This paper examines a system of rea

This paper examines a system of reaction–diffusion equations arising from a flowing water habitat. In this habitat, one or two microorganisms grow while consuming two growth-limiting, complementary (essential) resources. For the single population model, the existence and uniqueness of a positive steady-state solution is proved. Furthermore, the unique positive solution is globally attracting for the system with regard to nontrivial nonnegative initial values. Mathematical analysis for the two competing populations is carried out. More precisely, the long-time behavior is determined by using the monotone dynamical system theory when the semi-trivial solutions are both unstable. It is also shown that coexistence solutions exist by using the fixed point index theory when the semi-trivial solutions are both (asymptotically) stable.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กระดาษนี้ตรวจสอบระบบของสมการปฏิกิริยา – แพร่ที่เกิดจากการอยู่อาศัยน้ำไหล ในการอยู่อาศัยนี้ หนึ่ง หรือสองจุลินทรีย์เติบโตในขณะที่ใช้ทรัพยากรสองอย่างที่ จำกัดการเจริญเติบโต การเพิ่มเติม (จำเป็น) สำหรับรุ่นเดียวประชากร การมีอยู่และไม่ซ้ำกันของโซลูชันท่อนบวกเป็นเครื่องพิสูจน์ นอกจากนี้ โซลูชันเฉพาะค่าบวกคือทั่วโลกดึงดูดระบบตามค่าเริ่มต้น nonnegative nontrivial การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับประชากรแข่งขันสองดำเนิน ลักษณะการทำงานนานได้แม่นยำมาก ถูกกำหนดโดยทฤษฎีระบบทางเดียว dynamical เมื่อแก้ไขปัญหาเล็กน้อยกึ่งใจเสถียร มันยังแสดงให้เห็นว่า โซลูชั่นที่มีอยู่ร่วมกันที่มีอยู่ โดยใช้ทฤษฎีดัชนีจุดถาวรแก้ไขปัญหาเล็กน้อยกึ่งมีมั่นคง (asymptotically)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระดาษนี้จะตรวจสอบระบบสมการปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นจากการแพร่กระจายที่อยู่อาศัยน้ำไหล ในที่อยู่อาศัยนี้หนึ่งหรือสองจุลินทรีย์เติบโตขณะที่การบริโภคสองการเจริญเติบโต จำกัด เสริม (จำเป็น) ทรัพยากร สำหรับรูปแบบที่มีประชากรเพียงครั้งเดียว, การดำรงอยู่และเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหาความมั่นคงของรัฐที่ได้รับการพิสูจน์ในเชิงบวก นอกจากนี้วิธีการแก้ปัญหาในเชิงบวกที่ไม่ซ้ำกันทั่วโลกดึงดูดให้ระบบในเรื่องเกี่ยวกับค่าเริ่มต้นขี้ปะติ๋วไม่เป็นลบ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสองประชากรการแข่งขันจะดำเนินการ อีกอย่างแม่นยำพฤติกรรมเป็นเวลานานจะถูกกำหนดโดยใช้ทฤษฎีระบบพลังเสียงเดียวเมื่อโซลูชั่นกึ่งเล็กน้อยมีทั้งที่ไม่เสถียร มันยังแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาการอยู่ร่วมกันอยู่โดยใช้ทฤษฎีจุดดัชนีคงที่เมื่อโซลูชั่นกึ่งเล็กน้อยมีทั้ง (asymptotically) ที่มีเสถียรภาพ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทความนี้เป็นการวิเคราะห์ระบบของปฏิกิริยา และสมการการแพร่ที่เกิดจากน้ำไหลมาเป็นระยะ ในที่อยู่อาศัยนี้ หนึ่งหรือสองจุลินทรีย์เติบโต ในขณะที่การบริโภคสองเติบโตจำกัดเสริม ( จำเป็น ) ทรัพยากร สำหรับรูปแบบของประชากรเดี่ยว ตัวตนและเอกลักษณ์ของโซลูชั่นคงที่บวกพิสูจน์ . นอกจากนี้โซลูชั่นบวกกันทั่วโลกดึงดูดสำหรับระบบเกี่ยวกับนอนทริเวียล nonnegative เริ่มต้นค่า การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสองการแข่งขันประชากรศึกษา . อันที่จริง พฤติกรรมเป็นเวลานานจะถูกกำหนดโดยการใช้ทฤษฎีระบบพลวัตโมโนโทนเมื่อกึ่งไร้สาระ โซลูชั่น มีทั้งไม่เสถียรพบว่ามีการแก้ไขโดยการใช้ดัชนีทฤษฎีจุดตรึงเมื่อกึ่งๆโซลูชั่นมีทั้ง ( asymptotically ) มั่นคง