Lines and CurvesDate: 04/21/99 at 0

Lines and Curves



Date: 04/21/99 at 09:42:41
From: Laura Bordoni
Subject: How to make curves from straight lines

My friend and I are doing a project at school and our teacher has
shown us one way to do it, but we can't do the whole project on that
one piece of information: when you make an L shape and draw a line
from the top to the lefthand bottom and keep repeating that, you have
made some curves from straight lines.

Please help us.

Date: 04/21/99 at 13:03:22
From: Doctor Peterson
Subject: Re: How to make curves from straight lines

Hi, Laura.

Thanks for stating your problem clearly.

This way of constructing curves from straight lines is called an
"envelope," because the curve just fits around the lines. When you
draw all the lines, you imagine you see a curve touching all of them,
even though it's not really there. What you are really doing is
approximating the curve by lots of straight lines. It is often done
using strings stretched between nails; here's a page I found that
illustrates several examples:

Mathematical String Art - Richard and Donna Goldstein
http://www.providence.edu/mcs/rbg/strngart.htm

Here's a page from a computer programming class showing how to draw
something like what you asked about; just look at the pictures!

Math 150 - Introduction to BASIC Programming - Larry Riddle
http://www.mathforum.org/dr.math/gifs/string_art_lab.doc

For your first try, just draw two lines in an "L", as you said, maybe
six inches long; from the point where they meet, mark every inch along
each line. On the vertical line, label these points 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, with "1" at the intersection of the lines; on the other line, label
them 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 going to the right. Now draw a line between
the two 1's, another between the two 2's, and so on. You should see
something like the pictures on these pages.

In general, you can use any two lines, not necessarily perpendicular;
just mark the same number of points along them, equally spaced, and
then connect corresponding pairs of points. The shape you get is
called a parabola. Try experimenting with different lines going in
different directions to see what works best. You can stretch out the
points on one line and squeeze them together on the other; make the
lines close together or far apart; have them intersecting or parallel;
and so on.

Here's a page on the parabola from Xah Lee's Visual Dictionary of
Special Plane Curves that tells a little about this; look
about halfway down at the section on "tangents of parabola":

http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Parabola_dir/parabola.html

There are other ways to make similar constructions that will make
different curves. The first page I mentioned shows several, though it
doesn't tell how to actually figure out where the points should go.
The easiest is the astroid (which they also call a "sliding ladder"),
which is made by marking pairs of points on the two lines that are the
same distance apart. You can even invent your own rule for selecting
pairs of points and see what happens!

There's another neat way to make a curve using straight lines. Make a
circle out of paper (it has to be a perfect circle) and mark a dot
somewhere about halfway from the center to the outside. Now pick any
point on the outside (circumference) of the circle and fold it over so
that point is on the dot you made. Crease the paper to make a line,
then unfold it. Do this with many different points on the outside, and
the folds will form the envelope of a curve called an ellipse.

Have fun playing with this.

- Doctor Peterson, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เส้นและเส้นโค้งวัน: 04/21/99 09:42:41จาก: ลอร่า Bordoniหัวข้อ: วิธีการทำเส้นโค้งจากเส้นตรงเพื่อนของฉันและฉันกำลังทำโครงการโรงเรียน และมีครูของเรา แสดงเราเที่ยวจะทำ แต่เราไม่สามารถทำโครงการทั้งหมดที่ ส่วนหนึ่งของข้อมูล: L มีรูปร่าง และวาดเส้นให้ จากบนลงล่าง lefthand และเก็บซ้ำว่า บางเส้นโค้งจากเส้นตรงได้ กรุณาช่วยเราวัน: 04/21/99 เวลา 13:03:22จาก: หมอ Petersonหัวข้อ: Re: วิธีการทำเส้นโค้งจากเส้นตรงสวัสดี ลอราขอบคุณสำหรับการระบุปัญหาให้ชัดเจนวิธีนี้ในการสร้างเส้นโค้งจากเส้นตรงเรียกว่าการ "ซองจดหมาย เนื่องจากโค้งเพียงพอรอบบรรทัด เมื่อคุณ วาดเส้นทั้งหมด คุณลองนึกภาพคุณเห็นเส้นโค้งสัมผัสทั้งหมดของพวกเขา แม้จะไม่มีจริง ๆ ด้วย มีจริง ๆ ทำอะไรอยู่ ระหว่างเส้นโค้ง โดยจำนวนของเส้นตรง มักจะทำ ใช้สายยืดระหว่างเล็บ นี่คือหน้าพบที่ แสดงตัวอย่างหลาย: อักขระทางคณิตศาสตร์ศิลปะ - ริชาร์ดและ Donna Goldstein http://www.providence.edu/mcs/rbg/strngart.htm นี่คือหน้าจากคลาสการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์แสดงวิธีการวาด สิ่งที่ชอบสิ่งที่คุณถามเกี่ยวกับ เพียงแค่ดูที่รูปภาพ คณิตศาสตร์ 150 - แนะนำการเขียนโปรแกรมเบื้องต้น - ปัญหาลับสมองแลร์รี http://www.mathforum.org/dr.math/gifs/string_art_lab.doc สำหรับทดลองทำครั้งแรกของคุณ เพียงวาดบรรทัดที่สองเป็น "L" ตามที่คุณกล่าวว่า บางที หกนิ้วยาว จากจุดที่พวกเขาตาม ทำเครื่องหมายทุกตารางนิ้วตาม แต่ละบรรทัด ในแนวตั้ง ป้ายชื่อเหล่านี้จุด 1, 2, 3, 4, 5, 6 7, "1" ของบรรทัด บรรทัดอื่น ๆ ป้ายชื่อ เขา 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 จะต้อง ตอนนี้ วาดเส้นระหว่าง 1 สอง ของ อื่นระหว่างสอง 2 ของ และอื่น ๆ คุณจะเห็น บางสิ่งบางอย่างเช่นรูปภาพบนเพจเหล่านี้ทั่วไป คุณสามารถใช้บรรทัดสอง ไม่จำเป็นต้องตั้งฉาก เพียงเครื่องหมายเดียวกันจำนวนจุดตามนั้น ระยะห่างเท่า ๆ กัน และ แล้ว เชื่อมต่อจุดคู่ที่สอดคล้องกัน มีรูปร่างที่คุณได้รับ เรียกว่าเป็นพาราโบลา ลองทดลองกับบรรทัดที่แตกต่างกันไปใน ทิศทางที่แตกต่างกันเพื่อดูว่าได้ผลดีที่สุด คุณสามารถยืดออกใน จุดในหนึ่งบรรทัด และบีบให้กันอีก ทำให้การ บรรทัดปิดกัน หรือไกล กัน มีอินเตอร์เซกกัน หรือ ขนาน และอื่น ๆนี่คือหน้าบนพาราโบลาจาก Xah Lee พจนานุกรมภาพของ เส้นโค้งของเครื่องบินพิเศษที่บอกเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ ดู เกี่ยวกับลงอยู่ตรงกลางส่วนบน "tangents ของพาราโบลา": http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Parabola_dir/parabola.html มีวิธีอื่นในการทำการก่อสร้างคล้ายคลึงกันที่จะทำให้ เส้นโค้งที่แตกต่างกัน หน้าแรกที่ฉันกล่าวแสดงหลาย แม้ว่ามัน ไม่แจ้งว่า จะ คิดออกควรไปจุดไหน ง่ายที่สุดคือ astroid (ซึ่งพวกเขายังเรียก "บันไดเลื่อน") , ซึ่งทำ โดยคู่ของจุดในสองบรรทัดที่ทำเครื่องหมาย ระยะทางเดียวกันห่างกัน คุณยังสามารถสร้างกฎการเลือกของคุณเอง คู่ของจุดและดูว่าเกิดอะไรขึ้นมีวิธีอย่างอื่นให้ใช้เส้นตรงเส้นโค้ง ทำให้การ วงกลมจากกระดาษ (มันมีให้เป็นวงกลม) และทำเครื่องหมายจุด บางแห่งเกี่ยวกับอยู่ตรงกลางจากด้านนอก ตอนนี้ รับใด ๆ จุดด้านนอก (เส้นรอบวง) ของวงกลม และพับกว่าดังนั้น จุดอยู่บนจุดที่คุณทำ รอยพับกระดาษการวาดเส้น แล้ว แฉมัน ทำเช่นนี้กับหลายจุดที่แตกต่างกันในด้านนอก และ การพับจะฟอร์มซองจดหมายของเส้นโค้งที่เรียกว่ารูปวงรีมีความสนุกสนานเล่นกับนี้-แพทย์ Peterson เวทีคณิตศาสตร์ http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เส้นและเส้นโค้ง




วันที่ : 04 / 21 / 99 ที่ 09:42:41
จาก : ลอร่า bordoni
เรื่อง : วิธีทำเส้นโค้งเส้นตรงจาก

เพื่อนของฉันและฉันกำลังทำโครงการที่โรงเรียนและครูของเราได้
แสดงเราวิธีหนึ่งที่จะทำมัน แต่เราไม่สามารถทำโครงการ ทั้งหมดที่
ข้อมูลหนึ่ง : เมื่อคุณทำให้ฉันรูปร่างและวาดเส้น
จากด้านบนกับด้านล่างขวามือ และเก็บซ้ำว่า คุณ
เป็นเส้นโค้งจากเส้นตรง

ช่วยเราด้วย

วันที่ : 04 / 21 / 99 ที่ 13:03:22
จาก : หมอปีเตอร์สัน
เรื่อง : Re : วิธีทำเส้นโค้งจากเส้นตรง

สวัสดีค่ะ ลอร่า . . .

ขอบคุณสำหรับการระบุปัญหาให้ชัดเจน

วิธีนี้สร้างจากเส้นตรงเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่า
" ซอง " เพราะโค้งเหมาะพอดีกับรอบเส้น เมื่อคุณ
วาดเส้นทั้งหมดคุณคิดว่าคุณเห็นเส้นโค้งสัมผัสทั้งหมดของพวกเขา
ถึงแม้ว่ามันไม่ได้จริงๆมี สิ่งที่คุณทำคือ
ประมาณเส้นโค้งโดยมากมายของเส้นตรง มันมักจะทำ
ใช้สายยืดระหว่างเล็บ ; ที่นี่คือหน้าผมพบว่าหลายๆ ตัวอย่าง :


แสดงทางสายศิลปะ - ริชาร์ด และ Donna Goldstein

http://www.providence.edu/mcs/rbg/strngart.htmนี่คือหน้าจากการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ระดับแสดงวิธีการวาด
สิ่งที่คุณถามแล้ว แค่ดูภาพ !

เลข 150 - พื้นฐานการเขียนโปรแกรมเบื้องต้น - ลาร์รี่ ริดเดิ้ล
http://www.mathforum.org/dr.math/gifs/string_art_lab.doc

สำหรับแรกของคุณลอง วาดเส้นใน " L " อย่างที่คุณว่า บางที
6 นิ้วยาว ; จากจุดที่พวกเขาพบมาร์คทุกนิ้วตาม
แต่ละบรรทัด ในแนวตั้ง ป้ายชื่อเหล่านี้จุดที่ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
7 " 1 " ที่จุดตัดของเส้น บนเส้น อื่น ๆ , ป้าย
7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 จะถูก ตอนนี้วาดเส้นระหว่าง
1 สองอื่น ระหว่างสอง 2 , และอื่น ๆ คุณควรเห็น
เหมือนภาพบนหน้าเว็บเหล่านี้

โดยทั่วไป คุณสามารถใช้ใด ๆ สองเส้น ไม่จําเป็นต้องตั้งฉาก ;
เพียงเครื่องหมายหมายเลขเดียวกันของจุดตามพวกเขาอย่างเท่าเทียมกันระยะห่างและ
แล้วเชื่อมต่อที่คู่ของจุด รูปร่างที่คุณได้รับคือ
เรียกว่าพาราโบลา ลองทดสอบกับสายที่แตกต่างกันไปในทิศทางที่แตกต่างกันเพื่อ
ดูอะไรดี คุณสามารถยืดออกจาก
จุดในหนึ่งบรรทัดและบีบพวกเขาร่วมกันบนอื่น ๆให้
เส้นชิดกันหรือห่างกัน ;มีการตัดหรือขนาน ;
และอื่น ๆ .

ที่นี่คือหน้าบนพาราโบลาจาก xah ลีภาพพจนานุกรม
พิเศษเครื่องบินเส้นโค้งที่บอกเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับเรื่องนี้ ดู
ครึ่งทางลงในหมวด " ในรูปแบบของ " :

http://xahlee.org/specialplanecurves_dir/parabola_dir/parabola.html

มีวิธีการอื่น ๆเพื่อให้ ที่ดินที่คล้ายกันซึ่งจะทำให้
เส้นโค้งที่แตกต่างกันหน้าแรกที่ผมกล่าวถึงแสดงหลาย ๆ , แม้ว่ามันจะ
ไม่บอกวิธีการที่จริงคิดออกที่จุดที่ควรไป
ที่ง่ายที่สุดคือแอสทรอยด์ ( ซึ่งพวกเขายังเรียก " เลื่อนบันได " )
ซึ่งเป็นโดยเครื่องหมายคู่ของจุดบนเส้นนั้นเป็น
ระยะทางเดียวกันออกจากกัน คุณยังสามารถคิดค้นกฎของคุณเองสำหรับการเลือก
คู่ของจุดและดูสิ่งที่เกิดขึ้น

มีอีกวิธีที่ประณีตเพื่อให้เส้นโค้งโดยใช้เส้นตรง ให้
วงกลมของกระดาษ ( เป็นวง ) และมาร์คจุด
ที่ใดที่หนึ่งครึ่งทางจากศูนย์กับข้างนอก ตอนนี้รับ
จุดด้านนอก ( รอบวง ) วงกลมและพับมันมากกว่าดังนั้น
ว่าจุดในจุดที่คุณทำ รอยพับกระดาษเพื่อให้บรรทัด
แล้วแฉมันทำแบบนี้มีจุดที่แตกต่างกันมากในด้านนอกและ
พับจะฟอร์มซองจดหมายของเส้นโค้งที่เรียกว่าเป็นวงรี .

สนุกเล่นด้วย

- หมอ ปีเตอร์สัน เลขกระทู้

http://mathforum.org/dr.math/