det(F(B4)) = (−1)Iq c1,σ(1)c2,σ(2)

det(F(B4)) = (−1)Iq c1,σ(1)c2,σ(2) . . . ci−1,σ(i−1)ci,kci+1,σ(i+1) . . .
cr−1,σ(r−1)cr,lcr+1,σ(r+1) . . . cn,σ(n)
and
det(F(B5)) = (−1)Iq+1c1,σ(1)c2,σ(2) . . . ci−1,σ(i−1)ci,lci+1,σ(i+1) . . .
cr−1,σ(r−1)cr,kcr+1,σ(r+1) . . . cn,σ(n)
.
Because F preserves determinants, we get det(F(B4)) = (−1)Iq and
det(F(B5)) = (−1)Iq+1. Then the equality holds det(F(B4)) + det(F(B5))
= 0. From the above it follows
ci,kcr,l − ci,lcr,k = 0.
This means that for an arbitrary minor B3 of the matrix C of the order 2
we have det(B3) = 0. Then (9) is true.
Lemma 3 (see [3]). A matrix C ∈ Mm,n(F), ci,j 6= 0 for i = 1, 2, . . . , m;
j = 1, 2, . . . , n has rank (C) = 1, if and only if there exist non-zero elements
u1, u2, . . . , um and v1, v2, . . . , vn in the field F such that for all entries ci,j
of the matrix C the equalities
(10) ci,j = uivj for i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n
are satisfied.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

det(F(B4)) = (−1) ไอคิว c1,σ(1)c2,σ(2)... ci−1,σ(i−1)ci,kci+1,σ(i+1) ...cr−1,σ(r−1)cr,lcr+1,σ(r+1)... cn,σ(n)และdet(F(B5)) = (−1)Iq+1c1,σ(1)c2,σ(2)... ci−1,σ(i−1)ci,lci+1,σ(i+1)...cr−1,σ(r−1)cr,kcr+1,σ(r+1)... cn,σ(n).เนื่องจาก F รักษาดีเทอร์มิแนนต์ เราได้รับ det(F(B4)) =ไอคิว (−1) และdet(F(B5)) = (−1) ไอคิว + 1 แล้ว ความเสมอภาคมี det(F(B4)) + det(F(B5))= 0 จากข้างต้นเป็นไปตามci, kcr, k, l − ci, lcr = 0นี้หมายความ ว่า สำหรับ B3 รองการกำหนดของเมตริกซ์ C สั่ง 2เรามี det(B3) = 0 (9) จากนั้นจะเป็นจริงจับมือ 3 (ดู [3]) ∈เมตริกซ์ C j 6 = 0 หา ci, Mm,n(F) = 1, 2,..., mj = 1, 2,..., n มีตำแหน่ง (C) = 1 หากและเดียวถ้ามีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์u1, u2,..., อุ่ม และ v1, v2,..., วีเอ็นในฟิลด์ F ดังกล่าวว่าสำหรับทั้งหมดรายการ ci เจของเมตริกซ์ C equalities ที่(10) ci, j = uivj หา = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., nไม่พอใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เดชอุดม (F (B4)) = (-1) c1 ไอคิวσ (1) c2, σ (2) . . CI-1, σ (i-1) CI, KCI + 1, σ (i + 1) . .
CR-1, σ (R-1) CR, LCR + 1, σ (r + 1) . . CN, σ (n)
และ
เดชอุดม (F (B5)) = (-1) ไอคิว + 1C1, σ (1) c2, σ (2) . . CI-1, σ (i-1) CI, LCI + 1, σ (i + 1) . .
CR-1, σ (R-1) CR, kcr + 1, σ (r + 1) . . CN, σ (n)
.
เพราะ F แยมปัจจัยที่เราได้รับเดชอุดม (F (B4)) = (-1) และไอคิว
เดชอุดม (F (B5)) = (-1) ไอคิว + 1 จากนั้นความเสมอภาคถือเดชอุดม (F (B4)) + เดชอุดม (F (B5))
= 0 จากข้างต้นเป็นไปตาม
CI, KCR, L -. CI, LCR, k = 0
ซึ่งหมายความว่า B3 เล็กน้อยโดยพลการของ เมทริกซ์ C ของคำสั่งที่ 2
เรามีเดชอุดม (B3) = 0 แล้ว (9) เป็นความจริง.
บทแทรก 3 (ดู [3]) เมทริกซ์ C ∈ม, n (F), CI, J 6 = 0 i = 1, 2, . . เมตร;
J = 1, 2, . . , n มียศ (C) = 1 และถ้าหากมีอยู่องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์
U1, U2, . . เอ่อและ v1, v2, . . , VN ในสาขา F ดังกล่าวว่าสำหรับรายการทั้งหมด CI, J
ของเมทริกซ์ C สมการ
(10) CI, J = uivj สำหรับ i = 1, 2, . . , ม.; J = 1, 2, . . , n
มีความพึงพอใจ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เดช ( F ( B4 ) ) = ( − 1 ) IQ C1 , C2 , σσ ( 1 ) ( 2 ) . . . . . . . Cl − 1 , σ ( − 1 ) CI , KCl 1 , σ ( ชั้น 1 ) . . . . . . .
CR − 1 , σ ( r − 1 ) CR , อาร์ 1 , σ ( R 1 ) . . . . . . . CN , σ ( N )

และเดช ( f ( B5 ) ) = ( − 1 ) 1c1 ไอคิว , C2 , σσ ( 1 ) ( 2 ) . . . . . . . Cl − 1 , σ ( − 1 ) CI , แอลซีไอ 1 , σ ( ชั้น 1 ) . . . . . . .
CR − 1 , σ ( r − 1 ) โครเมียม , คอมพิวเตอร์ 1 , σ ( R 1 ) . . . . . . . CN , σ ( N )
.
เพราะ F รักษาปัจจัย เราได้รับเดช ( F ( B4 ) ) = ( − 1 ) IQ และ
เดช ( f ( B5 ) ) = ( − 1 ) ไอคิว 1 แล้วความเสมอภาคมีเดช ( F ( B4 ) เดช ( f ( B5 )
= 0 จากข้างต้นได้ดังนี้
CI , KCR , L − CI , อาร์ , K = 0
นี้หมายความ ว่า มีผู้เยาว์ B3 โดยพลการของเมทริกซ์ C ลำดับที่ 2
เรามีเดช ( B3 ) = 0 ( 9 ) เป็นจริง .
แทรก 3 ( ดู [ 3 ] ) เมทริกซ์ C ∈มม. , n ( F ) , CI , J 6 = 0 = 1 , 2 , . . . . . . . . , M ;
j = 1 , 2 , . . . . . . . . , ได้ตำแหน่ง ( C ) = 1 ถ้าและเพียงถ้ามีอยู่ไม่เป็นองค์ประกอบ
U1 , U2 , . . . . . . . . เอ่อ และ V1 , V2 , . . . . . . . . ,VN ในสาขาดังกล่าวว่า สำหรับรายการทั้งหมดของ F , J
ของเมทริกซ์ C equalities
( 10 ) CI , J = uivj สำหรับฉัน = 1 , 2 , . . . . . . . . , M ; j = 1 , 2 , . . . . . . . . , n
พอใจ