PROBLEM SOLVING WITH HERON'S FORMUL

PROBLEM SOLVING WITH HERON'S FORMULA
Introduction
Heron's formula for the area of a triangle with sides of length a, b, c is

where


It is unfortunate that this topic has essentially disappeared from school curriculum today. Calculation, given available calculations and computers, can no longer be a reason for avoiding the formula. In what follows, I hope to show some interesting and challenging problems using Heron's formula.

Whether or not one would pose the demonstration or proof of Heron's formula for a particular class would depend on the class. Initially, exploration with Heron's formula could involve computing areas using the formula and making comparison's of the results -- much as we pose analogous exercises in a meaningful way with the Pythagorean theorem long before a proof or demonstration is fully understood.

For instance, one exercise could be to have students measure the sides and an altitude on several triangles and, with calculator, compute the areas with both formulas



Comparison of the results could well lead to intuitions about the areas of triangles and understanding of when one formula would be more applicable than the other.

Heron's Formula
The demonstration and proof of Heron's formula can be done from elementary consideration of geometry and algebra. I will present an algebraic proof here. Alternative proofs and derivations are suggested on the Jwilson web site, Heron's Formula and a particularly concise geometric proof is given at Heron's Formula, Geometric Proof.
I will assume the Pythagorean theorem and the area formula for a triangle

where b is the length of a base and h is the height to that base.


We have

so, for future reference,
2s = a + b + c
2(s - a) = - a + b + c
2(s - b) = a - b + c
2(s - c) = a + b - c
There is at least one side of our triangle for which the altitude lies "inside" the triangle. For convenience make that the side of length c. It will not make any difference, just simpler.



Let p + q = c as indicated. Then

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แก้ปัญหา ด้วยสูตรของเฮรอนแนะนำสูตรของเฮรอนพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว a, b, c คือ ซึ่ง โชคร้ายที่หัวข้อนี้เป็นหลักหายไปจากหลักสูตรโรงเรียนวันนี้ได้ คำนวณ คำนวณหาและคอมพิวเตอร์ ไม่ได้เหตุผลในการหลีกเลี่ยงสูตร ในสิ่งต่อไปนี้ ฉันหวังว่าการแสดงที่น่าสนใจ และท้าทายปัญหาโดยใช้สูตรของเฮรอน หรือไม่หนึ่งจะเข้าสาธิตหรือหลักสูตรของเฮรอนสำหรับคลาเฉพาะจะขึ้นอยู่กับชั้น เริ่มแรก สำรวจ ด้วยสูตรของเฮรอนสามารถเกี่ยวข้องคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตร และทำการเปรียบเทียบของผลลัพธ์ - มากที่เราก่อให้เกิดคู่ฝึกวิธีสื่อความหมายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสนานก่อนพิสูจน์หรือสาธิตได้อย่างเข้าใจตัวอย่าง แบบฝึกหัดหนึ่งอาจจะให้นักเรียนวัดด้านและระดับความสูงบนสามเหลี่ยมหลาย และ กับเครื่องคิดเลข คำนวณพื้นที่ ด้วยสูตรทั้ง ด้วยการเปรียบเทียบผลลัพธ์อาจทำให้ intuitions คิดเกี่ยวกับพื้นที่ของสามเหลี่ยมและความเข้าใจเมื่อสูตรหนึ่งจะมีมากขึ้นกว่าอื่น ๆ สูตรของเฮรอนการสาธิตและพิสูจน์สูตรของเฮรอนสามารถทำได้จากการพิจารณาระดับประถมของเรขาคณิตและพีชคณิต ฉันจะแสดงการพิสูจน์พีชคณิตที่นี่ หลักฐานอื่นและรากศัพท์แนะนำ Jwilson เว็บไซต์ สูตรของเฮรอน และกระชับโดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักฐานเรขาคณิตได้ที่สูตรของเฮรอน หลักฐานทางเรขาคณิตผมจะถือว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม โดยที่ b คือ ความยาวของฐานและ h คือ ความสูงที่ฐาน เรามี ดังนั้น สำหรับอ้างอิงในอนาคต 2s =แบบ b + c 2(s-a) = - เป็น b + c 2(s-b) =-b + c 2 (s - c) =การ + b - cมีด้านใดด้านหนึ่งน้อยสามเหลี่ยมของเราที่ระดับความสูงอยู่ "ภายใน" สามเหลี่ยม มาให้ที่ด้านข้างของ c ความยาว มันจะไม่ทำให้ความแตกต่าง ง่ายเพียง ให้ p + q = c ตามที่ระบุไว้ แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การแก้ปัญหาด้วยสูตรของนกกระสานกกระสา

สูตรเบื้องต้นของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a , b , c คือที่ไหน




มันเป็นโชคร้ายที่หัวข้อนี้มีหลักหายไปจากหลักสูตรของโรงเรียนวันนี้ การคำนวณ , การคำนวณและให้บริการคอมพิวเตอร์ ไม่สามารถเป็นเหตุผลที่หลีกเลี่ยงสูตร ในสิ่งต่อไปนี้ฉันหวังว่าจะแสดงที่น่าสนใจและท้าทาย ปัญหาการใช้สูตรของนกกระสา

หรือไม่หนึ่งจะก่อให้เกิดการประท้วงหรือพิสูจน์สูตรของนกกระสาสำหรับชั้นเรียนโดยเฉพาะจะขึ้นอยู่กับระดับ ในตอนแรกการสำรวจ ด้วยสูตรของนกกระสาอาจเกี่ยวข้องกับพื้นที่ที่คำนวณโดยใช้สูตรและการเปรียบเทียบผล -- เท่าที่เราเทียบท่าการออกกำลังกายในลักษณะที่มีความหมายกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสนานก่อนที่จะพิสูจน์หรือสาธิตการเข้าใจ

สำหรับอินสแตนซ์ หนึ่งการออกกำลังกายอาจจะมีนักเรียนวัดด้านข้างและความสูงในหลาย ๆ สามเหลี่ยม และ กับเครื่องคิดเลขการคำนวณพื้นที่ที่มีทั้งสูตร



การเปรียบเทียบผลลัพธ์อาจทำให้สัญชาตญาณเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและความเข้าใจเมื่อสูตรหนึ่งจะสามารถใช้ได้กว่าอีก


และสูตรของนกกระสานกกระสาสาธิตพิสูจน์สูตรสามารถทำจากระดับการพิจารณาของเรขาคณิตและพีชคณิต ผมจะนำเสนอหลักฐานเชิงพีชคณิตมาพิสูจน์ทางเลือกและแหล่งที่มาจะแนะนำบนเว็บไซต์ jwilson สูตรของนกกระสาและโดยเฉพาะอย่างยิ่งกระชับรูปทรงเรขาคณิตที่พิสูจน์ให้สูตรของนกกระสาหลักฐานทางเรขาคณิต .
ผมจะถือว่า ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

ที่ B คือ ความยาวของฐานและ h คือความสูงฐานนั้น


เรา

ดังนั้นสำหรับการอ้างอิงในอนาคต , 2S = A B C

2 ( - ) = - A B C
2 ( S - B ) = A - B C
2 ( S - C ) B - C
มีอย่างน้อยหนึ่งด้าน สามเหลี่ยมที่ระดับความสูงอยู่ " ภายใน " สามเหลี่ยม เพื่อความสะดวกให้ที่ด้านข้างของความยาว C มันจะไม่สร้างความแตกต่างใด ๆ เพียงแค่ง่าย



ให้ P Q = C ตามที่ระบุไว้ แล้ว