n mathematics, the surreal number s

n mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered field. (Strictly speaking, the surreals are not a set, but a proper class.[1]) If formulated in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, the surreal numbers are the largest possible ordered field; all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal numbers, and the hyperreal numbers, can be realized as subfields of the surreals.[2] It has also been shown (in Von Neumann–Bernays–Gödel set theory) that the maximal class hyperreal field is isomorphic to the maximal class surreal field; in theories without the axiom of global choice, this need not be the case, and in such theories it is not necessarily true that the surreals are the largest ordered field. The surreals also contain all transfinite ordinal numbers; the arithmetic on them is given by the natural operations.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณิตศาสตร์ n ระบบตัวเลขเหนือจริงเป็นความต่อเนื่องการทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยจำนวนจริงรวมทั้งอนันต์ และ infinitesimal เลข ในค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจำนวนจริงบวกใด ๆ หรือใหญ่กว่าตามลำดับ Surreals ใช้ร่วมกันหลายคุณสมบัติ ด้วยตัวเลขจริง ≤ใบสั่งทั้งหมดและดำเนินงานทางคณิตศาสตร์ตามปกติ (เพิ่ม ลบ คูณ และการหาร); เช่น พวกเขาฟอร์มฟิลด์ใบสั่ง (พัฒน surreals ไม่ชุด แต่เป็นระดับที่เหมาะสมนั้น [1]) ถ้าสูตรในทฤษฎีเซตฟอน Neumann – Bernays – Gödel หมายเลขเหนือจริงเป็นราคาที่สั่งฟิลด์ ที่สุดใหญ่ที่สุด ทั้งหมดสั่งฟิลด์อื่น ๆ เช่น rationals ตัวเลขจริง ฟังก์ชันตรรกยะ Levi Civita ฟิลด์ หมายเลข superreal และหมาย เลข hyperreal สามารถถูกรับรู้เป็น subfields ของ surreals [2] จะมีการแสดง (ในทฤษฎีเซตฟอน Neumann – Bernays – Gödel) ว่าฟิลด์ hyperreal ชั้นสูงสุด isomorphic เขตเหนือจริงชั้นสูงสุด ในทฤษฎีโดยสัจพจน์ของทางโลก นี้ไม่จำเป็นต้องใช่ และในทฤษฎีดังกล่าว นั้นไม่เป็นความจริงจำเป็นต้อง surreals ในฟิลด์สินค้าที่ใหญ่ที่สุด Surreals ประกอบด้วยหมายเลขลำดับ transfinite ทั้งหมด เลขคณิตนั้นถูกกำหนด โดยการดำเนินงานตามธรรมชาติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

n คณิตศาสตร์ระบบจำนวนภาพคือความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวเลขจริงเช่นเดียวกับตัวเลขอนันต์และเล็กตามลำดับขนาดใหญ่หรือเล็กในค่าสัมบูรณ์กว่าจำนวนจริงใด ๆ ในเชิงบวก surreals ร่วมกันจำนวนมากที่มีคุณสมบัติ reals รวมทั้ง≤ยอดสั่งซื้อและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ปกติ (บวกลบคูณหาร); เป็นเช่นพวกเขาในรูปแบบสนามที่สั่งซื้อ (. อย่างเคร่งครัดพูด surreals ไม่ได้กำหนด แต่ระดับที่เหมาะสม [1]) ถ้าสูตรใน Von Neumann-Bernays-Gödelตั้งทฤษฎีหมายเลข surreal เป็นสนามที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้มีคำสั่ง; สาขาสั่งอื่น ๆ เช่น rationals, reals, ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลสนาม Levi-Civita หมายเลข superreal และตัวเลข HyperReal สามารถตระหนักถึงความเป็นฟิลด์ของ surreals. [2] มันยังได้รับการแสดง ( ใน Von Neumann-Bernays-Gödelทฤษฎีเซต) ที่สนาม HyperReal ระดับสูงสุดเป็น isomorphic ไปที่สนามระดับสูงสุดเหนือ; ในทฤษฎีโดยไม่ต้องจริงของการเลือกระดับโลกนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีและในทฤษฎีเช่นนี้มันไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงที่ว่า surreals เป็นสนามที่ใหญ่ที่สุดที่สั่งซื้อ surreals ยังมีหมายเลขลำดับ transfinite ทั้งหมด คณิตศาสตร์ที่พวกเขาจะได้รับจากการดำเนินงานที่เป็นธรรมชาติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

- คณิตศาสตร์ ระบบจํานวนจริง เป็นค่าต่อเนื่องที่มีตัวเลขที่แท้จริงเป็นอนันต์และกณิกนันต์ตัวเลขตามลำดับขนาดใหญ่หรือเล็กในค่าสัมบูรณ์มากกว่าจํานวนจริงบวก การ surreals แบ่งปันสมบัติมากมายกับจริง รวมถึง≤สั่งซื้อทั้งหมดและการดำเนินการเลขคณิตปกติ ( การบวก การลบ การคูณ และการหาร )เช่นที่พวกเขารูปแบบคำสั่งฟิลด์ ( พูด , surreals ไม่ได้ตั้ง แต่ระดับ เหมาะสม [ 1 ] ) ถ้าสูตรในฟอนนอยมันน์–– G ö del ตั้งทฤษฎี Bernays , ตัวเลขจริงจะเป็นไปได้มากที่สุดให้สนาม อื่น ๆทั้งหมดที่สั่งให้เขตข้อมูล เช่น rationals , จริง , ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล , ลีวายส์ Civita สนาม , เรียลและ hyperreal ตัวเลข , ตัวเลขที่สามารถรับรู้เป็น subfields ของ surreals [ 2 ] มันยังแสดง ( ในฟอนนอยมันน์ ( G ö del Bernays –ทฤษฎีเซต ) สูงสุดคลาส hyperreal สนามพวกเราเรียนสูงสุดเหนือสนาม ในทฤษฎีโดยความจริงของการเลือกโลกนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีและในทฤษฎี เช่น มันไม่เสมอไปหรอกว่า surreals เป็นที่ใหญ่ที่สุดสั่งฟิลด์การ surreals ยังประกอบด้วย transfinite เลขลำดับ ; ) พวกเขาจะได้รับโดยการธรรมชาติ