New Proofs of Some Fibonacci Identi

New Proofs of Some Fibonacci Identities
By Fibonacci sequence we mean the sequence {Fn}
∞
n=1 such that F1 = 1,
F2 = 1, and Fn = Fn−2 + Fn−1, for n ≥ 3. The elements of this sequence
are called Fibonacci numbers. Lucas proved in 1876 that for every positive
integer n we have F2n+1 = F
2
n + F
2
n+1, F2n = F
2
n+1 − F
2
n−1
,
Pn
P
i=1 Fi = Fn+2 − 1,
n
i=1 F2i−1 = F2n,
Pn
i=1 F2i = F2n+1 −1, see [1], pages 69, 71, and 79. We give
combinatorial proofs of these identities which are elementary and short.
Let us consider dominoes of dimensions 2 × 1 and an area of dimensions
2 × n, where n is a positive integer. Squares of our area are signed as follows:
upper from left to right by integers from 1 to n, and lower from left to right
by symbols from 1
0
to n
0
. By the i-th column we mean the pair of squares
i and i
0
. By the position of a domino we mean the set of squares on which
this domino lies. The covering of the area is the set of positions of dominoes
which cover this area. Two coverings are distinguish if and only if proper sets
of positions are different. Let the sequence {an}
∞
n=1 be such that an is the
number of distinguish coverings of the area of dimensions 2 × n. For example,
a1 = 1, a2 = 2, and a3 = 3, see Figure 1. We also define a0 = 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานใหม่ของ Fibonacci ประจำบางโดยลำดับ Fibonacci เราหมายถึง ลำดับ {Fn }∞n = 1 เช่นที่ F1 = 1F2 = 1 และ Fn = Fn−2 + Fn−1 สำหรับ n ≥ 3 องค์ประกอบของลำดับนี้จะเรียกว่าเลขฟีโบนัชชี Lucas พิสูจน์ใน 1876 ที่สำหรับทุกค่าบวกจำนวนเต็ม n มี F2n + 1 = F2n + F2n + 1, F2n = F2n + 1 − F2n−1,พีเอ็นPฉัน =สาย 1 = Fn + 2 − 1nฉัน = 1 F2i−1 = F2nพีเอ็นฉัน = 1 F2i = F2n + 1 −1 ดู [1] หน้า 69, 71 และ 79 เราให้หลักฐานที่ปัญหาของข้อมูลเหล่านี้ได้แก่ระดับประถมศึกษา และสั้นให้เราพิจารณากติกามิติ 2 × 1 และพื้นที่ของมิติ2 × n โดยที่ n คือ จำนวนเต็มบวก สี่เหลี่ยมพื้นที่ของเราจะลงชื่อเป็นดังนี้:บนจากซ้ายไปขวาตามจำนวนเต็มจาก 1 ถึง n และลดลงจากซ้ายไปขวาโดยสัญลักษณ์ 10ให้ n0. โดยคอลัมน์ i th เราหมายถึง คู่ของสี่เหลี่ยมฉันและฉัน0. โดยตำแหน่งของโดมิโนเราหมายถึง ชุดของช่องที่โดมิโนนี้อยู่ ครอบคลุมพื้นที่เป็นชุดของตำแหน่งตัวแทนของกลุ่มซึ่งครอบคลุมบริเวณนี้ ความแตกต่างสองปูถ้าและเฉพาะถ้าการตั้งค่าเหมาะสมตำแหน่งแตกต่างกัน ให้ลำดับ {ตัว}∞n = 1 จะให้การเป็นการจำนวนแยกปูพื้นที่ขนาด 2 × n ตัวอย่างa1 = 1, a2 = 2 และ a3 = 3 ดูรูปที่ 1 นอกจากนี้เรายังกำหนด a0 = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานใหม่บางอัตลักษณ์ Fibonacci
โดยลำดับฟีโบนักชีที่เราหมายถึงลำดับ {} Fn
∞
n = 1 ดังกล่าวที่ F1 = 1
F2 = 1 และ Fn = Fn-2 + Fn-1 สำหรับ n ≥ 3 องค์ประกอบนี้ ลำดับ
หมายเลขที่เรียกว่าฟีโบนักชี ลูคัสได้รับการพิสูจน์ในปี 1876 ว่าทุกบวก
จำนวนเต็ม n เรามี F2n + 1 = F
2
n + F
2
1 + n, F2n = F
2
n + 1 - F
2
n-1
,
Pn
P
i = 1 = Fi Fn + 2 - 1,
n
i = 1 F2i-1 = F2n,
Pn
i = 1 F2i = F2n + 1 -1 เห็น [1], หน้า 69, 71, 79 และเราจะให้
พิสูจน์ combinatorial ตัวตนเหล่านี้ซึ่งเป็นระดับประถมศึกษาและสั้น .
ขอให้เราพิจารณาแต้มขนาด 2 × 1 และพื้นที่ขนาด
2 × n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก สี่เหลี่ยมของพื้นที่ของเรามีการลงนามดังต่อไปนี้
บนจากซ้ายไปขวาโดยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n, และล่างจากซ้ายไปขวา
โดยสัญลักษณ์ตั้งแต่วันที่ 1
0
ถึง n
0
ตามคอลัมน์ที่ i ที่เราหมายถึงคู่ของสี่เหลี่ยม
ฉันและฉัน
0
โดยตำแหน่งของโดมิโนที่เราหมายถึงชุดของสี่เหลี่ยมที่
นี้โกหกโดมิโน ครอบคลุมพื้นที่เป็นชุดของตำแหน่งของแต้ม
ซึ่งครอบคลุมพื้นที่นี้ สองปูจะแยกแยะความแตกต่างถ้าหากชุดที่เหมาะสม
ของตำแหน่งที่แตกต่างกัน ให้ลำดับ {}
∞
n = 1 เป็นเช่นนั้นเป็น
จำนวนแยกแยะความแตกต่างของวัสดุปูพื้นที่ขนาด 2 × n ตัวอย่างเช่น
a1 = 1 a2 = 2 และ a3 = 3 โปรดดูรูปที่ 1 นอกจากนี้เรายังกำหนด a0 = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การพิสูจน์ตัวตนใหม่ของ Fibonacci
โดยลำดับเลขฟีโบนัชชีเราหมายถึงลำดับฟังก์ชัน } {
∞
n = 1 เช่น F1 = 1
F2 = 1 และ Fn = − 2 กระเป๋า FN − 1 , n ≥ 3 องค์ประกอบของลำดับ
เรียกว่าอนุกรมเลข ลูคัสพิสูจน์ในปี 1876 ที่ทุกบวก
เป็นจำนวนเต็มเรามี f2n 1 = F
2
n f
2
n = 1 , f2n F
2
n 1 − F
2
n − 1
,
PN
p
= 1 Fi = Fn 2 − 1
n
ฉัน = 1 f2i − 1 = f2n PN

,ฉัน = 1 f2i = f2n 1 − 1 , ดู [ 1 ] , หน้า 69 , 70 และ 79 เราให้
เชิงหลักฐานตัวตนเหล่านี้ซึ่งเป็นเบื้องต้น และสั้น
ให้เราพิจารณาดูแต้มของมิติที่ 2 × 1 และพื้นที่ของมิติ
2 × n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มที่เป็นบวก สี่เหลี่ยมพื้นที่ของเราได้ดังนี้
ด้านบนจากซ้ายไปขวา โดยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n และล่างจากซ้ายไปขวา
โดยสัญลักษณ์จาก 1
0
n
0
โดย i-th คอลัมน์เราหมายถึงคู่ของสี่เหลี่ยม
ผมและผม
0
โดยตำแหน่งของโดมิโนที่เราหมายถึงชุดของสี่เหลี่ยมที่
โดมิโนนี้อยู่ ที่ครอบคลุมของพื้นที่ตั้งของตำแหน่งของแต้ม
ซึ่งครอบคลุมพื้นที่นี้ สองปู จะแยกแยะ ถ้าและเพียงถ้าเหมาะสมชุด
ของตำแหน่งที่แตกต่างกัน ให้ลำดับ { เป็น }
∞
n = 1 เป็นเช่นที่เป็น
จํานวนแยกคลุมพื้นที่ขนาด 2 × N . ตัวอย่างเช่น
A1 = 1 , A2 และ A3 = = 2 , 3 ดูรูปที่ 1 เราก็กำหนดขนาด A0
= 1