Proof #58(B. F. Yanney and J. A. Ca

Proof #58
(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 6/7 (1896), 169-171, #VII)



Proof #59
(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XVII)



Let ABC be right angled at C and let BC = a be the shortest of the two legs. With C as a center and a as a radius describe a circle. Let D be the intersection of AC with the circle, and H the other one obtained by producing AC beyond C, E the intersection of AB with the circle. Draw CL perpendicular to AB. L is the midpoint of BE.

By the Intersecting Chords theorem,

AH·AD = AB·AE.

In other words,

(b + a)(b - a) = c(c - 2·BL).

Now, the right triangles ABC and BCL share an angle at B and are, therefore, similar, wherefrom

BL/BC = BC/AB,

so that BL = a²/c. Combining all together we see that

b² - a² = c(c - 2a²/c)

and ultimately the Pythagorean identity.

Remark
Note that the proof fails for an isosceles right triangle. To accommodate this case, the authors suggest to make use of the usual method of the theory of limits. I am not at all certain what is the "usual method" that the authors had in mind. Perhaps, it is best to subject this case to Socratic reasoning which is simple and does not require the theory of limits. If the case is exceptional anyway, why not to treat it as such.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน #58(B. F. Yanney และ J. A. Calderhead น.คณิตศาสตร์เดือน v.3, 6 7 ตอนเหนือ (1896), 169-171, #VII)หลักฐาน #59(B. F. Yanney และ J. A. Calderhead น.คณิตศาสตร์เดือน v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XVII)ให้ ABC เป็นขวาเป็นมุมที่ C และให้ BC =เป็นสองขาสั้น มี C เป็นศูนย์และให้เป็น รัศมีอธิบายวงกลม ให้ D เป็นจุดตัดของ AC กับวงกลม และ H อีกเครื่องหนึ่งรับผลิต AC เกิน C, E จุด AB ตัดกับวงกลม ตั้งฉากกับ AB. L CL วาดจุดกึ่งกลางของจะได้โดยทฤษฎีบทอินเตอร์เซกกัน ChordsAH· โฆษณา = AB· แอะในคำอื่น ๆ(บี + การ) (b - ตัว) = c (c - 2· BL)ตอนนี้ สามเหลี่ยมขวา ABC และ BCL ร่วมมุม B และมี ดังนั้น เหมือน wherefromBL/BC = BC/ABให้ BL = a²/c.รวมทั้งหมดเข้าด้วยกันเราเห็นว่าb² - a² = c (c - 2a²/c)และในที่สุดโกรัสหมายเหตุโปรดสังเกตว่า หลักฐานที่ล้มเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วทรง เพื่อรองรับกรณีนี้ ผู้เขียนขอแนะนำให้ใช้วิธีการทฤษฎีขีดจำกัดปกติ ผมไม่บางสิ่ง "ปกติ" ที่ผู้เขียนมีในจิตใจ บางที ดีที่สุดคือเรื่องกรณีนี้เหตุผล Socratic ซึ่งง่าย และไม่ต้องใช้ทฤษฎีขีดจำกัด ถ้ากรณีพิเศษต่อไป ทำไมไม่ในการรักษาเช่นการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน # 58
(BF Yanney และ JA Calderhead, Am คณิตศาสตร์รายเดือน v.3, n. 6/7 (1896), 169-171, #VII) หลักฐาน # 59 (BF Yanney และ JA Calderhead, Am คณิตศาสตร์รายเดือนโวลต์ 3, n. 12 (1896) 299-300, #XVII) ให้เอบีซีได้รับสิทธิมุมที่ C และให้ BC = a เป็นที่สั้นที่สุดของทั้งสองขา ด้วย C เป็นศูนย์กลางและเป็นรัศมีอธิบายวงกลม ให้ D เป็นจุดตัดของ AC กับวงกลมและเอชอีกคนหนึ่งที่ได้จากการผลิต AC เกิน C, E จุดตัดของ AB กับวงกลม วาด CL ตั้งฉากกับ AB L เป็นจุดกึ่งกลางของเป็น. โดยทฤษฎีบทตัดคอร์ด, AH · AD = AB · AE. ในคำอื่น ๆ(ข + ก) (ข - ก) = c (ค - 2 · BL). ตอนนี้สามเหลี่ยมด้านขวา เอบีซีและ BCL แบ่งปันมุมที่ B และจึงคล้ายกัน wherefrom BL / BC = BC / AB, เพื่อให้ BL = รฒร / C รวมทั้งหมดเข้าด้วยกันเราจะเห็นว่าb² - รฒร = c (c - 2a² / C) และในที่สุดตัวตนที่พีทาโกรัส. หมายเหตุโปรดทราบว่าหลักฐานไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว เพื่อรองรับกรณีนี้ผู้เขียนขอแนะนำให้ใช้วิธีการปกติของทฤษฎีของข้อ จำกัด ผมไม่ได้ทั้งหมดบางสิ่งที่เป็น "วิธีการปกติ" ที่ผู้เขียนมีอยู่ในใจ บางทีอาจจะเป็นที่ดีที่สุดคือเรื่องกรณีนี้กับการให้เหตุผลเสวนาซึ่งเป็นเรื่องง่ายและไม่ต้องใช้ทฤษฎีของข้อ จำกัด หากกรณีเป็นพิเศษอยู่แล้วทำไมไม่ได้ที่จะรักษามันเป็นเช่นนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐาน#
( B . F . yanney 58 และ J . A . calderhead เป็นเลขรายเดือนของ N . 6 / 7 ( 1896 ) , 169-171 # , 7 )




( B . F . หลักฐาน# 59 yanney และ J . A . calderhead เป็นเลขรายเดือนของ N . 12 ( 1896 ) , 299-300 # , XVII )



ให้ ABC อยู่มุมที่ C และให้ BC = เป็นที่สุด สองขา กับ C เป็นศูนย์และอธิบายเป็นรัศมีวงกลม ให้ D เป็นจุดตัดของ AC กับวงกลมและ H อีกคนที่ได้จากการผลิต AC เกิน C , E จุดตัดของ AB กับวงกลม วาด CL ตั้งฉากกับ AB เป็นจุดกึ่งกลางของ L .

โดยตัดทฤษฎีบทคอร์ด

อาด้วย AD = AB ด้วยเอ

ในคำอื่น ๆ

( B ) ( B - ) = C ( C - 2 ด้วย BL ) .

ตอนนี้ , ขวาสามเหลี่ยมเอบีซีและ BCL แบ่งปันมุมที่ B และจึงคล้ายคลึงกัน จากที่ซึ่ง

BL / BC = BC / AB

ดังนั้น BL = พนักงานขาย / Cรวมกันเราเห็น

b พนักงานขาย / พนักงานขาย = C ( C - 2A พนักงานขาย / c )

และในที่สุดพีทาโกรัสเอกลักษณ์


หมายเหตุหมายเหตุพิสูจน์ล้มเหลวเป็นหน้าจั่วสามเหลี่ยมด้านขวา . เพื่อรองรับกรณีนี้ ผู้เขียนขอแนะนำให้ใช้วิธีการปกติของทฤษฎีข้อจำกัด ผมเลยมั่นใจว่าเป็น " วิธีการ " ปกติที่เขียนไว้ บางทีดีที่สุดคือ เรื่อง กรณีนี้เป็นปรัชญาเหตุผลที่ง่ายและไม่ต้องใช้ทฤษฎีของข้อจำกัด ถ้าเป็นกรณีพิเศษอยู่แล้ว ทำไมไม่ทำอะไรซักอย่าง