Let n = 2k + 1 and k ≥ 2. First we

Let n = 2k + 1 and k ≥ 2. First we show that five colours are not enough. Suppose that there is a facial entire
5-colouring of Wn. Graph Wn has 2k + 2 vertices, 2k + 2 faces, and 4k + 2 edges, so that there are 8k + 6 elements which
have to be coloured. It is easy to see, that there are at most 2k elements receiving the same colour. Moreover, the colour,
which is assigned to the central vertex or to the outer face, can be used at most k+1 times. If the central vertex and the outer
face are coloured with the same colour, none other element can be coloured with this colour. In this case the remaining four
colours can be used each at most 2k times and then there remain at least four uncoloured elements. If the central vertex and
the outer face are coloured with different colours, then these two colours are used together on at most 2k+2 elements.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ n = 2 k + 1 และ k ≥ 2 ครั้งแรก ที่เราแสดงสีห้าไม่เพียงพอ สมมติว่า มีการนวดทั้งหมด5 สีของดับเบิ้ลยูเอ็นดับเบิ้ลยูเอ็น Graph มี 2 k + 2 จุดยอด 2 k + 2 หน้า และ 4 k + 2 ขอบ ที่มี 8 k + 6 องค์ประกอบซึ่งต้องเป็นสีนี้ ซึ่งง่ายต่อการเห็น ว่า มี 2 องค์ประกอบ k รับสีเดียวกันมากที่สุด นอกจากนี้ สีซึ่งจะกำหนด ให้จุดยอดกลาง หรือ หน้าด้านนอก ใช้ ที่สุด k + 1 ครั้ง ถ้าจุดยอดกลางและชั้นนอกใบหน้ามีสี มีสีเดียวกัน ไม่มีอื่น ๆ องค์ประกอบสามารถระบายสี ด้วยสีนี้ ในกรณีนี้เหลือ 4สีสามารถใช้แต่ละที่ 2 k ครั้ง และมีอยู่อย่างน้อยสี่องค์ประกอบ uncoloured ถ้าจุดยอดกลาง และใบหน้าด้านนอกมีสี ด้วยสีที่แตกต่าง แล้วใช้สีเหล่านี้สองเข้าด้วยกันในที่สุด 2 k + 2 องค์ประกอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ n = 2k + 1 และ k ≥ 2. ครั้งแรกที่เราแสดงให้เห็นว่าห้าสีที่มีไม่เพียงพอ สมมติว่ามีใบหน้าทั้ง
5 สีของ Wn กราฟ Wn มี 2k + 2 จุด 2k + 2 ใบหน้าและ 4k + 2 ขอบเพื่อให้มี 8K + 6 องค์ประกอบซึ่ง
จะต้องมีสี มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามีองค์ประกอบส่วนใหญ่ได้รับ 2K สีเดียวกัน นอกจากนี้สี
ซึ่งได้รับมอบหมายให้จุดสุดยอดกลางหรือไปที่ใบหน้าด้านนอกสามารถนำมาใช้มากที่สุด K + 1 ครั้ง หากยอดกลางและด้านนอก
ใบหน้าเป็นสีที่มีสีเดียวกันไม่มีองค์ประกอบอื่น ๆ ที่สามารถสีที่มีสีนี้ ในกรณีนี้ที่เหลืออีกสี่
สีที่สามารถนำมาใช้ในแต่ละครั้งที่ 2K ส่วนใหญ่แล้วยังคงมีอย่างน้อยสี่องค์ประกอบทาสี หากยอดกลางและ
ใบหน้าด้านนอกมีสีที่มีสีที่แตกต่างกันแล้วทั้งสองสีจะใช้ร่วมกันในที่มากที่สุด 2k + 2 องค์ประกอบ