Fibonacci and Lucas numbers have lo

Fibonacci and Lucas numbers have long interested mathematicians for their intrinsic theory and their applications. For rich applications of these numbers in science and nature, one can see the citations in [15]. For instance, the ratio of two consecutive of these numbers converges to the Golden section 
(The applications of Golden ratio appears in many research areas, particularly in Physics, Engineering, Architecture, Nature and Art. Physicists Naschie and Marek-Crnjac gave some examples of the Golden ratio in Theoretical Physics and Physics of High Energy Particles [69]). Therefore, in this paper, we are mainly interested in whether some new mathematical developments can be applied to these numbers. In this paper we obtain new results about Lucas numbers. As a reminder for the rest of this paper, for n > 2, the well-known Fibonacci Fn and Lucas Ln sequences are defined by
respectively. Moreover, for the first n Fibonacci numbers, it is well known that the sum of the squares is Also

The sum of the squares formula is our motivation to look for combinatorial sums related to the square of Lucas numbers. Thus, again for the motivation of the paper, we should note that, in [10], Spivey presented a new approach for evaluating combinatorial sums by using finite differences. Also, he extended this new approach to handle binomial sums of the form


as well as sums involving unsigned and signed Stirling numbers of the first kind

There is also interest for k-Fibonacci polynomials. Let Fk;n be a k-Fibonacci sequence. Note that if k is a real variable x then Fk;n D Fx;n and they correspond to the Fibonacci polynomials defined by

(see [11]). Actually many relations for the derivatives of Fibonacci polynomials proved in that paper. As a final sentence of this section, we note that in the reference [12], some new properties of Fibonacci numbers with binomial coefficients have been investigated. Actually these new properties will be needed in the proof of one of the main results.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Fibonacci และตัวเลขลูคัสมีนักคณิตศาสตร์สนใจนานสำหรับทฤษฎีที่แท้จริงของพวกเขาและการประยุกต์ใช้ สำหรับการใช้งานที่อุดมไปด้วยของตัวเลขเหล่านี้ในด้านวิทยาศาสตร์และธรรมชาติสามารถมองเห็นในการอ้างอิง [1? 5] ยกตัวอย่างเช่นอัตราส่วนของสองติดต่อกันของตัวเลขเหล่านี้ลู่ไปยังส่วนทอง? 
(การประยุกต์ใช้อัตราส่วนโกลเด้นจะปรากฏขึ้นในพื้นที่วิจัยจำนวนมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาฟิสิกส์, วิศวกรรม, สถาปัตยกรรม, ธรรมชาติและศิลปะ. ฟิสิกส์ Naschie และมาเร็ค-Crnjac ให้ตัวอย่างบางส่วน อัตราส่วนของโกลเด้นในวิชาฟิสิกส์และฟิสิกส์ของอนุภาคพลังงานสูง [6? 9]) ดังนั้นในบทความนี้เราส่วนใหญ่จะเป็นความสนใจในการพัฒนาไม่ว่าจะเป็นบางคณิตศาสตร์ใหม่สามารถนำไปใช้ตัวเลขเหล่านี้ ในบทความนี้เราได้ผลลัพธ์ใหม่เกี่ยวกับตัวเลขลูคัส เป็นคำเตือนสำหรับส่วนที่เหลือของบทความนี้สำหรับ n> 2, ฟีโบนักชีที่รู้จักกันดี Fn และลูคัสลำดับ Ln
จะถูกกำหนดโดยตามลำดับ นอกจากนี้สำหรับตัวเลขแรก n Fibonacci เป็นที่รู้จักกันดีว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมที่มีนอกจากนี้ผลรวมของสูตรสี่เหลี่ยมเป็นแรงจูงใจของเราที่จะมองหาเงินก้อนcombinatorial ที่เกี่ยวข้องกับตารางของตัวเลขลูคัส ดังนั้นอีกครั้งสำหรับแรงจูงใจของกระดาษที่เราควรจะทราบว่าใน [10], Spivey นำเสนอวิธีการใหม่สำหรับการประเมินผลรวม combinatorial โดยใช้ความแตกต่างแน่นอน นอกจากนี้เขายังขยายวิธีการใหม่นี้จะจัดการกับผลรวมสองจำนวนของรูปแบบ? เช่นเดียวกับจำนวนเงินที่เกี่ยวข้องกับการได้รับการรับรองและลงนามตัวเลขสเตอร์ลิงของชนิดแรกนอกจากนี้ยังมีที่น่าสนใจสำหรับหลายชื่อk-ฟีโบนักชี ให้ Fk; n เป็นลำดับฟีโบนักชี k- โปรดทราบว่าถ้า k เป็นตัวแปรจริง x แล้ว Fk; D Fx n; n และพวกเขาสอดคล้องกับพหุนาม Fibonacci ที่กำหนดโดย(ดู [11]) อันที่จริงความสัมพันธ์มากสำหรับการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้าของพหุนาม Fibonacci พิสูจน์ในกระดาษ ในฐานะที่เป็นประโยคสุดท้ายของส่วนนี้เราทราบว่าในการอ้างอิง [12] บางคุณสมบัติใหม่ของตัวเลข Fibonacci ที่มีสัมประสิทธิ์ทวินามได้รับการตรวจสอบ ที่จริงคุณสมบัติใหม่เหล่านี้จะมีความจำเป็นในการพิสูจน์ของหนึ่งในผลหลัก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวเลข Fibonacci และลูคัสมีนักคณิตศาสตร์ยาวสนใจทฤษฎีที่แท้จริงของพวกเขาและการประยุกต์ใช้ รวยการใช้ตัวเลขเหล่านี้ในวิทยาศาสตร์และธรรมชาติ หนึ่งสามารถดูเข้าไว้ใน 1  [ 5 ] เช่น อัตราส่วนสองติดต่อกันของตัวเลขเหล่านี้เข้าสู่มาตราโกลเด้น 
( งานสีทองปรากฏขึ้นในหลายพื้นที่ การวิจัย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฟิสิกส์วิศวกรรม สถาปัตยกรรม ธรรมชาติ และศิลปะ นักฟิสิกส์ และ มาเร็ก naschie crnjac ให้บางตัวอย่างของอัตราส่วนทองคำในฟิสิกส์และฟิสิกส์ของอนุภาคพลังงานสูง  9 [ 6 ] ) ดังนั้น ในกระดาษนี้เราสนใจว่ามีพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ใหม่สามารถใช้กับตัวเลขเหล่านี้ ในกระดาษนี้เราได้รับผลลัพธ์ใหม่เรื่องลูคัส ตัวเลขเป็นตัวเตือนสำหรับส่วนที่เหลือของบทความนี้สำหรับ n > 2 , ที่รู้จักกันดีและลูคัสในลำดับฟีโบนัชชีฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดย
ตามลำดับ นอกจากนี้ เป็นครั้งแรก คำว่า ลำดับเลข มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมยัง

ผลรวมของกำลังสองสูตรเป็นแรงจูงใจของเราที่จะมองหาผลบวกเชิงสัมพันธ์กับตารางของลูคัส ตัวเลข ดังนั้น , อีกครั้งสำหรับแรงจูงใจของกระดาษเราควรจะทราบว่า ใน [ 10 ] สไปซ์เวย์นำเสนอแนวทางใหม่สำหรับการประเมินเชิงบวก โดยใช้ความแตกต่างจำกัด นอกจากนี้ เขาขยายใหม่นี้วิธีการจัดการแบบรวมของรูปแบบ


เช่นเดียวกับผลรวมที่เกี่ยวข้องกับ / ลงนามสเตอร์ลิงตัวเลขของชนิดแรก

ยังมีความสนใจ k-fibonacci พหุนาม . ให้ k-fibonacci FK ; n เป็นลำดับหมายเหตุ ถ้า k เป็นจริงแล้ว FK ตัวแปร x ; N D FX ; และพวกเขาสอดคล้องกับลำดับพหุนามที่กำหนดโดย

( ดู [ 11 ] ) จริงๆแล้วความสัมพันธ์หลายอนุพันธ์ Fibonacci พหุนามพิสูจน์ในกระดาษนั่น . เป็นประโยคสุดท้ายของส่วนนี้ เราทราบว่าในเอกสารอ้างอิง [ 12 ] บางคุณสมบัติใหม่ของตัวเลข Fibonacci ที่มีสัมประสิทธิ์ทวินามได้รับการสอบสวนจริงๆแล้ว คุณสมบัติใหม่เหล่านี้จะต้องพิสูจน์หนึ่งของผลลัพธ์หลัก