Algebra ErrorsSign errors are surel

Algebra Errors

Sign errors are surely the most common errors of all. I generally deduct only one point for these errors, not because they are unimportant, but because deducting more would involve swimming against a tide that is just too strong for me. The great number of sign errors suggests that students are careless and unconcerned -- that students think sign errors do not matter. But sign errors certainly do matter, a great deal. Your trains will not run, your rockets will not fly, your bridges will fall down, if they are constructed with calculations that have sign errors.

Sign errors are just the symptom; there can be several different underlying causes. One cause is the "loss of invisible parentheses," discussed in a later section of this web page. Another cause is the belief that a minus sign means a negative number. I think that most students who harbor this belief do so only on an unconscious level; they would give it up if it were brought to their attention. [My thanks to Jon Jacobsen for identifying this error.]

Is –x a negative number? That depends on what x is.

Yes, if x is a positive number.
No, if x itself is a negative number. For instance, when x = –6, then –x = 6 (or, for emphasis, –x = +6).
That's something like a "double negative". We sometimes need double negatives in math, but they are unfamiliar to students because we generally try to avoid them in English; they are conceptually complicated. For instance, instead of saying "I do not have a lack of funds" (two negatives), it is simpler to say "I have sufficient funds" (one positive).
Another reason that some students get confused on this point is that we read "–x" aloud as "minus x" or as "negative x". The latter reading suggests to some students that the answer should be a negative number, but that's not right. [Suggested by Chris Phillips.]

Misunderstanding this point also causes some students to have difficulty understanding the definition of the absolute value function. Geometrically, we think of |x| as the distance between x and 0. Thus |–3| = 3 and |27.3| = 27.3, etc. A distance is always a positive quantity (or more precisely, a nonnegative quantity, since it could be zero). Informally and imprecisely, we might say that the absolute value function is the "make it positive" function.

Those definitions of absolute value are all geometric or verbal or algorithmic. It is useful to also have a formula that defines |x|, but to do that we must make use of the double negative, discussed a few sentences ago. Thus we obtain this formula:

[image: absolute value of x is
x if x is greater than or equal
to 0, or -x if x is less than 0]
which is a bit complicated and confuses many beginners. Perhaps it's better to start with the distance concept.
Many college students don't know how to add fractions. They don't know how to add (x/y)+(u/v), and some of them don't even know how to add (2/3)+(7/9). It is hard to classify the different kinds of mistakes they make, but in many cases their mistakes are related to this one:

Everything is additive. In advanced mathematics, a function or operation f is called additive if it satisfies f(x+y)=f(x)+f(y) for all numbers x and y. This is true for certain familiar operations -- for instance,

the limit of a sum is the sum of the limits,
the derivative of a sum is the sum of the derivatives,
the integral of a sum is the sum of the integrals.
But it is not true for certain other kinds of operations. Nevertheless, students often apply this addition rule indiscriminately. For instance, contrary to the belief of many students,
[image:
sin(x+y) is NOT equal to sin x+sin y,
(x+y)^2 is NOT equal to x^2+y^2,
sqrt(x+y) is NOT equal to sqrt x+sqrt y,
1/(x+y) is NOT equal to (1/x)+(1/y).]
We do get equality holding for a few unusual and coincidental choices of x and y, but we have inequality for most choices of x and y. (For instance, all four of those lines are inequalities when x = y = π/2. The student who is not sure about all this should work out that example in detail; he or she will see that that example is typical.)

One explanation for the error with sines is that some students, seeing the parentheses, feel that the sine operator is a multiplication operator -- i.e., just as 6(x+y)=6x+6y is correct, they think that sin(x+y)=sin(x)+sin(y) is correct.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อผิดพลาดพีชคณิตเครื่องหมายข้อผิดพลาดเป็นข้อผิดพลาดทั่วไปแน่นอนที่สุดของทั้งหมด โดยทั่วไปหักจุดเดียวสำหรับข้อผิดพลาด ไม่ได้ เพราะพวกเขามีความสำคัญ แต่เนื่อง จากหักมากจะเกี่ยวข้องกับว่ายน้ำกับน้ำที่แข็งแรงเพียงเกินไปสำหรับฉัน จำนวนข้อผิดพลาดเครื่องดีแนะนำเรียนสะเพร่า และ unconcerned - ที่นักเรียนคิดว่า ข้อผิดพลาดเครื่องไม่ได้เรื่อง แต่ข้อผิดพลาดของเครื่องแน่นอน ว่า โปรโมชั่น รถไฟของคุณจะไม่ทำงาน จะไม่มีบินของจรวด สะพานของคุณจะลดลง ถ้าพวกเขาถูกสร้าง ด้วยการคำนวณที่มีข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบเครื่องหมายข้อผิดพลาดเป็นเพียงอาการ มีได้หลายสาเหตุพื้นฐานแตกต่างกัน สาเหตุหนึ่งคือ การ "สูญเสียมองไม่เห็นวงเล็บ กล่าวถึงในส่วนหลังของเว็บเพจนี้ อีกสาเหตุคือ ความเชื่อที่ว่า เครื่องหมายหมายถึง ตัวเลขค่าลบ คิดว่า นักเรียนส่วนใหญ่ที่ harbor ความเชื่อนี้ทำดังนั้นในระดับการสติ พวกเขาจะแพ้มันถ้ามันถูกนำไปความสนใจ [ขอบคุณการจาบจอนสำหรับการระบุข้อผิดพลาดนี้]เป็น – x ตัวเลขค่าลบหรือ ขึ้นอยู่กับว่า x เป็นใช่ ถ้า x เป็นจำนวนบวกไม่มี ถ้า x ตัวเลขลบ ตัวอย่าง เมื่อ x = –6 แล้ว – x = 6 (หรือ เน้น, – x = + 6)นั่นคือสิ่งที่ชอบ "สองลบ" เราต้องการสองสิ่งในคณิตศาสตร์บางครั้ง แต่พวกเขาไม่คุ้นเคยนักเรียนเนื่องจากโดยทั่วไปเราพยายามที่จะหลีกเลี่ยงพวกเขาภาษาอังกฤษ พวกเขามีความซับซ้อนทางแนวคิด ตัวอย่าง แทนที่จะพูดว่า "ฉันไม่มีการขาดทุน" (สองสิ่ง), มันจะเรียบง่ายว่า "มีเงินเพียงพอ" (บวกหนึ่ง)อีกเหตุผลที่นักเรียนบางคนสับสนในจุดนี้คือ ว่า เราอ่าน " – x " ออกเสียง เป็น "ลบ x" หรือ "ลบ x" อ่านหลังแนะนำให้นักเรียนบางคน ที่คำตอบควรเป็นตัวเลขค่าลบ แต่ที่ไม่เหมาะสม [แนะนำ โดย Chris ไขควง]ยัง misunderstanding จุดนี้ทำให้นักเรียนบางคนมีปัญหาในการทำความเข้าใจนิยามของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ Geometrically เราคิดว่า |x| เป็นระยะห่างระหว่าง x และ 0 ดัง | -3| = 3 และ |27.3| = 27.3 ฯลฯ ระยะไกลได้เสมอปริมาณค่าบวก (หรือเพิ่มเติมแม่นยำ nonnegative ปริมาณ เนื่องจากเป็นศูนย์) บาง และ imprecisely เราอาจพูดได้ว่า ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชัน "ให้บวก"เหล่านั้นคำนิยามของค่าสัมบูรณ์ได้ทุกรูปทรงเรขาคณิต หรือด้วยวาจา หรือ algorithmic มันมีประโยชน์ยัง มีสูตรที่กำหนด |x| แต่ จะทำให้เราต้องทำให้ใช้ค่าลบ คู่สนทนาไม่กี่ประโยคที่ผ่านมา ดังนั้น เราขอรับสูตรนี้:[ภาพ: คือค่าสัมบูรณ์ของ xx ถ้า x มีค่ามากกว่า หรือเท่ากับ0 หรือ - x ถ้า x น้อยกว่า 0] ซึ่งเป็นบิตซับซ้อน และ confuses เริ่มต้นหลาย บางทีดีกว่าเริ่ม ด้วยแนวคิดระยะทางนักเรียนจำนวนมากไม่ทราบวิธีการเพิ่มเศษส่วน พวกเขาไม่ทราบวิธีการเพิ่ม (x/y)+(u/v) และบางส่วนของพวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม (2/3)+(7/9) จึงยากที่จะจำแนกชนิด ของข้อผิดพลาดที่พวกเขาทำ แต่ ในหลายกรณีความผิดพลาดของพวกเขาเกี่ยวข้องกับการนี้:จึงจะสามารถ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง f เป็นฟังก์ชันหรือการดำเนินงานคือการบวกถ้ามันตรง f(x+y)=f(x)+f(y) สำหรับตัวเลขทั้งหมด x และ y นี้เป็นจริงสำหรับการดำเนินการบางอย่างคุ้นเคย - เช่นจำนวนผลรวมคือ ผลรวมของข้อจำกัดอนุพันธ์ของผลเป็นผลรวมของตราสารอนุพันธ์ทฤษฎีบูรณาการรวมคือ ผลรวมของการปริพันธ์แต่ก็ไม่จริงอื่น ๆ บางชนิดของการดำเนินงาน อย่างไรก็ตาม นักเรียนมักจะใช้กฎนี้เพิ่ม indiscriminately ขัดกับความเชื่อของนักเรียนหลายคน เช่น[ภาพ: sin(x+y) ไม่เท่ากับบาป x + y บาป(x + y) ^ 2 ไม่เท่ากับ x ^ 2 + y ^ 2sqrt(x+y) ไม่เท่ากับ sqrt จะ x + sqrt จะ y1/(x+y) ไม่เท่ากับ (1/x)+(1/y)]เราได้รับความเสมอภาคถือสำหรับบางผิดปกติ และบังเอิญเลือก x และ y แต่เรามีความไม่เท่าเทียมกันในตัวเลือกส่วนใหญ่ของ x และ y. (เช่น ทั้งหมด 4 สายนั้นมีความเหลื่อมล้ำทางเมื่อ x = y = π/2 นักเรียนที่ไม่แน่ใจว่าทั้งหมดนี้ควรทำงานจากนั้นตัวอย่างรายละเอียด เขาหรือเธอจะเห็นว่า ตัวอย่างนั้นเป็นปกติ)หนึ่งคำอธิบายข้อผิดพลาดกับไซน์เป็น ว่า นักเรียนบางคน ดูวงเล็บ รู้สึกว่า ตัวไซน์คือ ตัวดำเนินการคูณ - เช่น เพียงเป็น 6 (x + y) = 6 x + 6y ถูก พวกเขาคิดว่า sin(x+y)=sin(x)+sin(y) ที่ถูกต้อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ข้อผิดพลาดพีชคณิตเข้าสู่ระบบข้อผิดพลาดอย่างแน่นอนข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของทั้งหมด ฉันมักจะหักค่าใช้จ่ายเพียงจุดเดียวสำหรับข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ได้เพราะพวกเขาจะไม่สำคัญ แต่เป็นเพราะหักมากขึ้นจะเกี่ยวข้องกับการว่ายน้ำกับน้ำที่เป็นเพียงแรงเกินไปสำหรับฉัน จำนวนมากของข้อผิดพลาดของสัญญาณที่แสดงให้เห็นว่านักเรียนมีความประมาทและไม่แยแส - ว่านักเรียนคิดว่าข้อผิดพลาดของสัญญาณที่ไม่ได้เรื่อง แต่ข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบอย่างแน่นอนเรื่องการจัดการที่ดี รถไฟของคุณจะไม่เรียกใช้จรวดของคุณจะไม่บินสะพานของคุณจะล้มลงถ้าพวกเขาถูกสร้างขึ้นด้วยการคำนวณที่มีข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบ. ข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบเป็นเพียงอาการ; อาจมีหลายสาเหตุที่แตกต่างกัน สาเหตุหนึ่งคือ "การสูญเสียของวงเล็บที่มองไม่เห็น" ที่กล่าวถึงในส่วนหลังของหน้าเว็บนี้ สาเหตุอีกประการหนึ่งคือความเชื่อที่ว่าเครื่องหมายลบหมายถึงจำนวนลบ ผมคิดว่านักเรียนส่วนใหญ่ที่ท่าเรือความเชื่อนี้ทำเฉพาะในระดับที่หมดสติ; พวกเขาจะให้มันขึ้นถ้ามันถูกนำไปให้ความสนใจ [ขอบคุณจอนจาคอปสำหรับการระบุข้อผิดพลาดนี้.] เป็น -xa จำนวนลบ? ที่ขึ้นอยู่กับสิ่งที่เป็น x. ใช่ถ้า x เป็นจำนวนบวก. ไม่มีถ้า x ตัวเองเป็นจำนวนลบ ตัวอย่างเช่นเมื่อ x = -6 แล้ว -x = 6 (หรือสำหรับเน้น -x = 6). นั่นคือสิ่งที่ต้องการ "เชิงลบคู่" บางครั้งเราต้องดับเบิลเนกาทีฟในวิชาคณิตศาสตร์ แต่พวกเขาไม่คุ้นเคยให้กับนักเรียนเพราะเรามักพยายามหลีกเลี่ยงพวกเขาในอังกฤษ; พวกเขามีความซับซ้อนแนวคิด ยกตัวอย่างเช่นแทนที่จะพูดว่า "ผมไม่ได้มีการขาดเงินทุน" (สองเชิงลบ) มันง่ายที่จะพูดว่า "ผมมีเงินทุนที่เพียงพอ" (บวกหนึ่ง). ด้วยเหตุผลที่ว่านักเรียนบางคนได้รับสับสนในประเด็นนี้ก็คือการที่เรา อ่าน "-x" ออกเสียงเป็น "ลบ x" หรือเป็น "เชิงลบ x" อ่านหลังแนะนำให้นักเรียนบางคนว่าคำตอบที่ควรจะเป็นจำนวนลบ แต่ที่ไม่ถูกต้อง [แนะนำโดยคริสฟิลลิป.] ความเข้าใจผิดจุดนี้ยังทำให้นักเรียนบางคนที่จะมีความยากลำบากในการทำความเข้าใจความหมายของฟังก์ชั่นคุ้มค่าแน่นอน เรขาคณิตที่เราคิดว่า | x | เป็นระยะห่างระหว่าง x และ 0 ดังนั้น | -3 | = 3 และ | 27.3 | = 27.3 ฯลฯ ระยะอยู่เสมอปริมาณบวก (หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นในปริมาณที่ไม่เป็นลบเพราะมันอาจจะเป็นศูนย์) อย่างไม่เป็นทางการและคลับคล้ายคลับคลาเราอาจจะบอกว่าฟังก์ชั่นค่าสัมบูรณ์คือ "ทำให้มันบวก" ฟังก์ชั่น. คำจำกัดความของพวกค่าสัมบูรณ์ทั้งหมดเรขาคณิตหรือวาจาหรืออัลกอริทึม มันจะมีประโยชน์ที่จะยังมีสูตรที่กำหนด | x | แต่จะทำอย่างไรที่เราจะต้องทำให้การใช้งานเชิงลบคู่พูดคุยกันไม่กี่ประโยคที่ผ่านมา ดังนั้นเราได้สูตรนี้: [ภาพ: ค่าสัมบูรณ์ของ x คือx หาก x มากกว่าหรือเท่ากับ0 หรือ -x ถ้า x น้อยกว่า 0] ซึ่งเป็นบิตซับซ้อนและสับสนเริ่มต้นจำนวนมาก บางทีมันอาจจะดีกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยแนวคิดระยะทาง. นักศึกษาหลายคนไม่ทราบวิธีการเพิ่มเศษส่วน พวกเขาไม่ทราบวิธีการเพิ่ม (x / y) + (u / V) และบางส่วนของพวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม (2/3) + (7/9) มันเป็นเรื่องยากที่จะจำแนกประเภทที่แตกต่างกันของความผิดพลาดที่พวกเขาทำ แต่ในหลายกรณีความผิดพลาดของพวกเขาที่เกี่ยวข้องกับการนี้: ทุกอย่างเป็นสารเติมแต่ง ในทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงฟังก์ชั่นหรือการดำเนินงานเอฟที่เรียกว่าสารเติมแต่งถ้ามันสอดคล้องกับ f (x + y) = f (x) + f (y) สำหรับตัวเลขทั้งหมด x และ y นี่คือความจริงที่คุ้นเคยสำหรับการดำเนินงานบางอย่าง - เช่นขีดจำกัด ของผลรวมคือผลรวมของข้อ จำกัด ที่มาของผลรวมคือผลรวมของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่หนึ่งของผลรวมคือผลรวมของปริพันธ์ที่. แต่มัน ไม่เป็นความจริงชนิดอื่น ๆ ของการดำเนินงาน แต่นักเรียนมักจะใช้กฎนอกจากนี้การคัดสรร ยกตัวอย่างเช่นขัดกับความเชื่อของนักเรียนจำนวนมาก[ภาพ: บาป (x + y) ไม่เท่ากับบาป x + บาป, y (x + y) ^ 2 จะไม่เท่ากับ x ^ 2 + y ที่ ^ 2, sqrt (x + y) ไม่เท่ากับ sqrt x + sqrt ปี, 1 / (x + y) ไม่เท่ากับ (1 / x) + (1 / y).] เราไม่ได้รับความเท่าเทียมกันถือไม่กี่ที่ผิดปกติและบังเอิญ ทางเลือกของ x และ y แต่เรามีความไม่เท่าเทียมกันในการเลือกมากที่สุดของ x และ y (ยกตัวอย่างเช่นทั้งสี่ของเส้นที่มีความไม่เท่าเทียมกันเมื่อ x y = = π / 2 นักเรียนที่ไม่แน่ใจว่าเกี่ยวกับเรื่องทั้งหมดนี้ควรจะทำงานให้เห็นว่าตัวอย่างเช่นในรายละเอียด.. เขาหรือเธอจะเห็นว่าตัวอย่างที่เป็นปกติ) หนึ่ง คำอธิบายสำหรับข้อผิดพลาดที่มีนส์คือการที่นักเรียนบางคนเห็นวงเล็บรู้สึกว่าผู้ประกอบไซน์เป็นผู้ประกอบการคูณ - เช่นเดียวกับที่ 6 (x + y) = 6x + 6Y ถูกต้องพวกเขาคิดว่าบาป (x + y) = sin (x) + บาป (y) เป็นที่ถูกต้อง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พีชคณิตข้อผิดพลาด

เซ็นข้อผิดพลาดย่อมจะพบมากที่สุดข้อผิดพลาดทั้งหมด ฉันมักจะหักเพียงจุดเดียวสำหรับข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ได้เพราะพวกเขาจะไม่สำคัญ แต่เพราะหักมากจะเกี่ยวข้องกับการว่ายทวนกระแสน้ำมันแรงเกินไปสำหรับผม จำนวนมากของข้อผิดพลาดสัญญาณบ่งบอกว่านักเรียนจะประมาท และไม่สนใจว่านักเรียนคิดว่าข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบไม่ได้แต่ข้อผิดพลาดเซ็นแน่นอน เรื่องการจัดการที่ดี รถไฟของคุณจะไม่วิ่ง จรวดของคุณจะไม่บิน สะพานของคุณจะลดลง ถ้าพวกเขาจะถูกสร้างขึ้นด้วยการคำนวณที่ได้ลงชื่อผิด

เซ็นข้อผิดพลาดเป็นเพียงอาการ สามารถมีได้หลายสาเหตุเป็นต้น สาเหตุหนึ่งคือ " การสูญเสียวงเล็บมองไม่เห็น " ที่กล่าวถึงในส่วนที่ต่อมาจากหน้าเว็บนี้สาเหตุหนึ่งคือ ความเชื่อที่ว่า เครื่องหมายลบหมายถึง จํานวนลบ ฉันคิดว่านักเรียนส่วนใหญ่ที่ท่าเรือความเชื่อนี้ทำเพียงในระดับไม่ได้สติ เขาจะมอบมันถ้ามันมาถึงความสนใจของพวกเขา [ ขอบคุณจอนจาคอบส์เพื่อระบุข้อผิดพลาดนี้ . ]

คือ– x จํานวนลบ ? มันขึ้นอยู่กับว่า X .

ใช่ค่ะ ถ้า x เป็นจำนวนบวก .
ไม่ ถ้า x เองเป็นเลขลบตัวอย่าง เมื่อ X = ( X = 6 แล้ว– 6 ( หรือสำหรับการเน้น ( x = 6 ) .
มันเหมือนคู่ " เชิงลบ " บางครั้งเราต้องการคู่ เชิง ลบ ในทางคณิตศาสตร์ แต่พวกเขาไม่คุ้นเคยกับนักเรียน เพราะโดยทั่วไปเราพยายามที่จะหลีกเลี่ยงพวกเขาในภาษาอังกฤษ เป็นแนวคิดที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นแทนที่จะพูดว่า " ผมไม่ได้ขาดทุน " ( สอง negatives )มันง่ายที่จะพูดว่า " ฉันมีเงินเพียงพอ " ( บวกหนึ่ง )
เหตุผลที่นักเรียนบางคนสับสนในจุดนี้คือเราอ่าน " - X " ออกเสียงเป็น " ลบ " X " หรือเป็น " ลบ x อ่านหลังแนะนำให้นักเรียนที่ตอบเป็นเลขลบ แต่มันไม่ถูกต้อง [ แนะนำ ]

โดยคริสฟิลลิปเข้าใจผิด จุดนี้ยังทำให้นักเรียนบางคนมีปัญหาความเข้าใจความหมายของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ วิธีที่เราคิด | x | ตามระยะทางระหว่าง X และ 0 ดังนั้น | – 3 | = 3 และ | 27.3 | = 27.3 ฯลฯ ระยะทางเป็นปริมาณบวก ( หรืออย่างแม่นยำมากขึ้น , ปริมาณ , nonnegative เนื่องจากมันอาจจะศูนย์ ) อย่างไม่เป็นทางการ และคลับคล้ายคลับคลาเราอาจพูดได้ว่า ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์คือ " ให้มันฟังก์ชั่นบวก "

ผู้นิยามของค่าสัมบูรณ์เป็นรูปทรงเรขาคณิต หรือวาจา หรือขั้นตอนวิธี มันเป็นประโยชน์ที่จะมีสูตรที่กำหนด | x | แต่การทำอย่างนั้น เราต้องใช้คู่ลบ คุยกันไม่กี่ประโยคเอง ดังนั้นเราได้รับสูตรนี้ :

[ ภาพ : ค่าสัมบูรณ์ของ x
x ถ้า x มากกว่าหรือเท่ากับ
0 หรือ - x ถ้า x น้อยกว่า 0 ]
ซึ่งเป็นบิตที่ซับซ้อนและสับสนมากมาย ผู้เริ่มต้น บางทีมันอาจจะดีกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยแนวคิดที่ไกล
นักศึกษาหลายคนไม่ทราบวิธีการเพิ่มเศษส่วน พวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม ( X / Y ) ( U / V ) และบางส่วนของพวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม ( 2 / 3 ) ( 7 / 9 ) มันเป็นการยากที่จะจำแนกชนิดของข้อผิดพลาดที่พวกเขาทำแต่ในหลายกรณีความผิดพลาดของพวกเขาเกี่ยวข้องกับนี้ :

ทุกอย่างเป็นสารเติมแต่ง ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงฟังก์ชันหรือผ่าตัด F เรียกว่าการบวกถ้ามันเข้าตา F ( X Y ) = f ( x ) f ( y ) สำหรับตัวเลขทั้งหมดที่ x และ y นี้เป็นจริงสำหรับการดำเนินงานที่คุ้นเคยบางอย่าง -- ตัวอย่างเช่น

ลิมิตของผลรวมคือผลรวมของลิมิต
จาก รวมคือผลรวมของอนุพันธ์
ค่าของผลรวมคือผลรวมของ integrals .
แต่มันจะไม่เป็นจริงสำหรับบางชนิดอื่น ๆของการดำเนินงาน อย่างไรก็ตาม นักเรียนมักจะใช้กฎเพิ่มเติมดาย ตัวอย่าง ขัดกับความเชื่อของนักเรียนเยอะ

[ ภาพ : sin ( x y ไม่เท่ากับ sin x sin y
( x , y )
2 ไม่เท่ากับ x
2 y
2
SQRT ( X Y ) ไม่เท่ากับ SQRT x SQRT Y ,
1 / ( X Y ) ไม่เท่ากับ ( 1 / 3 ) ( 1 / Y )
. ]เราไม่ได้รับความเสมอภาคถือไม่กี่ผิดปกติและบังเอิญเลือกของ X และ Y , แต่เรามีความไม่เท่าเทียมกันสำหรับตัวเลือกมากที่สุดของ x และ y ( ตัวอย่างเช่นทั้งหมดสี่สายนั้นเป็นอสมการเมื่อ x = y = π / 2 นักเรียนที่ไม่แน่ใจทั้งหมดนี้ควรจะทำงานออกว่าตัวอย่างในรายละเอียด เขาหรือเธอ จะเห็นได้ว่า ตัวอย่างที่เป็นปกติ

)หนึ่งในคำอธิบายสำหรับข้อผิดพลาดกับด้านที่นักเรียนบางคน เห็นวงเล็บ รู้สึกว่าผู้ประกอบการเป็นผู้ดำเนินการไซน์การคูณคือ แค่ 6 ( X Y ) = 6x 16 ถูกต้องพวกเขาคิดว่า sin ( x y ) = sin ( x ) บาป ( Y ) ที่ถูกต้อง