(2) x 2 ig(f¡1¡ig¡cg(V )¢¢) for eve

(2) x 2 ig(f¡1¡ig¡cg(V )¢¢) for every g-open subset V containing f(x).
(3) x 2 ig¡f¡1(V )¢for every gr-open subset V containing f(x).
(4) For any gr-open set V containing f(x), there exists a g-open set U
containing x such that f(U) j V .
Proof. (1) ) (2). Let V be any g-open subset of Y containing f(x).
From the denition of almost continuity, there exists a g-open subset U of X
containing x such that f(U) j ig¡cg(V )¢.
Since x 2 U j f¡1(ig¡cg(V )¢),we have x 2 ig(f¡1¡ig¡cg(V )¢¢).(2) ) (3). Let V be any gr-open subset of Y containing f(x). Then sinceV = cg(V )¢, by (2), we have x 2 ig¡f¡1(¢.(3) ) (4). Let V be any gr-open subset of Y containing f(x). From (3),
there exists a g-open set U containing x such that U j f¡1(V ). Hence we
have (4).(4) ) (1). Let V be any g-open subset of Y containing f(x). Then f(x)2 V j cg(¢. Since ig¡cg(V )¢is gr-open, by (4) there exists a g-openset U containing x such that f(U) j cg(V )¢. Hence f is almost (g; g0)-continuous. ¤

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(2) x 2 ig (f¡1¡ig¡cg (V) หมายเลข) สำหรับ f(x) มีทุกชุดย่อย g เปิด V(3) x 2 ig¡f¡1 เลข (V) สำหรับ f(x) มีทุกชุดย่อยเปิด gr V(4) สำหรับ f(x) ใด ๆ ที่ประกอบด้วยชุดเปิด gr V มีชุดเปิด g Uมี x ที่ j f(U) Vหลักฐานการ (1) ) (2). ให้ V เป็นชุดย่อยของประกอบด้วย f(x) Y g เปิดใด ๆจากเด nition เกือบความต่อเนื่อง มีชุดย่อย g เปิด U Xมี x ที่ f(U) เจ ig¡cg (V) ลอกตั้งแต่ x 2 U j f¡1 (หมายเลข ig¡cg (V)), เราได้ x 2 ig (f¡1¡ig¡cg (V) หมายเลข) (2) ) (3). ให้ V เป็นชุดย่อยของ Y ที่ประกอบด้วย f(x) gr เปิดใด ๆ แล้ว sinceV =เลข cg (V) (2), โดยเรามี x 2 ig¡f¡1 (เลข( 3)) (4) ให้ V เป็นชุดย่อยของ Y ที่ประกอบด้วย f(x) gr เปิดใด ๆ (3),มีเป็นชุดเปิด g U ที่ประกอบด้วย x เช่นที่ยูเจ f¡1 (V) ดังนั้นเรามี (4) (4) ) (1). ให้ V เป็นชุดย่อยของประกอบด้วย f(x) Y g เปิดใด ๆ แล้ว f (x) 2 V j cg (ลอก เนื่องจากหมายเลข ig¡cg (V) เป็น gr เปิด โดย (4) มีการ g openset U ที่ประกอบด้วย x เช่นที่ f(U) เจ cg (V) ลอก ดังนั้น f เป็นเกือบ (g; g0) -ต่อเนื่อง ¤

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(2) x 2 ig (f¡1¡ig¡cg (V) ¢¢) สำหรับทุกเซตกรัมเปิด V ที่มี f (x).
(3) x 2 ig¡f¡1 (V) ¢กรัมสำหรับทุกคน V ย่อย -open มี f (x).
(4) สำหรับชุดใดกรัมเปิด V ที่มี f (x) มีอยู่ชุดกรัมเปิด U
ที่มี x ดังกล่าวว่า f (U) เจวี.
หลักฐาน (1)) (2) ให้ V เป็นเซตใด ๆ G-เปิด Y ที่มี f (x).
จากเด? nition ของความต่อเนื่องเกือบมีอยู่กรัมเปิด U ย่อยของ X
ที่มี x ดังกล่าวว่า f (U) เจig¡cg (V) ¢.
ตั้งแต่ x 2 U jf¡1 (ig¡cg (V) ¢) เรามี x 2 ig (f¡1¡ig¡cg (V) ¢¢). (2)) (3) ให้ V ใด ๆ ย่อยกรัมเปิดของ Y ที่มี f (x) จากนั้น sinceV = CG (V) ¢โดย (2) เรามี x 2 ig¡f¡1 (¢. (3)) (4) ให้ V ใด ๆ ย่อยกรัมเปิดของ Y ที่มี f (x) จาก (3)
มีอยู่ชุดกรัมเปิด U ที่มี x ดังกล่าวว่า U jf¡1 (V) ดังนั้นเรามี (4) (4).) (1)
ให้ V เป็นเซตใด ๆ G-เปิด Y ที่มี f (x) แล้ว f (x) 2 วีเจ CG (¢. ตั้งแต่ig¡cg (V) เป็น¢กรัมเปิดโดย (4) มีอยู่ G-Openset U ที่มี x ดังกล่าวว่า f (U) เจ CG (V) ¢ . ดังนั้นฉเกือบ (g; g0). ¤ต่อเนื่อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 2 ) x 2 IG ( F ¡ 1 ¡ IG ¡ CG ( V ) ¢¢ ) สำหรับทุก g-open ย่อย V ( f ( x )
( 3 ) x 2 IG ¡ F ¡ 1 ( V ) ¢ทุก GR เปิดย่อย V ที่มี f ( x )
( 4 ) สําหรับกรัม เปิดตั้ง V ( f ( x ) มี g-open ชุด U
ที่มี X เช่น F ( U ) J V .
พิสูจน์ ( 1 ) ( 2 ) ให้ V เป็น g-open ย่อยของ Y ( f ( x )
จาก เดอ  nition เกือบต่อเนื่อง มี g-open ย่อยของ x
Uที่มี X เช่น f ( U ) J IG ¡ CG ( V ) ¢ .
ตั้งแต่ x 2 u J F ¡ 1 ( IG ¡ CG ( V ) ¢ ) เราต้อง x 2 IG ( F ¡ 1 ¡ IG ¡ CG ( V ) ¢¢ ) ( 2 ) ( 3 ) ให้ V เป็น GR เปิดย่อยของ Y ( f ( x ) แล้ว sincev = CG ( V ) ¢โดย ( 2 ) เรามี x 2 IG ¡ F ¡ 1 ( ¢ ( 3 ) ( 4 ) ให้ V เป็น GR เปิดย่อยของ Y ( f ( x ) จาก ( 3 ) ,
มีอยู่ g-open ชุด U U J F ที่มี x ที่¡ 1 ( V ) ดังนั้นเรา
( 4 ) ( 4 ) ( 1 )ให้ V เป็น g-open ย่อยของ Y ( f ( x ) แล้ว f ( x ) 2 v J CG ( ¢ . ตั้งแต่ IG ¡ CG ( V ) ¢เป็น GR เปิด ( 4 ) มีอยู่ g-openset U ที่มี X เช่น f ( U ) J CG ( V ) ¢ . ดังนั้น f ( G ; G0 เกือบ ) อย่างต่อเนื่อง ¤