CALIFORNIA STATE SCIENCE FAIR 2004

CALIFORNIA STATE SCIENCE FAIR 2004 PROJECT SUMMARY
Name (s)
Robert Hays;Chandan Lodha
Project Number
J1210
Project Title
Tiling with Shapes and Tessellations in Nature
abstract
Objectives/Goals
The overall objective of this project was to explore which shapes can (or cannot) tile a rectangular grid or infinite plane (in one or multiple ways) and understand why.
Methods/Materials
We discovered many different types of amazing shapes that have been used in tiling in man-made objects such as puzzles,art and architecture, and tessellations in nature such as crystals and honeycombs. We decided to experiment with the following shapes: Pentominoes, Heptiamonds, Wheelbarrow, Kite #n# Dart Pair, and Regular Convex Polygons(including Triangles, Squares, and Hexagons).
We built pentominoes from legos heptiamonds from pattern blocks; wheelbarrow and kite #n# dart from tagboard, and different types of (triangular, square, and hexagonal) honeycombs with manipulatives. We experimented tiling appropriate rectangular grids and planes using these shapes.
We used a symmetry principal to reduce the number to tiling problems for pentominoes. We counted the number of sides used in building honeycombs and noticed patterns for which we derived formulas for the amount of wax used.
Results
We found that we can tile some rectangular grids (8x8 with a square removed anywhere, 3x20, 4x15, 5x12, and 6x10) with twelve pentominoes. Additionally, we discovered that all but one of the 24 heptiamonds could tile a plane individually. We invented interesting, non-trivial ways of tiling a plane using both wheelbarrow and kite #n#dart pairs. Finally, we used manipulatives, algebra, and geometry to prove that hexagons are the most efficient shape (consume the least wax to create the same amount of area) from all regular convex shapes to build a honeycomb.
Conclusions/Discussion
We discovered that although many different types of convex and non-convex shapes (e.g. pentominoes, wheelbarrow) and several interesting combination of them (e.g. kite n#dart) can be used to tile a plane in interesting ways, there are many simple shapes that cannot be used to tile the plane (e.g. a V-shaped heptiamond or a pentagon). Although we proved that hexagons use the least amount of wax in comparison to squares or triangles, we did not prove that they are better than irregular or multiple shapes to hold honey (we discovered that the general proof was given only five years ago in 1999!).
Summery Statement
In this project we explored which shapes can or cannot tile an infinite plane or rectangular grid, explained why, and applied our findings to nature and society.
Help Received
Parents - Provided overall guidance, helped develop project, and gave overall tips on display; Math Teacher - Helped on background research; Science Teacher - Gave project and display tips; Neighbor Gave project and display tips; Science Fair Coordinator - Gave display tips

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รัฐแคลิฟอร์เนียวิทยาศาสตร์ FAIR 2004
โครงการสรุปชื่อ(s)
โรเบิร์ตเฮย์; Chandan Lodha
โครงการจำนวน
J1210
ชื่อโครงการปูกระเบื้องที่มีรูปร่างและ tessellations ในลักษณะนามธรรมวัตถุประสงค์/ เป้าหมายวัตถุประสงค์โดยรวมของโครงการนี้คือการสำรวจซึ่งรูปร่างสามารถ(หรือไม่สามารถ) กระเบื้อง ตารางสี่เหลี่ยมหรือเครื่องบินที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ในหนึ่งหรือหลายวิธี) และเข้าใจว่าทำไม. วิธีการ / วัสดุเราค้นพบชนิดที่แตกต่างของรูปทรงที่น่าตื่นตาตื่นใจที่มีการใช้ในการปูกระเบื้องในวัตถุที่มนุษย์สร้างขึ้นเช่นปริศนาศิลปะและสถาปัตยกรรมและtessellations ในธรรมชาติ เช่นคริสตัลและ honeycombs เราตัดสินใจที่จะทดสอบกับรูปทรงที่ต่อไปนี้: pentominoes, Heptiamonds, สาลี่, ว่าว # n # โผคู่และปกตินูนรูปหลายเหลี่ยม (รวมถึงสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม). เราสร้าง pentominoes จาก Legos heptiamonds จากบล็อกรูปแบบ; สาลี่และว่าว # n โผ # จาก tagboard และประเภทที่แตกต่างกัน (รูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม) honeycombs กับ manipulatives เราทดลองปูกระเบื้องสี่เหลี่ยมกริดที่เหมาะสมและเครื่องบินโดยใช้รูปทรงเหล่านี้. เราใช้สัดส่วนหลักเพื่อลดจำนวนการแก้ปัญหาการปูกระเบื้องสำหรับ pentominoes เรานับจำนวนของด้านที่ใช้ใน honeycombs อาคารและรูปแบบการสังเกตเห็นที่เราได้มาสูตรสำหรับปริมาณของขี้ผึ้งที่ใช้. ผลเราพบว่าเราสามารถกระเบื้องบางกริดสี่เหลี่ยม (8x8 กับตารางลบออกทุกที่, 3x20, 4x15, 5x12 และ 6x10) สิบ pentominoes นอกจากนี้เรายังพบว่าทั้งหมด แต่หนึ่งใน 24 heptiamonds สามารถกระเบื้องเครื่องบินเป็นรายบุคคล เราคิดค้นวิธีที่น่าสนใจไม่น่ารำคาญของการปูกระเบื้องเครื่องบินใช้ทั้งสาลี่และว่าว # n # คู่โผ สุดท้ายเราใช้ manipulatives พีชคณิตและเรขาคณิตที่จะพิสูจน์ว่ารูปหกเหลี่ยมที่มีรูปทรงที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด (ใช้ขี้ผึ้งอย่างน้อยในการสร้างจำนวนเดียวกันของพื้นที่) จากรูปทรงนูนปกติในการสร้างรังผึ้ง. สรุปผลการวิจัย / การสนทนาเราค้นพบว่าแม้ว่าจะมีหลายชนิดของนูนและรูปทรงที่ไม่นูน (เช่น pentominoes, สาลี่) และการรวมกันที่น่าสนใจหลายของพวกเขา (เช่น n วโผ #) สามารถนำไปใช้กระเบื้องเครื่องบินในรูปแบบที่น่าสนใจมีหลายรูปทรงที่เรียบง่ายที่ไม่สามารถนำมาใช้เพื่อกระเบื้อง เครื่องบิน (เช่น heptiamond รูปตัววีหรือเพนตากอน) ถึงแม้ว่าเราจะพิสูจน์ให้เห็นว่ารูปหกเหลี่ยมใช้จำนวนน้อยที่สุดของขี้ผึ้งในการเปรียบเทียบกับสี่เหลี่ยมหรือสามเหลี่ยมเราไม่ได้พิสูจน์ว่าพวกเขาจะดีกว่ารูปร่างผิดปกติหรือหลายที่จะถือน้ำผึ้ง (ที่เราค้นพบว่าหลักฐานทั่วไปได้รับเพียงห้าปีที่ผ่านมาในปี 1999! .) งบ Summery ในโครงการนี้เราสำรวจซึ่งรูปร่างสามารถหรือไม่สามารถกระเบื้องเครื่องบินที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือตารางสี่เหลี่ยม, อธิบายว่าทำไมและใช้ผลการวิจัยของเรากับธรรมชาติและสังคม. ช่วยรับพ่อแม่ - ให้คำแนะนำโดยรวมช่วยพัฒนาโครงการและให้เคล็ดลับโดยรวม บนจอแสดงผล; ครูคณิตศาสตร์ - ช่วยในการวิจัยพื้นหลัง; ครูวิทยาศาสตร์ - ให้โครงการและเคล็ดลับการแสดง; เพื่อนบ้านให้โครงการและเคล็ดลับการแสดง; ประสานงานวิทยาศาสตร์ Fair - ให้เคล็ดลับการแสดงผล

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รัฐแคลิฟอร์เนีย 2547 โครงการยุติธรรมวิทยาศาสตร์ชื่อสรุป
( s )
Robert Hays ; Chandan Lodha


ชื่อโครงการ จำนวนโครงการ j1210
กระเบื้องที่มีรูปร่างและเทสเซลเลชั่นในธรรมชาติ


บทคัดย่อวัตถุประสงค์ / เป้าหมาย วัตถุประสงค์โดยรวมของโครงการนี้คือเพื่อศึกษาซึ่งรูปทรงจะ ( หรือไม่ ) ตารางสี่เหลี่ยมกระเบื้องหรืออนันต์ เครื่องบิน ( ในหนึ่งหรือหลายวิธี ) และเข้าใจถึงวิธีการ / วัสดุ

.เราพบหลายประเภทของรูปร่างที่น่าทึ่งที่ได้รับการใช้ในการปูกระเบื้องในวัตถุที่มนุษย์สร้างขึ้น เช่น ปริศนา , ศิลปะ และ สถาปัตยกรรม และ เทสเซลเลชั่นในธรรมชาติ เช่น ผลึกและ honeycombs . เราตัดสินใจที่จะทดสอบกับรูปต่อไปนี้ : pentominoes heptiamonds , สาลี่ , ว่าว# N #โผคู่และรูปหลายเหลี่ยมปกตินูน ( รวมถึงสามเหลี่ยม , สี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม ) .
เราสร้าง pentominoes จาก Legos heptiamonds จากบล็อกรูปแบบ ; รถเข็นล้อเดียวและว่าว# N #โผจาก tagboard และประเภทที่แตกต่างกันของ ( สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมและหกเหลี่ยม ) honeycombs ด้วย Manipulatives . เราทดลองปูกระเบื้องตารางสี่เหลี่ยมที่เหมาะสมและเครื่องบินที่ใช้รูปร่างเหล่านี้ .
เราใช้สมมาตรหลักเพื่อลดจำนวนปัญหาเพื่อปูกระเบื้อง pentominoes .เรานับจํานวนด้านข้างใช้ใน honeycombs อาคารและรูปแบบสังเกตเห็นซึ่งเราได้สูตร ปริมาณของขี้ผึ้งใช้

เราพบผลลัพธ์ที่เราสามารถ กระเบื้องบางสี่เหลี่ยมตะแกรง ( 8x8 ที่มีตารางออกที่ใดก็ได้ 3x20 4x15 5x12 , , , และจาก ) กับสิบสอง pentominoes . นอกจากนี้ เราพบว่าทั้งหมด แต่หนึ่งใน 24 heptiamonds สามารถปูกระเบื้อง เครื่องบินแบบเราแต่งที่น่าสนใจไม่ใช่ trivial วิธีปูกระเบื้องเครื่องใช้ทั้งรถเข็นและว่าว# N #โผคู่ สุดท้าย เราใช้ต่อจากนั้น พีชคณิต เรขาคณิต และเพื่อพิสูจน์ว่า รูปเป็นรูปร่างที่มีประสิทธิภาพที่สุด ( กินไข อย่างน้อยเพื่อสร้างปริมาณที่เท่ากันของพื้นที่ ) จากรูปทรงนูนปกติทั้งหมดเพื่อสร้างรังผึ้ง

สรุป / การอภิปรายเราได้ค้นพบว่า แม้ว่าหลายประเภทที่แตกต่างกันของรูปร่างนูนและไม่นูน เช่น pentominoes สาลี่ ) และการรวมกันที่น่าสนใจหลายของพวกเขา ( เช่นว่าว N #โผ ) สามารถใช้กระเบื้องเครื่องบินในวิธีที่น่าสนใจ มีรูปทรงที่เรียบง่ายมากที่ไม่สามารถใช้กับกระเบื้องเครื่องบิน ( เช่นยาง heptiamond หรือเพนตากอน )