Proof: For the given statement, the

Proof: For the given statement, the property P(n) is the
equation
2 + 4 + 6+· · ·+2n = n2 + n. ← P(n)
Show that P(1) is true:
To prove P(1), we must show that when 1 is substituted
into the equation in place of n, the left-hand side equals
the right-hand side. But when 1 is substituted for n, the
left-hand side is the sum of all the even integers from 2
to 2· 1, which is just 2, and the right-hand side is 12 + 1,
which also equals 2. Thus P(1) is true.
Show that for all integers k ≥ 1, if P(k) is true then P(k+1)
is true:
Let k be any integer with k ≥ 1, and suppose P(k) is true.
That is, suppose
2 + 4 + 6+· · ·+2k = k2 + k. ← P(k)
inductive hypothesis
We must show that P(k + 1) is true. That is, we must show
that
2 + 4 + 6+· · ·+2(k + 1) = (k + 1)2 + (k + 1).
Because (k + 1)2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + k + 1 =
k2 + 3k + 2, this is equivalent to showing that
2 + 4 + 6+· · ·+2(k + 1) = k2 + 3k + 2. ← P(k + 1)
But the left-hand side of P(k + 1) is
2 + 4 + 6+· · ·+2(k + 1)
= 2 + 4 + 6+· · ·+2k + 2(k + 1)
by making the next-to-last
term explicit
= (k2 + k) + 2(k + 1) by substitution from the
inductive hypothesis
= k2 + 3k + 2, by algebra,
and this is the right-hand side of P(k + 1). Hence P(k + 1)
is true.
[Since both the basis step and the inductive step have been
proved, P(n) is true for all integers n ≥ 1.]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน: สำหรับงบกำหนด P(n) เป็นการสมการ2 + 4 + 6 + ··· + 2n = n2 + ←ตอนเหนือ P(n)แสดงว่า P(1) เป็นจริง:พิสูจน์ P(1) เราต้องแสดงว่าเมื่อแทน 1ลงในสมการแทน n ด้านซ้ายเท่ากับด้านขวามือ แต่ เมื่อ 1 คือทดแทน n การด้านซ้ายมือเป็นผลรวมของจำนวนเต็มที่ได้ทั้งหมดจาก 2การ 2· 1 ซึ่งเป็นเพียง 2 และด้านขวามือคือ 12 + 1ซึ่งยังเท่ากับ 2 ดังนั้น P(1) เป็นจริงแสดงว่า สำหรับทุกจำนวนเต็ม k ≥ 1 ถ้า P(k) จริงแล้ว P(k+1)เป็นจริง:ให้ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ กับ k ≥ 1 และสมมติว่า P(k) เป็นจริงสมมติว่า คือ2 + 4 + 6 + ··· 2k = k2 + คุณ← P(k)สมมติฐานเชิงอุปนัยเราต้องแสดงว่า P (k + 1) เป็นจริง นั่นคือ เราต้องแสดงที่2 + 4 + 6 + ··· 2 (k + 1) = (k + 1) 2 + (k + 1)เนื่องจาก (k + 1) 2 + (k + 1) = k2 + 2 k + 1 + k + 1 =k2 + 3 k + 2 นี้จะเหมือนกับการแสดงที่2 + 4 + 6 + ··· 2 (k + 1) = k2 + 3 k + 2 ← P (k + 1)แต่ทางด้านซ้ายของ P (k + 1) คือ2 + 4 + 6 + ··· 2 (k + 1)= 2 + 4 + 6 + ··· + 2 k + 2(k + 1)โดยทำการถัดไปล่าสุดระยะเวลาที่ชัดเจน= (k2 + k) + 2 (k + 1) โดยผลจากการสมมติฐานเชิงอุปนัย= k2 + 3 k + 2 โดย พีชคณิตและนี่คือด้านขวามือของ P (k + 1) ดังนั้น P(k + 1)เป็นความจริง[ตั้งแต่ขั้นพื้นฐานและขั้นตอนเชิงอุปนัยพิสูจน์ P(n) เป็นความจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน: สำหรับคำสั่งที่กำหนดสถานที่ P (n)
เป็นสมการ
2 + 4 + 6 + ··· + 2n = n + n 2 ← P (n)
แสดงให้เห็นว่า P (1) เป็นจริง:
เพื่อพิสูจน์ P (1) เราจะต้องแสดงให้เห็นว่าเมื่อ 1
แทนลงในสมการในสถานที่ของn
ที่ด้านซ้ายมือเท่ากับด้านขวามือ แต่เมื่อ 1 แทนสำหรับ n
ที่ด้านซ้ายมือคือผลรวมของทั้งหมดแม้จำนวนเต็มจาก2
2 · 1 ซึ่งเป็นเพียง 2 และด้านขวามือเป็น 12 + 1,
ซึ่งเท่ากับ 2 ดังนั้น . P (1) เป็นจริงแสดงว่า integers ทั้งหมด k ≥ 1 ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจริง: ให้ k เป็นจำนวนเต็มใด ๆ กับ k ≥ 1 และคิดว่า P (k) คือ ความจริง. นั่นคือสมมติว่า2 + 4 + 6 + ··· + 2k = k2 + k ← P (k) สมมติฐานเราต้องแสดงให้เห็นว่า P (k + 1) เป็นความจริง นั่นก็คือเราต้องแสดงให้เห็นว่า2 + 4 + 6 + ··· + 2 (k + 1) = (k + 1) 2 + (k + 1). เพราะ (k + 1) 2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + 1 + k = k2 + 3k + 2 นี้จะเทียบเท่ากับการแสดงให้เห็นว่า2 + 4 + 6 + ··· + 2 (k + 1) = k2 + 3k + 2 ← P (k + 1) แต่ด้านซ้ายมือของ P (k + 1) เป็น2 + 4 + 6 + ··· + 2 (k + 1) = 2 + 4 + 6 + ··· + 2k + 2 (k + 1) โดยการต่อไปไปจนสุดท้ายระยะอย่างชัดเจน= (k2 + k) + 2 (k + 1) โดยการแทนจากสมมติฐาน= k2 + 3k + 2 โดยพีชคณิตและนี่คือทางด้านขวามือของP (k + 1) ดังนั้น P (k + 1) เป็นความจริง. [เนื่องจากทั้งสองขั้นตอนพื้นฐานและขั้นตอนการเหนี่ยวนำที่ได้รับการพิสูจน์ P (n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐาน : เพื่อให้งบทรัพย์สิน P ( n )

2 4 6 สมการ· · · 2n = n2 N ← P ( n )
แสดงว่า P ( 1 ) เป็นจริง :
พิสูจน์ P ( 1 ) เราต้องแสดงให้เห็นว่าเมื่อ 1 ทดแทน
เป็นสมการใน สถานที่ของ N , ด้านซ้ายมือ =
ด้านขวามือ แต่ตอนที่ 1 แทน n ,
ซ้ายมือคือผลรวมของทั้งหมดแม้จำนวนเต็มจาก 2
2 ด้วย 1 ซึ่งเป็นเพียง 2และขวามือเป็น 12 1
ซึ่งมีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้น P ( 1 ) เป็นจริง .
แสดงทั้งหมด≥ 1 k จำนวนเต็มถ้า P ( K ) เป็นจริง แล้ว P ( k )

จริงให้ k เป็นจำนวนเต็มกับ K ≥ 1 และคิดว่า P ( K ) เป็นจริง .
ที่ สมมติ
2 4 6 · · · 2K = K2 K . ← P ( k )

โดยสมมติฐานที่เราต้องแสดงให้เห็นว่า P ( k 1 ) เป็นจริง คือว่า เราต้องโชว์

ที่ 2 4 6 · · · 2 ( K ( , 1 ) = 1 ) 2
( k 1 )เพราะ ( K ( , 1 ) 2 ( 1 ) K2 K = 2k 1 1 =
K2 3K 2 นี้จะเทียบเท่ากับการแสดงที่
2 4 6 · · · 2 ( K = 1 ) K2 3K 2 ← P ( k )
แต่ด้านซ้ายมือของ P ( k 1 )
2 4 6 · · · 2 ( K ) 1 2 4 6
= 2 · · · 2 K ( K )
ให้ก่อนสุดท้าย

= ระยะที่ชัดเจน ( K2 K ( K ( 1 ) 2 ) โดยการอุปนัยจาก

= สมมติฐาน K2 3K 2
โดยพีชคณิตและนี้คือด้านขวามือของ P ( K ( 1 ) ดังนั้น P ( k )

[ จริง เนื่องจากทั้งสองขั้นตอนพื้นฐานและขั้นตอนโดยอุปนัยได้
พิสูจน์ , P ( n ) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n ≥ 1 ]