 0, then x
a has a derivative at 0.
• if 0 < a < 1, then x
a does not have a derivative at 0.
• if a ≥ 1 and x
a
is defined for negative values of x, then x
a has a derivative at 0.
• if a ≥ 1 and x
a
is not defined for negative values of x, then x
a does not have a derivative at 0.
Let us do a few examples to make this all clear. Consider the function f(x) = x
π
. First, let us find the
formula for the derivative of f(x):
f
0
(x) = πxπ−1
.
Next, we determine the domain of f(x) and the points at which the derivative is defined. The number π
is positive, so f(x) is defined at x = 0, and it is irrational, so f(x) is not defined for negative numbers.
Therefore we know that f(x) has a derivative for all positive numbers, but not for 0.
Next, let us do a Chain Rule problem: let g(x) = (ex − 1)− 4
7 . We first find the formula for the derivative
at the points at which it exists:
g
0
(x) = −
4
7
(ex − 1)− 4
7 −1
· e
x = −
4
7
e
x
(ex − 1)− 4
7 − 7
7 = −
4
7
e
x
(ex − 1)− 11
7 .
Next we need to find the domain of g(x). First, we find the domain of the outside function, which is x
− 4
7 .
This function is defined automatically for all positive numbers; it is not defined for 0, since −
4
7
is negative;
and it is defined for negative values of x, since −
4
7
, which is already in reduced form, has an odd denominator.
Therefore g(x) is defined whenever the inside function, ex−1, is not equal to 0. In other words, the condition
is ex 6= 1, so x 6= 0. Thus the domain of g(x) is
Dom(g) = {x ∈ R : x 6= 0}.
Finally, we could find where this composition has a derivative, but that is very complicated, so we will leave
the question of differentiability alone.
For another example, take h(x) = √
1 + x
2, which can also be written as f(x) = (1 +x
2
)
1
2 . First, we find
a formula for its derivative:
f
0
(x) = 1
2
(1 + x
2
)
− 1
2 · 2x =
x
(1 + x
2)
1
2
=
x
√
1 + x
2
.
3
As for the domain of h(x), we note that √
x is only defined for x ≥ 0, but 1 + x
2
is always greater than or
equal to 1, so h(x) is defined everywhere. It also turns out that h(x) has a derivative everywhere, but this
is harder to show.
Finally, take k(x) = √6
cos x − 3, which we can also write as (cos x − 3) 1
6 . Sometimes it is better to find
the domain of a function first, and this is one of those occasions. The outside function, x
1
6 , is defined for
x ≥ 0, so in order for x to be in the domain of k(x), we must have that cos x − 3 ≥ 0. We can rewrite this
as cos x ≥ 3, which is impossible, because the maximum value of cos x is 1. Therefore k(x) is not defined
anywhere, and so it is not differentiable anywhere either. This example illustrates the idea that being able
to write down a formula does not automatically imply that that formula defines a function with a non-empty
domain.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันพลังงานทั่วไปกำหนดฟังก์ชันพลังงานทั่วไปในบรรยายก่อนหน้านี้ เรากล่าวถึงคุณสมบัติและอนุพันธ์ ของฟังก์ชันพลังงานบวก และลบอำนาจหน้าที่ วันนี้ เราหารือเกี่ยวกับอำนาจหน้าที่โดยทั่วไปยกกำลังคือ ฟังก์ชันของแบบฟอร์มf(x) = xมี,ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราเข้าใจหมดความหมาย ยก x พลังงานของธรรมชาติn:หมายเลขที่เราคูณ n เพียงคัดลอกของ x กัน เรารู้ความหมาย ของการยกกำลัง −n x:เพียงแบ่ง 1 โดย xn. ตอนนี้ เราขอยก x อำนาจได้ สถานเป็นจำนวนจริงใด ๆ แต่สิ่งที่ไม่ บอก 3π หมายถึง มันไม่ควรสำเนา 3 πคูณกัน เรามีการละเว้นนี้คำถามเนื่องจากเรากำหนดฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชีย แต่ตอนนี้ เราตั้งใจที่จะให้คำตอบครั้งแรก จำกัด x จริงบวกเลข และพิจารณาฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียอดีตและธรรมชาติฟังก์ชันลอการิทึม ln x มีความสัมพันธ์ที่ดีสร้างขึ้นในอดีต และ ln x:ถ้าเราเขียนเหล่านี้สองฟังก์ชันกันในใบสั่ง ฟังก์ชันผลลัพธ์เป็น x:อีln x = x และ ln (อดีต) = x.ความสัมพันธ์นี้อยู่ในคำนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ: ln ปริมาณกำหนด xให้ จำนวนที่ยกกำลังของจำนวนที่เป็น x ดังนั้น เราได้สมการแรกข้างต้นโดยอัตโนมัติ สมการที่สองมาจากการถามคำถาม: หมายเลขใดต้องเรายกอีจะได้รับอีx? อย่างชัดเจน ตอบคำถามนี้คือ x และลอการิทึมของอดีตเป็น x เราว่า การฟังก์ชัน ex และ ln x เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน: ถ้าเราใช้ x และครั้งแรกที่ใช้อดีตแล้ว ln x หรือวิธีอื่น ๆ แล้วผลอยู่เหมือนกันว่าเราทำอะไรกับ x ทั้งหมด ในความรู้สึก อดีตและ ln x ยกเลิกกันออกยังพิจารณา x หมายเลขจริงบวกเท่านั้น พิจารณายกกำลัง xมีที่เป็นจำนวนจริงใด ๆเราสามารถใช้ข้อเท็จจริงว่าอดีตและ ln x เป็น inverses กันเพื่อเขียนยกกำลัง xมี:x=เป็น¡อีln xเลข= ea ln x.นี้สุดท้ายนิพจน์ ea ln xคือเราจะใช้เพื่อกำหนด xมีสำหรับจำนวนจริงบวก x กล่าวคือ เรากำหนดปริมาณ xมีสำหรับจำนวนจริงบวก x และจำนวนจริงทั้งหมดที่จะ ยกอำนาจของปริมาณอีครั้งลอการิทึมของ x ด้วยวิธีนี้ เรารู้วิธีการคำนวณ กล่าวว่า 3πเนื่องจากเราทราบว่ามันหมาย ถึงลอการิทึมธรรมชาติ 3 คูณ ด้วยπ และเพิ่มอีอำนาจเลขที่แล้วดังนั้น เพื่อ thousandth ที่ใกล้ที่สุด เราได้ที่3Π = eπ ln 3 = e3.142·1.099 = e3.451 = 31.544คุณอาจจะคิดถึงจุดนี้ว่า เราแค่เปลี่ยนปัญหาเข้าใจวิธีการเลี้ยงx อำนาจที่จะทำความเข้าใจเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มอีอำนาจบางอย่าง เรารู้วิธีการคำนวณเอได้อย่างไร,ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ มีคำตอบคำถามนี้ ซึ่งค่อนข้างเกินขอบเขตของนี้หลักสูตร แต่นี่มันเป็นอย่างไรก็ตาม: มีอีกวิธีหนึ่งในการเขียน ea. โดยเฉพาะ เราสามารถเขียนเป็น eaอีตัว = 1 + กับ +มี22+มี36+มี424+ · · · +มีnn+ · · · .เราจะไม่บอกคุณทำไม eaมีค่าเท่ากับผลบวกนี้อนันต์ ชุดนี้เป็น mathematicians พูด แต่ก็จริง และคุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้เครื่องคิดเลขใด ๆ โดยเฉพาะ คุณสามารถดูได้ที่e = e1 = 1 + 1 +12+16+124+ · · · +1n+ · · · ,และ ในความเป็นจริง ซึ่งอีหมายเลขลึกลับมา คุณต้องรู้ทั้งหมดนี้นี้การจัดชิดขอบหลักสูตร แต่ทำไมเรารู้วิธีการเพิ่ม e กับ a:พลังงานใดๆ เราสามารถคำนวณผลอนันต์ข้างต้น (หรือ น้อย ประมาณนั้น) และได้รับหมายเลขเดียวกันดังนั้น ณจุดนี้ เรารู้วิธีการกำหนด xเมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก เมื่อ x เท่ากับอะไร0 เพื่อกำหนด 0aเราใช้จำนวน x ขวาให้เป็น x แนวทาง 0 มีกรณีที่สาม:1•ถ้า > 0, ln x ว่ายวิธีลบเป็น x วิธี 0 จากด้านขวา ดังนั้นlimx→0 +xตัว = limx→0 +อีln เป็น x = 0ตั้งแต่อดีตมี asymptote แนวนอนซ้ายที่ y = 0 ดังนั้น เราพูดว่า 0a = 0 เมื่อ > 0•ถ้ามี = 0 แล้ว x0เท่ากับ 1 สำหรับค่าบวกทั้งหมดของ x ดังนั้น วงเงินเป็น x ใกล้ 0 x0คือ 1ดังนั้น เราสามารถกำหนด 00 = 1•ถ้า < 0, ln x อนันต์วิธีบวกเป็น x วิธี 0 จากด้านขวา ดังนั้นlimx→0 +xตัว = limx→0 +อีln x = + ∞ซึ่งหมายความว่า ขีดจำกัด สำหรับเรา ว่าไม่ได้กำหนด ดังนั้น 0aไม่ได้กำหนดสำหรับ < 0ดังนั้น สรุป:0=เป็น0 ได้ > 01 ตัว = 0undefined a < 0.Now for the difficult part: how do we define xa when x is a negative number? The answer depends verystrongly on the value of a, for reasons well beyond the scope of this class having to do with complex numbers.We state the definitions of (−x)afor x > 0 in terms of xa, which we already know how to define, below:• if a is an even integer, then (−x)a = xa, so xais an even function (as we already know).• if a is an odd integer, then (−x)a = −(xa), making xa an odd function.• if a is a rational number, and, when we write a as a reduced fraction, the denominator of a is even,then (−x)ais undefined.• if a is a rational number, and, when we write a as a reduced fraction, the denominator of a is odd,then there are two possibilities:– if the numerator of the reduced fraction is even, then (−x)a = xa.– if the numerator of the reduced fraction is odd, then (−x)a = −(xa).• if a is an irrational number, then xais undefined.So, for example:• (−2)−4 = 2−4 =116 .• (−2)−3 = −(2−3) = −18.• to find (−2) 1016 , we write 1016 as a reduced fraction:1016=58.The denominator of 58is even, so (−2) 1016 is undefined.• to find (−2) 818 , we write 818 as a reduced fraction:818=49.The denominator of 49is odd, and its numerator is even, so (−2) 818 =³2818 ´, whatever that numbermight be.2• to find (−2)−4.6, we write −4.6 as a reduced fraction:−4.6 = −4610= −235.The denominator of −235is odd, and so is the numerator, so (−2)−4.6 = −(24.6).• (−2)πis undefined, since π is an irrational number.Now that we have fully defined the power functions, we will learn how to differentiate them.Differentiating General Power FunctionsLet f(x) = xa, where a is any real number. Then, where f(x) has a derivative, we have the formula:dfdx= axa−1.The difficulty here is not in the formula, with which we should be familiar by now. The question of interestis: at what points is the derivative of a power function defined?Suppose p is a value of x in the domain of xa, as determined in the previous section. If p 6= 0, thenautomatically xa has a derivative at p, and the formula above for the derivative applies. If p = 0, then thesituation is a bit more complicated:• if a < 0, then xa does not have a derivative at 0, since xais not defined at 0.• if a = 0, then xa has a derivative at 0.• if 0 < a < 1, then xa does not have a derivative at 0.• if a ≥ 1 and xais defined for negative values of x, then xa has a derivative at 0.• if a ≥ 1 and xais not defined for negative values of x, then xa does not have a derivative at 0.Let us do a few examples to make this all clear. Consider the function f(x) = xπ. First, let us find theformula for the derivative of f(x):f0(x) = πxπ−1.Next, we determine the domain of f(x) and the points at which the derivative is defined. The number πis positive, so f(x) is defined at x = 0, and it is irrational, so f(x) is not defined for negative numbers.Therefore we know that f(x) has a derivative for all positive numbers, but not for 0.Next, let us do a Chain Rule problem: let g(x) = (ex − 1)− 47 . We first find the formula for the derivativeat the points at which it exists:g0(x) = −47(ex − 1)− 47 −1· ex = −47ex(ex − 1)− 47 − 77 = −47ex(ex − 1)− 117 .Next we need to find the domain of g(x). First, we find the domain of the outside function, which is x− 47 .This function is defined automatically for all positive numbers; it is not defined for 0, since −47is negative;and it is defined for negative values of x, since −47, which is already in reduced form, has an odd denominator.Therefore g(x) is defined whenever the inside function, ex−1, is not equal to 0. In other words, the conditionis ex 6= 1, so x 6= 0. Thus the domain of g(x) isDom(g) = {x ∈ R : x 6= 0}.Finally, we could find where this composition has a derivative, but that is very complicated, so we will leavethe question of differentiability alone.For another example, take h(x) = √1 + x2, which can also be written as f(x) = (1 +x2)12 . First, we finda formula for its derivative:f0(x) = 12(1 + x2)− 12 · 2x =x(1 + x2)12=x√1 + x2
.
3
As for the domain of h(x), we note that √
x is only defined for x ≥ 0, but 1 + x
2
is always greater than or
equal to 1, so h(x) is defined everywhere. It also turns out that h(x) has a derivative everywhere, but this
is harder to show.
Finally, take k(x) = √6
cos x − 3, which we can also write as (cos x − 3) 1
6 . Sometimes it is better to find
the domain of a function first, and this is one of those occasions. The outside function, x
1
6 , is defined for
x ≥ 0, so in order for x to be in the domain of k(x), we must have that cos x − 3 ≥ 0. We can rewrite this
as cos x ≥ 3, which is impossible, because the maximum value of cos x is 1. Therefore k(x) is not defined
anywhere, and so it is not differentiable anywhere either. This example illustrates the idea that being able
to write down a formula does not automatically imply that that formula defines a function with a non-empty
domain.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่นพาวเวอร์ทั่วไปกำหนดฟังก์ชั่นพาวเวอร์ทั่วไปในการบรรยายก่อนหน้านี้เราได้พูดถึงคุณสมบัติและอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นการใช้พลังงานในเชิงบวกและเชิงลบฟังก์ชั่นการใช้พลังงาน วันนี้เราจะหารืออำนาจหน้าที่โดยทั่วไป. ฟังก์ชั่นการใช้พลังงานเป็นฟังก์ชั่นของรูปแบบf (x) = x, ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่ามันหมายถึง x เพื่อเพิ่มพลังของธรรมชาติจำนวนn: เราก็คูณ n สำเนาของ x ด้วยกัน เรารู้ว่ามันหมายถึง x เพื่อเพิ่มอำนาจ -n: เพียง 1 โดยแบ่ง x n ตอนนี้เราจะขอให้เพิ่ม x เพื่อพลังของซึ่งเป็นจำนวนจริงใด ๆ แต่สิ่งที่ไม่พูด3πหมายความว่าอย่างไร มันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะคูณสำเนาπ 3 ร่วมกัน เราได้รับการละเว้นการนี้คำถามตั้งแต่ที่เรากำหนดฟังก์ชั่นการชี้แจง แต่ตอนนี้เราตั้งใจที่จะให้คำตอบ. ครั้งแรก x เพื่อ จำกัด จำนวนจริงบวกและพิจารณาอดีตฟังก์ชั่นการชี้แจงและธรรมชาติฟังก์ชั่นลอการิทึมLN x มีความสัมพันธ์ที่ดีที่สร้างขึ้นในเป็นอดีตและ LN x: ถ้าเราเขียนทั้งสองฟังก์ชั่นกับแต่ละอื่นๆ เพื่อที่ทั้งสองฟังก์ชั่นที่เกิดขึ้นคือ x: อีLN x = x และ LN (อดีต) = x. ความสัมพันธ์นี้จะถูกสร้างขึ้นใน ความหมายของฟังก์ชั่นลอการิทึมธรรมชาติปริมาณ LN x ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนดังกล่าวที่จยกกำลังตัวเลขที่เป็นx ดังนั้นเราจึงได้รับสมการข้างต้นเป็นครั้งแรกโดยอัตโนมัติ สมการที่สองมาจากการถามคำถาม: สิ่งที่เราจะต้องมีจำนวนเพิ่มอีที่จะได้รับe-x? เห็นได้ชัดว่าคำตอบของคำถามนี้ก็คือ x และทำให้ลอการิทึมธรรมชาติของอดีตคือx เราพูดที่ฟังก์ชั่นอดีตและ LN x เป็นฟังก์ชันผกผันของแต่ละอื่น ๆ : ถ้าเราใช้เวลา x และเป็นครั้งแรกใช้อดีตแล้วLN x หรือวิธีอื่นๆ แล้วผลเป็นเช่นเดียวกับถ้าเราไม่ได้ทำอะไรเพื่อ x เลย . ในความรู้สึกอดีตและ LN x ยกเลิกแต่ละออกอื่นๆ . ยังพิจารณาจำนวนจริงบวก x พิจารณาฟังก์ชั่นการใช้พลังงาน x ซึ่งเป็นจำนวนจริงใด ๆ . เราสามารถใช้ความจริงที่ว่าอดีตและ LN x เป็นแปรผกผันกันของแต่ละอื่น ๆ การเขียนฟังก์ชั่นการใช้พลังงานx: x A = ¡จLN x ¢ = เอ LN x. นี้การแสดงออกที่ผ่านมาเอ LN x คือสิ่งที่เราจะใช้ในการกำหนด x สำหรับตัวเลขจริงบวก x นั่นคือเรากำหนดปริมาณ x สำหรับตัวเลขจริงบวก x และตัวเลขจริงทั้งหมดที่จะเป็นที่ e ยกกำลังของปริมาณครั้งลอการิทึมธรรมชาติของx ด้วยวิธีนี้เรารู้วิธีการคำนวณการพูด, 3πเพราะเรารู้ว่าสิ่งที่มันหมายถึงการใช้ลอการิทึมธรรมชาติของ3 คูณด้วยπแล้วยกกำลัง e หมายเลขที่. ดังนั้นเพื่อให้พันที่ใกล้ที่สุด เรามีที่3 π = eπ LN 3 = e3.142 · = 1.099 e3.451 = 31.544. คุณอาจจะคิดที่จุดนี้ที่เราขยับตัวเพียงปัญหาที่เกิดขึ้นจากความเข้าใจวิธีการที่จะยกระดับx เพื่ออำนาจในการที่จะทำความเข้าใจว่า ที่จะยกกำลัง e บาง เราจะรู้ว่าวิธีการคำนวณเอ, ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ มีคำตอบสำหรับคำถามนี้ซึ่งค่อนข้างเกินขอบเขตของที่หลักสูตรนี้ แต่ที่นี่มันเป็นอยู่แล้ว: มีวิธีการเขียนเออีก โดยเฉพาะเราสามารถเขียนเอเป็นจA = 1 + A + 2 2 + 3 6 + 4 24 + ··· + n n! + ···. เราจะไม่บอกคุณว่าทำไมเอเท่ากับนี้ผลรวมอนันต์ชุดนี้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่จะพูด แต่มันก็เป็นความจริงและคุณสามารถตรวจสอบได้โดยใช้เครื่องคิดเลขใดๆ โดยเฉพาะคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าอี e1 = = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ··· + 1 n! + ···, และในความเป็นจริงนี้เป็นที่ที่อีหมายเลขลึกลับมาจาก คุณไม่จำเป็นต้องรู้ทั้งหมดนี้นี้แน่นอน แต่มันไม่แสดงให้เห็นถึงเหตุผลที่เรารู้วิธีที่จะยกกำลัง e ใด ๆ ที่เราสามารถคำนวณผลรวมที่ไม่มีขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้น (หรืออย่างน้อยก็ใกล้เคียง) และได้รับหมายเลขเดียวกันดังนั้น ณ จุดนี้เรารู้วิธีการกำหนด x เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก สิ่งที่เกี่ยวกับเมื่อ x เท่ากับ0? เพื่อกำหนด 0a เราใช้ขีด จำกัด ทางด้านขวาของ x เป็น x เข้าใกล้ 0 มีสามกรณีคือ1 •หาก> 0 แล้ว LN x เข้าใกล้อินฟินิตี้เชิงลบ x เข้าใกล้ 0 จากทางด้านขวา ดังนั้นลิ้มx → 0 + x A = ลิ้มx → 0 + อีLN x = 0 ตั้งแต่อดีตมีสิ้นสุดซ้ายในแนวนอนที่ Y = 0 ดังนั้นเราบอกว่า 0a = 0 เมื่อ> 0 •หาก = 0 แล้ว x 0 เท่ากับ 1 สำหรับค่าบวกทั้งหมดของ x ดังนั้นการ จำกัด เป็น x เข้าใกล้ 0 ของ x 0 เป็น 1 ดังนั้นเราจึงกำหนด 00 = 1 •หาก <0 แล้ว x LN แนวทางอินฟินิตี้เป็นบวก x เข้าใกล้ 0 จากทางด้านขวา ดังนั้นลิ้มx → 0 + x A = ลิ้มx → 0 + อีLN x = + ∞, ซึ่งหมายความว่าขีด จำกัด สำหรับวัตถุประสงค์ของเราจะไม่ได้กำหนด ดังนั้น 0a จะไม่ได้กำหนดให้ <0 ดังนั้นเพื่อสรุป: 0 A =  0> 0 1 = 0 ไม่ได้กำหนดจัดให้ <0. ตอนนี้สำหรับส่วนที่ยาก: วิธีที่เราจะกำหนด x เมื่อ x คือ จำนวนลบ? คำตอบขึ้นอยู่มากอย่างยิ่งกับค่าของที่สำหรับเหตุผลที่ดีเกินขอบเขตของชั้นนี้ต้องทำอย่างไรกับตัวเลขที่ซับซ้อน. เราระบุคำจำกัดความของ (-x) สำหรับ x> 0 ในแง่ของ x ซึ่งเรามีอยู่แล้ว รู้วิธีการกำหนดดังต่อไปนี้•ถ้าเป็นจำนวนเต็มคู่แล้ว(-x) A = x ดังนั้นx. เป็นฟังก์ชั่น (ที่เรารู้อยู่แล้วว่า) •ถ้าเป็นเลขคี่แล้ว (- x) A = - (x) ทำให้ x หนึ่งฟังก์ชั่นที่แปลก. •ถ้าเป็นจำนวนจริงและเมื่อเราเขียนเป็นส่วนที่ลดลงของส่วนคือแม้ที่แล้ว (-x) คือ . ไม่ได้กำหนด•ถ้าเป็นจำนวนจริงและเมื่อเราเขียนเป็นส่วนที่ลดลงส่วนของแปลกที่แล้วมีสองเป็นไปได้: - ถ้าเศษของส่วนที่ลดลงจะยิ่งแล้ว (-x) A = x. - ถ้าเศษของส่วนที่ลดลงเป็นคี่แล้ว (-x) A = - (x.) •ถ้าเป็นจำนวนอตรรกยะแล้ว x จะไม่ได้กำหนด. ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่น: • ( -2) -4 = 2-4 = 1 16. • (-2) -3 = - (2-3) = - 1 8. •ในการค้นหา (-2) 10 16 10 เราเขียน16 เป็นส่วนที่ลดลง : 10 16 = 5 8. ส่วนของ 5 8 คือแม้ดังนั้น (-2) 10 16 ไม่ได้กำหนด. •ในการค้นหา (-2) 8 18 เราเขียน 8 18 เป็นส่วนที่ลดลง: 8 18 = 4 9 ส่วนของ 4 9 เป็นเลขคี่และเศษของมันคือแม้ดังนั้น (-2) 8 18 = ³ 2 8 18 'สิ่งที่ตัวเลขที่อาจจะ. 2 •ในการค้นหา (-2) -4.6, -4.6 เราเขียนเป็น ส่วนที่ลดลง: -4.6 = - 46 10 = - 23 5. ส่วนของ - 23 5 เป็นเลขคี่และเพื่อให้เป็นเศษดังนั้น (-2) = -4.6 - (24.6.) • (-2) πคือไม่ได้กำหนดตั้งแต่πเป็นจำนวนอตรรกยะ. ตอนนี้ที่เราได้กำหนดไว้อย่างเต็มที่อำนาจหน้าที่ที่เราจะได้เรียนรู้วิธีการที่จะแยกความแตกต่างของพวกเขา. แตกต่างฟังก์ชั่นพาวเวอร์ทั่วไปให้ f (x) = x ซึ่งเป็นจำนวนจริงใด ๆ จากนั้นที่ f (x) มีอนุพันธ์เรามีสูตร: DF DX = axA-1 ฟ. ความยากลำบากที่นี่ไม่ได้อยู่ในสูตรที่เราควรจะคุ้นเคยโดยขณะนี้ คำถามที่น่าสนใจคือ: สิ่งที่ชี้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นการใช้พลังงานที่กำหนดไว้สมมติว่าพีเป็นค่าของx ในโดเมนของการ x ที่ตามที่กำหนดในส่วนก่อนหน้า ถ้าพี 6 = 0 แล้วโดยอัตโนมัติx มีอนุพันธ์ที่พีและสูตรข้างต้นสำหรับการใช้ตราสารอนุพันธ์ ถ้า p = 0 แล้วสถานการณ์เป็นบิตซับซ้อนมากขึ้น: •ถ้า <0 แล้ว x ไม่ได้มีอนุพันธ์ที่ 0 ตั้งแต่ x ไม่ได้กำหนดที่ 0 •ถ้า = 0 แล้ว x มี อนุพันธ์ที่ 0. •ถ้า 0 <a <1 แล้ว x ไม่ได้มีอนุพันธ์ที่ 0 •ถ้า≥ 1 และ x มีการกำหนดค่าเชิงลบของ x แล้ว x มีอนุพันธ์ที่ 0 • ถ้า≥ 1 และ x ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับค่าลบ x, x แล้วไม่ได้มีอนุพันธ์ที่0 ให้เราทำตัวอย่างให้ชัดเจนทั้งหมดนี้ พิจารณาฟังก์ชัน f (x) = x π แรกให้เราหาสูตรอนุพันธ์ของ f (x): ฉ0 (x) = πxπ-1. ต่อไปเราตรวจสอบโดเมนของ f (x) และจุดที่อนุพันธ์มีการกำหนด πตัวเลขเป็นบวกดังนั้น f (x) จะถูกกำหนดไว้ที่ x = 0 และมันเป็นสิ่งที่ไม่มีเหตุผลดังนั้น f (x) ไม่ได้กำหนดไว้เป็นที่สำหรับจำนวนลบ. ดังนั้นเราจึงรู้ว่า f (x) มีตราสารอนุพันธ์จำนวนบวกทั้งหมด แต่ไม่ใช่สำหรับ 0. ถัดไปให้เราทำโซ่ปัญหากฎ: ให้ g (x) = (อดีต - 1) - 4 7 ครั้งแรกที่เราพบสูตรสำหรับอนุพันธ์ที่จุดที่มันมีอยู่: กรัม0 (x) = - 4 7 (อดีต - 1) - 4 7 -1 ·อีx = - 4 7 จx (อดีต - 1) - 4 7 - 7 7 = - 4 7 จx (อดีต - 1) - 11 7. ต่อไปเราต้องไปหาโดเมนของกรัม (x) ครั้งแรกที่เราพบว่าโดเมนของฟังก์ชั่นด้านนอกซึ่งเป็น x - 4 7. ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดโดยอัตโนมัติสำหรับตัวเลขบวกทั้งหมด; มันไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับ 0 ตั้งแต่ - 4 7 เป็นลบและจะมีการกำหนดไว้สำหรับค่าลบ x, ตั้งแต่ - 4 7. ที่มีอยู่แล้วในรูปแบบที่ลดลงมีส่วนแปลกดังนั้นg (x) ถูกกำหนดให้ทุกครั้งที่ ฟังก์ชั่นภายในอดีต 1 ไม่เท่ากับ 0 ในคำอื่น ๆ สภาพเป็นอดีต6 = 1 ดังนั้น x 6 = 0 ดังนั้นโดเมนของกรัม (x) เป็นพระ(g) = {x ∈ R: x 6 = 0}. สุดท้ายเราสามารถหาที่องค์ประกอบนี้มีอนุพันธ์ แต่ที่มีความซับซ้อนมากดังนั้นเราจะออกจากคำถามของdifferentiability เพียงอย่างเดียว. สำหรับอีกตัวอย่างหนึ่งใช้ h (x) = √ 1 + x 2 ซึ่งยังสามารถเขียนเป็น f (x) = (1 + x 2) 1 2 ครั้งแรกที่เราพบสูตรอนุพันธ์ที่: ฉ0 (x) = 1 2 (1 + x 2) - 1 2 · 2x = x (1 + x 2) 1 2 = x √ 1 + x 2. 3 ในฐานะที่เป็น โดเมนของ h (x) เราทราบว่า√ x ถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับ x ≥ 0 แต่ 1 + x 2 เสมอมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ดังนั้น h (x) ถูกกำหนดให้ทุก นอกจากนี้ยังปรากฎว่า h (x) มีอนุพันธ์ได้ทุกที่ แต่นี้เป็นเรื่องยากที่จะแสดง. สุดท้ายจะ k (x) = √6 cos x - 3 ซึ่งเรายังสามารถเขียนเป็น (cos x - 3) 1 6 . บางครั้งมันจะดีกว่าที่จะหาโดเมนของฟังก์ชั่นครั้งแรกและนี่คือหนึ่งในโอกาสเหล่านั้น ฟังก์ชั่นนอก x 1 6 จะถูกกำหนดไว้สำหรับx ≥ 0 ดังนั้นในการสั่งซื้อสำหรับ x ที่จะอยู่ในโดเมนของ k (x) เราจะต้องมีที่ cos x - 3 ≥ 0 เราสามารถเขียนนี้เป็นcos x ≥ 3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะค่าสูงสุดของ cos x คือ 1 ดังนั้น k (x) ไม่ได้กำหนดไว้ทุกที่และดังนั้นจึงไม่อนุพันธ์ได้ทุกที่อย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงความคิดที่ว่าความสามารถที่จะเขียนลงสูตรไม่ได้โดยอัตโนมัติหมายความว่าสูตรที่กำหนดฟังก์ชั่นที่มีไม่ว่างเปล่าโดเมน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทั่วไปพลังงานฟังก์ชันนิยามฟังก์ชันพลังงานทั่วไป

การบรรยายในก่อนหน้านี้ เราได้กล่าวถึงคุณสมบัติและอนุพันธ์ของฟังก์ชันและฟังก์ชันพลังบวก พลังลบ

วันนี้ , เราจะหารือฟังก์ชันพลังงานในทั่วไป .
พลังฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันของแบบฟอร์ม
f ( x ) = x
A

ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ . เราเข้าใจอย่างสังหรณ์ใจว่ามันหมายถึงยก X พลังของธรรมชาติ
จำนวน n :เราแค่คูณ n สำเนา x กัน เราไม่รู้ว่ามันหมายความว่าอะไรเพิ่ม x กับ− n พลังงาน :
x
แบ่ง 1 . ตอนนี้เรากำลังขอให้เพิ่ม X พลังของที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ แต่สิ่งที่
ไม่พูด 3 πหมายถึง ? มันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะคูณπเล่ม 3 ด้วยกัน เราต้องไม่สนใจคำถามนี้
เนื่องจากเรากำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล แต่ตอนนี้เราตั้งใจจะให้คำตอบคุณได้
แรก , จำกัด X บวกตัวเลขจริงและพิจารณาฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชัน เก่าธรรมชาติ
ln X . มีความสัมพันธ์ที่ดีขึ้น และเป็นอดีตที่ X : ถ้าเราเขียนสอง
ฟังก์ชันกับแต่ละอื่น ๆในการสั่งซื้อ ซึ่งฟังก์ชัน x :
E
ln x = x และใน ( (
) = x
ความสัมพันธ์นี้สร้างขึ้นในนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ :ปริมาณที่กำหนด
x เป็นเลขที่ E ยกอำนาจของหมายเลขนั้นคือ x เราจึงได้รับแรกสมการข้างบน
โดยอัตโนมัติ สมการที่สองมาจากการถามคำถาม : เบอร์อะไรเราต้องเพิ่ม E
E
x
ได้ ? เห็นได้ชัดว่าคำตอบสำหรับคำถามนี้คือ X และลอการิทึมธรรมชาติของอดีต

เราพูดคือ Xฟังก์ชันและอดีตที่ X เป็นฟังก์ชันผกผันของแต่ละอื่น ๆ : ถ้าเราใช้ X และแรกใช้อดีต

แล้วถ้า x หรือวิธีอื่น ๆ แล้ว ผลที่ได้คือเหมือนกับถ้าเราไม่ไป x เลย ในความรู้สึก และอดีตที่ X ยกเลิก
กัน .
ยังพิจารณาเพียงจำนวนจริงบวก x , พิจารณาฟังก์ชันพลังงาน x
A
ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ .
เราสามารถใช้ความจริงที่ว่าอดีตและ ln x เป็นตรงกันข้ามของแต่ละอื่น ๆที่จะเขียนฟังก์ชันพลังงาน x
A
:
x
=
¡
e
x

= ใน¢เป็น EA ln x
.
เมื่อการแสดงออกของ EA ใน x
คือสิ่งที่เราจะใช้เพื่อกำหนด x
a
บวกจำนวนจริง x ที่เรานิยาม
x

สำหรับปริมาณเป็นบวกจำนวนจริง x และตัวเลขจริงที่จะ E ยกอำนาจของปริมาณ
ครั้งลอการิทึมธรรมชาติของ Xวิธีนี้เรารู้วิธีการคำนวณว่า 3 π

เพราะเรารู้ว่ามันหมายถึงจะใช้ค่าลอการิทึมธรรมชาติของ 3 คูณด้วยπและจากนั้นเพิ่ม e ยกกำลังเลขที่ .
ดังนั้นการพันที่ใกล้ที่สุด เราว่า
3
π = E πที่ 3 = = = e3.142 ด้วย 1.099 e3.451 31.544 .
คุณอาจจะคิดในประเด็นนี้ว่า เราแค่เปลี่ยนปัญหาจากความเข้าใจวิธีการเลี้ยงดู
x ยกกำลังเพื่อความเข้าใจวิธีการเลี้ยงดูและให้พลังงาน แล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่าวิธีการคำนวณเอ

ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ ? มีคำตอบให้กับคำถามนี้ ซึ่งค่อนข้างนอกเหนือขอบเขตของ
หลักสูตรนี้ แต่ที่นี่มันเป็นยังไง : มีอีกวิธีที่จะเขียน ea

โดยเฉพาะ เราสามารถเขียน ea เป็น
e
= 1
a
2
2


3
6


4
24
· · ·
A
n
n !

· · · .เราไม่ได้จะบอกคุณว่าทำไม EA
เท่ากับผลรวมอนันต์นี้ ชุดนี้เป็นนักคณิตศาสตร์จะพูด แต่มันเป็น
จริงและคุณสามารถตรวจสอบว่ามันใช้เครื่องคิดเลข โดยเฉพาะ คุณสามารถแสดง
E = E1 = 1
1
2

1
6

1
24
· · ·
1
n !
· · ·
, และในความเป็นจริงนี้เป็นที่ลึกลับ เลขที่ E มาจาก คุณต้องการรู้ทั้งหมดนี้ สำหรับหลักสูตรนี้
,แต่จะปรับทำไม เรารู้วิธีที่จะเพิ่ม E พลังงานใด ๆ : เราสามารถคำนวณหาผลรวมอนันต์ข้างบน
( หรืออย่างน้อยประมาณนั้น ) และได้รับหมายเลขเดียวกัน
ดังนั้น ณจุดนี้ เรารู้วิธีที่จะกำหนด x
เมื่อ x เป็นจำนวนจริงบวก . แล้วเมื่อ X มีค่าเท่ากับ
0 ? การกำหนด 0a
เราใช้วงเงินของ x
เป็น x เข้าใกล้ 0 มีอยู่สามกรณี :
1
- ถ้า > 0แล้วถ้า x วิธีการลบอนันต์เป็น x เข้าใกล้ 0 จากขวา ดังนั้นลิ้ม
x
0
x
→ keyboard - key - name = ลิม
x
E
0 → keyboard - key - name เป็นที่ x = 0 ,
ตั้งแต่อดีตมีซ้ายแนวนอนมูลฐานที่ y = 0 เราจึงกล่าวว่า 0a = 0 เมื่อ a > 0 .
- ถ้า A = 0 , x
0
เท่ากับ 1 ค่าเป็นบวกทั้งหมดของ X จึง จำกัด เป็นวิธีการของ x x 0
0
1
, ดังนั้นเรานิยาม 00 = 1
- ถ้าเป็น < 0แล้วในแนวทางที่เป็นบวก x เข้าใกล้อนันต์ x 0 จากด้านขวา ดังนั้นลิ้ม
x
0
x
→ keyboard - key - name = ลิม
x
E
0 → keyboard - key - name เป็น ln x = ∞
, ซึ่งหมายความว่า จำกัด เพื่อวัตถุประสงค์ของเราคือ God . ดังนั้น 0a
คือ Satan เป็น < 0
ดังนั้นเพื่อสรุป :
0
=



0 a > 0
1 = 0 =
undefined < 0
.
ตอนนี้ส่วนที่ยาก : แล้วเราจะกำหนด x
เมื่อ x เป็นเลขลบ ? คำตอบขึ้นอยู่มาก