Definition[edit]The above diagram r

Definition[edit]

The above diagram represents a function with domain {1, 2, 3}, codomain {A, B, C, D} and set of ordered pairs {(1,D), (2,C), (3,C)}. The image is {C,D}.

However, this second diagram does not represent a function. One reason is that 2 is the first element in more than one ordered pair. In particular, (2, B) and (2, C) are both elements of the set of ordered pairs. Another reason, sufficient by itself, is that 3 is not the first element (input) for any ordered pair. A third reason, likewise, is that 4 is not the first element of any ordered pair.
In order to avoid the use of the informally defined concepts of "rules" and "associates", the above intuitive explanation of functions is completed with a formal definition. This definition relies on the notion of the Cartesian product. The Cartesian product of two sets X and Y is the set of all ordered pairs, written (x, y), where x is an element of X and y is an element of Y. The x and the y are called the components of the ordered pair. The Cartesian product of X and Y is denoted by X × Y.

A function f from X to Y is a subset of the Cartesian product X × Y subject to the following condition: every element of X is the first component of one and only one ordered pair in the subset.[4] In other words, for every x in X there is exactly one element y such that the ordered pair (x, y) is contained in the subset defining the function f. This formal definition is a precise rendition of the idea that to each x is associated an element y of Y, namely the uniquely specified element y with the property just mentioned.

Considering the "color-of-the-shape" function above, the set X is the domain consisting of the four shapes, while Y is the codomain consisting of five colors. There are twenty possible ordered pairs (four shapes times five colors), one of which is

("yellow rectangle", "red").
The "color-of-the-shape" function described above consists of the set of those ordered pairs,

(shape, color)
where the color is the actual color of the given shape. Thus, the pair ("red triangle", "red") is in the function, but the pair ("yellow rectangle", "red") is not.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำ [แก้]แผนภาพข้างต้นแสดงถึงฟังก์ชันที่ มีโดเมน {1, 2, 3 }, {A, B, C, D } codomain และการสั่งคู่ { (1, D), (2, C), (3, C) } รูปภาพ {C, D }อย่างไรก็ตาม ไดอะแกรมนี้สองไม่แสดงฟังก์ชัน เหตุผลหนึ่งคือ 2 องค์ประกอบแรกในมากกว่าหนึ่งสั่งคู่ เฉพาะ, (2, B) และ (2, C) เป็นองค์ประกอบทั้งชุดของคู่สั่งซื้อ เหตุผล เพียงพอ ด้วยตัวเอง คือ ว่า 3 ไม่ใช่องค์ประกอบแรก (ป้อนข้อมูล) สำหรับการสั่งซื้อ เหตุผลประการที่สาม ในทำนองเดียวกัน ที่ 4 ไม่ใช่องค์ประกอบแรกของสั่งคู่เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้แนวคิดของ "กฎ" และ "เชื่อมโยง" กำหนดอย่าง คำอธิบายง่ายข้างต้นของฟังก์ชันเสร็จสมบูรณ์แล้วพร้อมคำจำกัดความอย่างเป็นทางการ คำนิยามนี้ใช้ในความคิดของผลิตภัณฑ์ Cartesian ผลิตภัณฑ์ Cartesian สองชุด X และ Y เป็นคู่ทั้งหมดสั่ง เขียน (x, y), x เป็นองค์ประกอบของ X และ y เป็นองค์ประกอบของ Y ที่ X และ y เรียกว่าคอมโพเนนต์ของคู่สั่ง ผลิตภัณฑ์ Cartesian ของ X และ Y จะเขียนแทน ด้วย X × YF เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y เป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์ Cartesian X × Y ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: ทุกองค์ประกอบของ X เป็นส่วนประกอบแรกของหนึ่ง และเพียงหนึ่งสั่งคู่ในชุดย่อย [4] ในคำอื่น ๆ สำหรับทุก x ใน X มี y องค์ประกอบเดียวเช่นที่คู่สั่ง (x, y) อยู่ในชุดย่อยกำหนด f ฟังก์ชัน ข้อกำหนดนี้จะกระทำอย่างแม่นยำของความคิดที่จะ x แต่ละเกี่ยวข้อง y เป็นองค์ประกอบของ Y, y คือองค์ประกอบระบุเอกลักษณ์ ด้วยคุณสมบัติที่กล่าวถึงพิจารณาฟังก์ชัน "สีของรูป" ข้างต้น ชุด X เป็นโดเมนที่ประกอบด้วยรูปร่างสี่ ในขณะที่ Y codomain ประกอบด้วยห้าสี มียี่สิบได้สั่งคู่ (สี่รูปร่างเวลาห้าสี), ซึ่งเป็น("สีเหลืองสี่เหลี่ยม" "แดง")ฟังก์ชัน "สีของรูป" ที่อธิบายข้างต้นประกอบด้วยชุดของคู่ที่สั่ง(รูปร่าง สี)ที่สีเป็นสีจริงของรูปร่างที่กำหนด ดังนั้น เป็นฟังก์ชันคู่ ("สามเหลี่ยมสีแดง" "สีแดง") แต่ไม่มีคู่ ("สีเหลืองสี่เหลี่ยม" "สีแดง")

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความหมาย [แก้ไข] แผนภาพข้างต้นแสดงให้เห็นถึงการทำงานที่มีประสิทธิภาพ {1, 2, 3} โคโดเมน {A, B, C, D} และการตั้งค่าของคู่ได้รับคำสั่ง {(1, D) (2, c) (3 , C)} ภาพเป็น {C, D}. อย่างไรก็ตามแผนภาพที่สองนี้ไม่ได้แสดงถึงฟังก์ชั่น เหตุผลหนึ่งก็คือ 2 เป็นองค์ประกอบแรกในรอบกว่าหนึ่งคู่ได้รับคำสั่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง (2, B) และ (2, c) เป็นองค์ประกอบทั้งสองชุดคู่สั่ง อีกเหตุผลหนึ่งที่เพียงพอด้วยตัวเองเป็นที่ 3 ไม่ได้เป็นองค์ประกอบแรก (input) สำหรับคู่ได้รับคำสั่งใด ๆ เหตุผลที่สามเหมือนกันคือการที่ 4 ไม่ได้เป็นองค์ประกอบแรกของทั้งคู่ได้รับคำสั่งใด ๆ . เพื่อที่จะหลีกเลี่ยงการใช้แนวคิดที่กำหนดไว้อย่างไม่เป็นทางการของ "กฎ" และ "เพื่อนร่วมงาน" ให้คำอธิบายที่ง่ายข้างต้นของฟังก์ชั่นเป็นที่เรียบร้อยแล้วด้วยอย่างเป็นทางการ คำนิยาม คำนิยามนี้ต้องอาศัยความคิดของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของสองชุด X และ Y คือชุดของทุกคู่สั่งเป็นลายลักษณ์อักษร (x, y) ที่ x เป็นองค์ประกอบของ x และ y นั้นเป็นองค์ประกอบของวาย X และ Y จะเรียกว่าส่วนประกอบของ คู่ลำดับ ผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ X และ Y จะเขียนแทนด้วย X ×วายฟังก์ชัน f จาก X เป็น Y เป็นส่วนหนึ่งของผลิตภัณฑ์ Cartesian X × Y ภายใต้เงื่อนไขดังต่อไปนี้: องค์ประกอบของ X ทุกเป็นองค์ประกอบแรกของเพียงหนึ่งเดียวและ คู่สั่งซื้อในเซต. [4] ในคำอื่น ๆ สำหรับทุก x ใน x มีอีกหนึ่งองค์ประกอบ Y ดังกล่าวว่าทั้งคู่ได้รับคำสั่ง (x, y) ที่มีอยู่ในระบบย่อยการกำหนดฟังก์ชัน f นี้หมายอย่างเป็นทางการเป็นความหมายที่ถูกต้องของความคิดที่ว่าแต่ละ X มีความเกี่ยวข้อง Y องค์ประกอบของ Y คือ Y องค์ประกอบที่ระบุไม่ซ้ำกันที่มีคุณสมบัติดังกล่าวเพียง. พิจารณา "สีของรูปร่าง" ฟังก์ชั่นข้างต้นชุด X คือโดเมนประกอบด้วยสี่รูปร่างในขณะที่ Y คือโคโดเมนประกอบด้วยห้าสี มียี่สิบไปได้คู่สั่งซื้อ (สี่รูปร่างครั้งห้าสี) ซึ่งหนึ่งในนั้นคือมี( "สี่เหลี่ยมสีเหลือง", "สีแดง"). "การสีของรูปร่าง" ฟังก์ชั่นที่อธิบายข้างต้นประกอบด้วยชุดของคู่ได้รับคำสั่งดังกล่าว , (รูปร่างสี) ที่สีเป็นสีที่เกิดขึ้นจริงของรูปร่างที่กำหนด ดังนั้นคู่ ( "สามเหลี่ยมสีแดง", "สีแดง") เป็นฟังก์ชั่น แต่คู่ ( "สี่เหลี่ยมสีเหลือง", "สีแดง") ไม่ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำนิยาม [ แก้ไข ]แผนภาพข้างต้นแสดงฟังก์ชันที่มีโดเมน { 1 , 2 , 3 } , โจโคโบะ { A , B , C , D } { ชุดของคู่อันดับ ( 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , c ) } รูป { C , D }แต่รูปที่สองนี้ไม่ได้เป็นตัวแทนของฟังก์ชัน เหตุผลหนึ่งคือ 2 เป็นองค์ประกอบแรกในมากกว่าหนึ่งคู่อันดับ . โดยเฉพาะ ( 2   B ) และ ( 2   C ) มีทั้งองค์ประกอบของเซตของคู่อันดับ . อีกเหตุผลที่เพียงพอ โดยตัวเอง คือ 3 ไม่ได้เป็นองค์ประกอบแรก ( ขาเข้า ) เพื่อสั่งให้คู่ เหตุผลที่สาม , เช่นเดียวกัน , ที่ 4 ไม่ได้เป็นองค์ประกอบแรกของคู่อันดับ .เพื่อหลีกเลี่ยงการใช้ของแบบกำหนดแนวคิดของ " กฎ " และ " ร่วม " คำอธิบายข้างต้นใช้งานง่ายของฟังก์ชันที่เสร็จสมบูรณ์กับคำนิยามอย่างเป็นทางการ คำนิยามนี้อาศัยความคิดของผลิตภัณฑ์ของ . ของผลิตภัณฑ์สองเซต X และ Y คือ ชุดของทั้งหมดที่สั่งคู่ เขียน ( x , y ) โดยที่ x เป็นองค์ประกอบของ x และ y เป็นองค์ประกอบของ Y . X และ Y เรียกส่วนประกอบของคู่อันดับ . การทดสอบผลิตภัณฑ์ของ X และ Y เขียนโดย X × Yฟังก์ชัน f จาก X ไปยัง Y คือเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน x × Y ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้ : ทุกองค์ประกอบของ X เป็นชิ้นส่วนแรกของคู่อันดับหนึ่งและมีเพียงหนึ่งในส่วนย่อย [ 4 ] ในคำอื่น ๆสำหรับทุกๆ x x มีตรงหนึ่งธาตุ Y ที่สั่ง คู่ ( x , y ) อยู่ในเซตย่อยกำหนดฟังก์ชัน F . นี้จะแม่นนิยามเชิงรูปนัยความหมายของความคิดที่เกี่ยวข้อง องค์ประกอบแต่ละ X Y Y คือเอกลักษณ์ที่ระบุธาตุ Y มีทรัพย์สินเพียงกล่าวถึงพิจารณา " สีรูปร่าง " ฟังก์ชันข้างต้น เซต X เป็นโดเมนที่ประกอบด้วยสี่รูปร่างในขณะที่ y เป็นโจโคโบะประกอบด้วยห้าสี มียี่สิบได้สั่งคู่ ( สี่รูปร่างครั้งที่ห้าสี ) ซึ่งหนึ่งในนั้นคือ( " สีเหลืองสี่เหลี่ยม " , " แดง " )" สีรูปร่าง " ฟังก์ชันที่อธิบายข้างต้นประกอบด้วยชุดของที่สั่งคู่( รูปสี )ที่สีเป็นสีที่แท้จริงของรูปร่างให้ . ดังนั้นคู่ ( แดง " สามเหลี่ยม " , " แดง " ) เป็นฟังก์ชัน แต่คู่ ( " สีเหลืองสี่เหลี่ยม " , " สีแดง " ) ไม่ได้