The next lemma is very important, a

The next lemma is very important, and I'll often use it in showing that a given function is bijective.
Lemma. Let S and T be sets, and let f : S → T be a function. f is invertible if and only if f is both
injective and surjective.
Proof. (→) Suppose that f is both injective and surjective. I'll construct the inverse function f
−1
: T → S.
Take t ∈ T. Since f is surjective, there is an element s ∈ S such that f(s) = t. Moreover, s is unique:
If f(s) = t and f(s
′
) = t, then f(s) = f(s
′
). But f is injective, so s = s
′
.
Define
f
−1
(t) = s.
I have defined a function f
−1
: T → S. I must show that it is the inverse of f.
Let s ∈ S. By definition of f
−1
, to compute f
−1
(f(s)) I must find an element Moe ∈ S such that
f(Moe) = f(s). But this is easy — just take Moe = s. Thus, f
−1
(f(s)) = s.
Going the other way, let t ∈ T. By definition of f
−1
, to compute f (f
−1
(t)) I find an element s ∈ S
such that f(s) = t. Then f
−1
(t) = s, so
f (f
−1
(t)) = f(s) = t.
Therefore, f
−1
really is the inverse of f.
(←) Suppose f has an inverse f
−1
: T → S. I must show f is injective and surjective.
To show that f is surjective, take t ∈ T. Then f (f
−1
(t)) = t, so I've found an element of S — namely
f
−1
(t) — which f maps to t. Therefore, f is surjective.
To show that f is injective, suppose s
1
, s
2
∈ S and f(s
1
) = f(s
2
). Then
f
−1
(f(s
1
)) = f
−1
(f(s
2
)) , so s
1
= s
2
.
Therefore, f is injective.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จับมือถัดไปเป็นสิ่งสำคัญมาก และฉันมักจะใช้ในการแสดงว่าฟังก์ชันกำหนด bijectiveจับมือกัน ให้ S และ T เป็นชุด และให้ f: S → T เป็นฟังก์ชัน f คือสามารถหาอินเวอร์สถ้าและเฉพาะถ้า f ทั้งสองinjective surjective และหลักฐานการ (→) สมมติว่า f นั้นคือ injective surjective และ ฉันจะสร้าง f ฟังก์ชันผกผัน−1: T → S ได้ใช้เวลา t ∈ต. เนื่องจาก f เป็น surjective มีการองค์ประกอบ s ∈ S เช่น f(s) ที่ = t นอกจากนี้ s ไม่ซ้ำกัน:ถ้า f(s) = t และ f(s′) = t แล้ว f(s) = f(s′). แต่ f injective ดังนั้น s = s′.กำหนดf−1(t) = sกำหนด f เป็นฟังก์ชัน−1: T → S ได้ ผมต้องแสดงว่า เป็นค่าผกผันของ fS. ∈ s ให้ จากคำนิยามของ f−1การคำนวณ f−1(f(s)) ต้องหาองค์หมอ∈ S ให้f(Moe) = f(s) แต่นี้เป็นเรื่องง่าย — เพียงแค่ใช้หมอ = s ดังนั้น f−1(f(s)) = sไปแบบอื่น ให้ t ∈ต. จากคำนิยามของ f−1การคำนวณ f (f−1(t)) พบเป็นองค์ประกอบ s ∈ Sที่ f(s) = t แล้ว f−1(t) = s ดังนั้นf (f−1(t)) = f(s) = tดังนั้น f−1จริง ๆ เป็นค่าผกผันของ f(←) สมมติว่า f ได้ f การผกผัน−1: T → S ได้ ต้องแสดง f คือ injective surjective และแสดงว่า f surjective นำ t ∈ต. แล้ว f (f−1(t)) = t ดังนั้นฉันพบองค์ประกอบของ S ซึ่งได้แก่f−1(t) — f ที่แมปไปไม่ ดังนั้น f เป็น surjectiveแสดงว่า f คือ injective สมมติว่า s1, s2∈ S และ f(s1) = f(s2). แล้วf−1(f(s1)) = f−1(f(s2)), s ดังนั้น1= s2.ดังนั้น f คือ injective

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แทรกต่อไปคือสิ่งที่สำคัญมากและฉันมักจะจะใช้ในการแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นที่ได้รับเป็น bijective.
บทแทรก ให้ S และ T เป็นชุดและให้ f: S → T เป็นฟังก์ชั่น ฉคือ invertible ถ้าและเพียงถ้า f
เป็นทั้งนึงและsurjective.
หลักฐาน (→) สมมติว่าเป็นทั้งฉนึงและ surjective ฉันจะสร้างฟังก์ชันผกผันฉ
-1: T →เอสพาที∈ตันตั้งแต่ฉเป็นsurjective มีองค์ประกอบ s ∈ S ดังกล่าวว่า f (s) = เสื้อ ยิ่งไปกว่านั้นคือไม่ซ้ำกัน: ถ้า f (s) = เสื้อและ f (s ') = เสื้อแล้ว f (s) = f (s') แต่เป็นหนึงฉดังนั้น s s = '. กำหนดฉ-1. (t) = s ผมได้กำหนดฟังก์ชั่นฉ-1:. ทีเอส→ผมต้องแสดงให้เห็นว่ามันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของ f Let s ∈เอส ตามคำนิยามของเอฟ-1, การคำนวณฉ -1 (f (s)) ฉันต้องพบองค์ประกอบโม∈ S ดังกล่าวว่าf (Moe) = f (s) แต่นี้เป็นเรื่องง่าย - เพียงแค่ใช้เวลา Moe s = ดังนั้นฉ-1 (f (s)) = s. ไปทางอื่นให้ที∈ตันตามคำนิยามของเอฟ-1, การคำนวณ f (ฉ -1 (t)) ผมพบว่าองค์ประกอบ s ∈ S ดังกล่าว ที่ f (s) = เสื้อ จากนั้นเอฟ-1 (t) = s ดังนั้นf (ฉ-1. (t)) = f (s) = เสื้อดังนั้นฉ-1. จริงๆเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของ f (←) สมมติว่ามีฉฉผกผัน- 1. ทีเอส→ฉันต้องแสดงเป็นหนึงฉ surjective และเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นฉsurjective ใช้ทีทีแล้ว∈ f (ฉ-1 (t)) = เสื้อเพื่อให้ฉันได้พบองค์ประกอบของ S - การ คือฉ-1 (t) - ซึ่งฉแผนที่ไป t ดังนั้นจึงเป็น surjective ฉ. ในการแสดงที่เป็นฉนึง, สมมติ s 1, s 2 ∈ S และ f (s 1) = f (s 2) จากนั้นเอฟ-1 (f (s 1)) ​​= ฉ -1 (f (s 2)) ดังนั้น s 1 = s 2. ดังนั้นฉนึงคือ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่แทรกถัดไปเป็นสิ่งสำคัญมาก และฉันก็มักจะใช้มันในการแสดงที่ได้รับฟังก์ชันทั่วถึง .
พ . ให้ S และ T เป็นชุด ให้ F : S → keyboard - key - name ไม่ใช่ฟังก์ชัน F invertible ถ้าและเพียงถ้า f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึงทั้ง
.
พิสูจน์ ( → keyboard - key - name ) สมมติว่า f เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึง . ฉันจะสร้างผกผันของฟังก์ชัน f
− 1
: T
T → keyboard - key - name . ใช้∈ต. ตั้งแต่ทั่วถึง f ,มีองค์ประกอบของ∈เช่นว่า F ( s ) = T . นอกจากนี้ , มีเอกลักษณ์ :
ถ้า F ( s ) = t และ F ( S
นั้น
) = t , F ( s ) = f ( S นั้น

) แต่ถ้าเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้น S = S นั้น

.
นิยาม
f
− 1
( t ) = S .
ผมนิยามฟังก์ชัน f
− 1
: T → keyboard - key - name ฉันต้องแสดงให้เห็นว่ามันเป็นตรงกันข้ามของ F .
ให้∈ S . โดยนิยาม F − 1

คำนวณหา f
− 1
( F ( s ) ผมต้องหาองค์ประกอบโมเอะ∈ s เช่น
F ( โมเอะ ) = F ( s )แต่นี้เป็นเรื่องง่าย -- เพียงแค่ใช้โมเอะ = . ดังนั้น , f
− 1
( F ( s ) = S .
ไปทางอื่น ให้ T ∈ T . โดยนิยามของ− f
1
, ค่า F ( f
− 1
( t ) ) พบองค์ประกอบของ∈ s
เช่น F ( s ) = − 1 ที แล้ว f

( t ) = S ,
F ( f
− 1
( t ) = F ( s ) = T .
ดังนั้น F − 1

จริงๆ 3 F .
( ← ) สมมติว่า F มีผกผัน f
− 1
: T → keyboard - key - name ฉันต้องแสดง f
หนึ่งต่อหนึ่ง และทั่วถึง .เพื่อแสดงให้เห็นว่า F ทั่วถึง ใช้เวลาไม่∈ที แล้ว f ( f
− 1
( t ) = t , ดังนั้นฉันได้พบองค์ประกอบของ S - F )

− 1
( T ) F - ซึ่งแผนที่ ที ดังนั้น F ทั่วถึง .
แสดงว่า F เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง สมมติว่า S
1
, s
2
∈ s และ f ( S
1
) = f ( S
3
) แล้ว

F − 1
( F ( S
1
) = − 1 f

( F ( S
3
) ) ดังนั้น S
1
= s
2
.

ดังนั้น F และ .